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Mercatique 2007 2008
E1 ( 3 points et 25 minutes ).
Le tableau ci-dessous résume partiellement les échanges extérieurs concernant le tourisme au cours des deux années 2004 et 2005. Il est constitué à partir de données publiées par la Banque de France.
2004 2005 Dépenses, en milliards d'euros, des touristes étrangers en France 33,9 Dépenses, en milliards d'euros, des touristes français à l'étranger 23,0 25,0
Solde, en milliards d'euros 58,9
1. t =
23 25−23 = 2
23 = 0,086956522.
Le taux d'évolution des dépenses des touristes français à l'étranger entre 2004 et 2005 est proche de 8,7 %.
2. Sachant qu'entre 2004 et 2005 les dépenses des touristes étrangers en France ont augmenté de 3,5 %, déterminer le montant de ces dépenses en 2004 cela signifie chercher x tel que x × ( 1 + 3,5 % ) = 33,9
⇔ x × ( 1 + 0,035 ) = 33,9 ⇔ x × 1,035 = 33,9 ⇔ x = 035 , 1
9 ,
33 ≈ 32,75362319.
Le montant des dépenses des touristes étrangers en France en 2004 est proche de 32,8 milliards d'euros.
3. a. Calculer le solde pour l'année 2004 cela signifie faire le calcul 32,8 + 23,0 = 55,8.
Le solde pour l'année 2004 est de 55,8 milliards d'euros.
3. b. Le taux d'évolution de ce solde est 8 , 55
8 , 55 9 ,
58 − =
8 , 55
1 ,
3 ≈ 0,055555556.
Le taux d'évolution de ce solde entre 2004 et 2005 est proche de 5,6 %.
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E2 ( 6 points et 55 minutes ).
Le coût moyen journalier, en euros d'un équipement industriel, en fonction de la durée d'utilisation est modélisé par la fonction Cm définie sur l'intervalle [ 200 ; 4000 ] par Cm ( x ) = 1 500 + 2x + 2000000
x , où x est exprimé en jours.
1. Sur la calculatrice, faisons apparaître la courbe représentant Cm dans la fenêtre 200 ≤ x ≤ 4000 et 5 000 ≤ y ≤ 12 000.
Reproduisons, sur la copie, l'allure de la courbe dans la fenêtre considérée.
2. a. On note Cm' la fonction dérivée de la fonction Cm sur l'intervalle [ 200 ; 4 000 ]. Calculons Cm' ( x ).
Soit x ∈ [ 200 ; 4 000 ] alors Cm' ( x ) = 0 + 2 − 2000000×
²
x1 = 2 × ( 1 − 1000000 ×
² x1 ).
2. b. Soit x ∈ [ 200 ; 4 000 ] alors Cm' ( x ) = 2 × ( 1 − 1000000 ×
²
x1 ) = 2 × ( x² ×
²
x1 − 1000000 ×
² x1 ) Cm' ( x ) = 2 ×
²
x1 × ( x² − 1000 2 ) = 2 ×
²
x1 × ( x − 1000 ) × ( x + 1000 ) = 2
² x
) 1000 x )(
1000 x
( − + .
Donc j'ai montré que Cm' ( x ) = 2
² x
) 1000 x )(
1000 x
( − + .
Déterminons le signe de Cm' sur l'intervalle [ 200 ; 4 000 ].
x 200 1 000 4 000
2 ( x − 1000 ) − 0 +
Cm' ( x ) − 0 +
Soit x ∈ [ 200 ; 1 000 ] alors Cm' ( x ) ≤ 0. Soit x ∈ [ 1 000 ; 4 000 ] alors Cm' ( x ) ≥ 0.
2. c. Donnons le tableau des variations de la fonction Cm sur l'intervalle [ 200 ; 4 000 ].
Cm ( 200 ) = 1500 + 2 × 200 + 2000000
200 = 1500 + 400 + 10000 = 11900.
Cm ( 1000 ) = 1500 + 2 × 1000 + 2000000
1000 = 1500 + 2000 + 2000 = 5500.
Cm ( 4000 ) = 1500 + 2 × 4000 + 2000000
4000 = 1500 + 8000 + 500 = 10000.
x 200 1000 4000
signe de Cm' − 0 +
11900 10000
Cm
5500
2. d. La durée d'utilisation de l'équipement qui correspond à un coût moyen journalier minimum est de 1000 jours et le coût moyen journalier minimum est de 5500 euros.
800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 3800 4100 -100
6200 6800 7400 8000 8600 9200 9800 10400 11000
200 500 5000 5600
x y
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E3 ( 6 points et 55 minutes ).
