[ Corrigé du baccalauréat STL Biochimie Métropole \ 14 septembre 2010

Durée : 2 heures

[ Corrigé du baccalauréat STL Biochimie Métropole \ 14 septembre 2010

EXERCICE1 9 points

1. xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9

zi=ln¡ yi

¢ 9,72 10,07 10,30 10,56 10,75 10,93 11,19 11,41 11,70 2.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

9 10 11 12

+ +

+ +

+ +

+ +

+

b b

G1

G2

≈12,6

≈12,35

3. a. On trouveG1(3 ; 10,28) etG2(7.5 ; 11,31).

b. Si l’équation est de la formez=ax+b, alors les coordonnées deG1et deG2vérifient cette équation soit :

½ 10,28 = 3a+b

11,31 = 7,5a+b ⇒1,03=4,5a(par différence)⇐⇒ a≈0,23, puis b≈10,28−3×0,23 soitb≈9,59.

Une équation de la droite (G1G2) est approximativement :z=0,23x+9,59.

4. a. Par lecture graphique : voir le graphique. Doncz13=ln(y13=12,57 ⇐⇒ y12=e^12,57≈ 288000 (mégawatts).

Par le calcul : pourx=13, on obtientz≈0,23×12+9,59≈12,58.

Corrigé du baccalauréat STL Biochimie A. P. M. E. P.

b. On a ln 230000≈12,35.

Par lecture graphique : voir le graphique. On obtient à peu près 2011.

Par le calcul : 12,35=0,23x+9,59 ⇐⇒0,23x=2,76 ⇐⇒x=2,99

0,23≈12 ce qui correspond à 2011.

EXERCICE2 11 points

1. a. f(0)= 3e^0,5×0 e^0,5×0+2= 3

1+2=1.

Cela signifie qu’en 2000 la population initiale de rongeurs était de 100 individus.

b. f(t)=3e^0,5t+6−6 e^0,5t+2 =

£3e^0,5t+6¤

−6

e^0,5t+2 =3− 6 e^0,5t+2. c. De lim

t→+∞e^0,5t= +∞, on déduit lim

t→+∞

6

e^0,5t+2=0, d’où lim

t→+∞f(t)=3. À long terme la po- pulation de rongeurs va atteindre 300.

2. a. La dérivée de e^0,5tétant 0,5e^0,5t, en utilisant la formule de la dérivée d’un quotient : f^′(t)=3×0,5e^0,5t¡

e^0,5t+2¢

−3e^0,5t×0,5e^0,5t

¡e^0,5t+2¢2 =1,5e^0,5t¡

e^0,5t+2¢

−1,5e^t

¡e^0,5t+2¢2 = 1,5e^t+3e^0,5t−1,5e^t−

¡e^0,5t+2¢2 = 3e^0,5t

¡e^0,5t+2¢2. b. Comme 1,5>0, e^0,5t>0,¡

e^0,5t+2¢2

>0,f^′(t)>0. La fonctionf est croissante sur [0 ;+∞[ de 1 à 3.

3. t 0 2 4 6 8 10

f(t) 1 1,73 2,36 2,73 2,89 2,96

4. Voir à la fin.

5. Graphiquement 250 individus correspondent à f(t)=2,5. On trace donc à partir du point (0; 2,5) la parallèle à l’axe des abscisses qui coupe la courbe (C) en un point où on trace la parallèle à l’axe des ordonnées qui donne l’abscisse de ce point : on lit à peu près : 4,6. On sera donc en 2005.

Par le calcul : il faut résoudre f(t)=2,5 ⇐⇒ 3e^0,5t

e^0,5t+2 =2,5 ⇐⇒ 3e^0,5t=2,5e^0,5t+5 ⇐⇒

0,5e^0,5t=5 ⇐⇒ e^0,5t=10 ⇐⇒ 0,5t=ln 10 (par croissance de la fonction ln) soit finalement t=2ln 10≈4,6. On trouve le même résultat.

Métropole 2 14 septembre 2010

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2

≈4,6

Métropole 3 14 septembre 2010