A B C D E
1 proposition 1 proposition 2
2 rang de l'année n capital disponible
c ( n ) partie rémunérée partie non rémunérée
capital disponible u ( n )
3 0 1100.00 900.00 200 1100.00
4 1 1149.50 948.60 200 1148.60
5 2 1201.23 999.82 200 1199.82
6 3 1255.28 1053.81 200 1253.81
7 4 1311.77 1110.72 200 1310.72
8 5 1370.80 1170.70 200 1370.70
9 6 1432.49 1233.92 200 1433.92
10 7 1496.95 1300.55 200 1500.55
11 8 1564.31 1370.78 200 1570.78
1.a. Justifions que la suite c est une suite géométrique de premier terme 1 100 et de raison 1,045.
c ( n ) est le capital qu'il aura acquis au bout de n années s'il choisit la proposition 1 cad placement de la totalité de la somme à intérêts composés sur un " livret jeune ", au taux annuel de 4,5 %. Autrement dit, on passe de c ( n ) à c ( n + 1 ) en multipliant par 1 + 4,5 % = 1 + 0,045 = 1,045.
Donc la suite c est une suite géométrique de raison b = 1,045 et de premier terme c ( 0 ) = 1100.
1. b. Donnons une formule à entrer dans la cellule B4 permettant par recopie vers le bas d'obtenir la plage B5 : B11.
= B3 * 1,045
2. a. Donnons une expression permettant de calculer le terme u ( 1 ) = 1 148,60.
u ( 1 ) est le capital qu'il aura acquis au bout de 1 année s'il choisit la proposition 2 cad placement de 900 euros à intérêts composés au taux de 5,4 % par an et versement des 200 euros restants sur un compte non rémunéré.
u ( 1 ) = ( 1100 − 200 ) × ( 1 + 5,4 % ) + 200 = 900 × 1,054 + 200 = 948,60 + 200 = 1148,60
2. b. Donnons des formules, à recopier vers le bas, à entrer dans les cellules C4, D4 et E4 pour obtenir la plage C5 : C11.
formule à entrer en C4 = C3 * 1,054 formule à entrer en D4 = D3 formule à entrer en E4 = C4 + D4
3. Indiquons en fonction de la durée du placement la proposition la plus avantageuse. Justifions.
Entre 0 et 5 ans compris, la proposition la plus avantageuse est la proposition 1 car les valeurs de c ( n ) sont strictement supérieures aux valeurs de u ( n ) pour 0 ≤ n ≤ 5.
Entre 6 et 8 ans compris, la proposition la plus avantageuse est la proposition 2 car les valeurs de u ( n ) sont strictement supérieures aux valeurs de c ( n ) pour 6 ≤ n ≤ 8.
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Mercatique 2007 2008
E4 ( 5 points et 45 minutes ).
1. a. Calculons les coordonnées du point moyen G du nuage de points ( xi ; yi ). Plaçons le point G sur le graphique.
xG =
10
2003 2002 2001 2000 1999 1998 1997 1996 1995
1994+ + + + + + + + + = 19985
10 = 1998,5.
yG =
10
1800 1700 1850 1650 1750 1700 1750 1600 1650
1150+ + + + + + + + + = 17000
10 = 1700.
Voir point G sur le graphique.
1. b. Déterminons une équation de la droite D d'ajustement de ce nuage par la méthode des moindres carrés.
On utilisera la calculatrice et on arrondira les coefficients de l'équation à 0,01 près.
La calculatrice donne a = 21,8181 et b = − 41903,6.
En arrondissant les coefficients à 0,01 près, on obtient y = 21,82x − 41903,6.
2. On choisit comme droite d'ajustement de la série ( xi ; Yi ) la droite ∆ d'équation Y = 42x − 82 489.
Traçons ∆. J'ai placé dans le repère les points de coordonnées ( 2007 ; 1805 ) et ( 1995 ; 1301 ).
3. A partir des ajustements donnés aux question précédentes, déterminons graphiquement à partir de quelle année on peut estimer que la production de commodes sera supérieure ou égale à celle des lits cela signifie rechercher l'abscisse du point d'intersection de ces deux droites cad 2011. En effet à partir de l'année 2011, la droite ∆ est située au dessus de la droite D ce qui signifie que l'on produit plus de commodes que de lits.
Retrouvons ce résultat par le calcul cela signifie rechercher x tel que 42x − 82489 ≥ 21,82x − 41903,6
⇔ 42x − 21,82x ≥ 82489 − 41903,6 ⇔ 20,18x ≥ 40585,4 ⇔ x ≥ 18 , 20
4 ,
40585 ⇔ x ≥ 2011,169.
Autrement dit à partir de l'année 2012, on produit plus de commodes que de lits.
G
1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 1200
1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200
1993 1994 1000
1100
x y
