BAC BLANC 2018

Page 1 sur 4 Lycée Farhat Hached Msaken

Lycée Othman Chatti Msaken Lycée Ibn Sina Msaken

SECTION : Mathématiques

EPREUVE :

Mathématiques

DUREE

: 4 h

COEFFICIENT

: 4

Exercice 1 : (3 points)

L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct (O, i , j,k)

1) Soit P et Q les plans d’équations respectives x y z   5 0 et x y z   7 0 Montrer que les plans P et Q sont strictement parallèles.

2) Soit S la sphère de centre I( 1,2,1) et de rayon R  5

a) Montrer que P∩S est un cercle (

C

) dont on précisera le rayon et son centre H . b) Déterminer Q∩S .

3) On donne les points A(0,0,1) , B(0,1,2) et C(2,2,5).

Montrer que pour tout point M( x, y , z ) de l’espace on a :



^{AB AC .AM}



^2

^

^{x y z  1}

^

4) Déterminer l’ensemble des points M de la sphère S pour lesquels ABCM est un tétraèdre de volume égal à 2.

5) Soit h l homothétie de centre I et de rapport k tel que h ( P ) = Q . Déterminer le rapport k

Exercice 2 : (4 points)

1)a) Déterminer le reste modulo 16 de 2009.

b) En déduire que ^{20098001 2009}



^{mod 16}



^.

2) Soit la suite

 

Un définie sur IN par : U₀ 2009² 1 et U_n1  



1 U_n



⁵ 1 a) Montrer que ^U₀ ^0



^{mod 5}



^.

b) Montrer que pour tout n IN , on a : ^{Un1U Un}



^4n5



^{U3n2Un2 2Un1}

 

^.

c) Montrer par récurrence que pour tout n IN , on a : ^{Un 0}



^{mod 5n1}



^.

3) a) Vérifier que U₃ 2009²⁵⁰1.

b) En déduire que ^{2009250 1}



^{mod 625}



^.

c) Montrer alors que ^{20098001 2009}



^{mod 625}



4) Déterminer un entier naturel n tel que ^{n3 2009}



^{mod 104}



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Exercice 3 : ( 3 points)

Dans une usine, une machine fabrique des cylindres . On mesure l’écart X , en dixièmes de millimètre, entre le diamètre des cylindres et la valeur de réglage de la machine.

On suppose que cet écart X est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre 1.5.

1) Les résultats seront arrondis à 10⁻³ près

Calculer les probabilités p( 1 X 2 ) , p( X 1 ) et p( X 2 ) . 2) Si l’écart X est inférieur à 1 le cylindre est accepté .

Si l’écart X est compris entre 1 et 2, on procède à une rectification qui permet d’accepter le cylindre dans 80% des cas .

Si l’écart X est supérieur à 2, le cylindre est refusé.

Les cylindres acceptés sont acheminés à la salle de vente .

On prélève au hasard un cylindre dans la production de cette usine . On considère les évènements A : « Le cylindre choisi sera accepté »

R : « Le cylindre choisi subira une rectification»

En utilisant les valeurs approchées trouvées dans la question 1) a) Calculer la probabilité que le cylindre choisi soit accepté ».

b) Sachant que le cylindre choisi est accepté. Montrer que la probabilité, arrondie à 10⁻³ près, qu’il ait subit une rectification est égale à 0.151.

3) Un commerçant commande n cylindres de la salle de vente .(n ≥ 2)

Soit Y la variable aléatoire égale au nombre des cylindres ayant subit une rectification.

a) Déterminer la loi de probabilité de Y.

b) Estimer le nombre moyen de cylindres ayant subit une rectification dans une commande de 100 cylindres.

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Exercice 4 : ( 6 points )

Soit f la fonction définie sur 0, ^{par :}

1 1

1 0

0 0

   

   

  

 



 f(x) e x si x

x f( )

On désigne par ( C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O , 𝐼⃗ , 𝐽⃗ ) 1) a. Montrer que f est continue à droite en 0 .

b. Etudier la dérivabilité de f à droite en 0 .Interpréter graphiquement ce résultat.

2) a. Vérifier que pour tout x 0 on a :

1 3

1 ^

 ^x

f '(x) e x b. Dresser le tableau de variation de f . 3) Montrer que le point A d’abscisse 1

3 est un point d’inflexion de ( C ).

4) Tracer la courbe (C)

5) a. Montrer que l’équation :

1 1

2

xe^x  admet dans 0, une unique solution 𝛽.

b .Calculer alors l’aire de la partie du plan limitée par ( C ) et les droites d’équations respectives : y 1 , x 1 et x 2 .

6) a. Montrer que pour tout n IN * , il existe un unique réel 1

n 0 , n

 

   tel que f

 

 n e^n b. Montrer que la suite (𝛼_𝑛 ) est décroissante, puis calculer sa limite .

c. Montrer que pour tout n IN * , on a : 1

1 1

n n

n

n ln 

       

d. En déduire la limite de la suite



^n_n



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Exercice 5 : (4 points)

Soit f la fonction définie sur 0 , 4

 

 

  par

2

( ) 1

1 2 cos ( ) f x

x

  ^.

On désigne par

C

la courbe de f dans un repère orthonormé direct

 

^{O,i,j .}

On munit l’espace d’un repère orthonormé direct



^O,i,j,k



^.

Soit S le solide de révolution engendré par la rotation de

C

autour de l’axe des abscisses

 

^O,i . (S) 1) Soit F et G les fonctions définies sur ;

2 2

 

 

  par

0 1 2 2

x dt

F(x) cos (t)



 ^et 0 3 ²

tan x dt

G(x) t



 ^.

a) Montrer que le volume V de S est V .F 4

 

   

 ^. b) Montrer que G est dérivable sur ;

2 2

 

 

  puis calculer G'(x). c) En déduire que pour tout ;

x   2 2, on a : F(x) G(x) . 2) Soit H la fonction définie sur ;

2 2

 

 

  par

0 1 2 x dt

H(x) t



 ^. a) Montrer que pour tout ;

x  2 2  on a : ^{H tanx}

 

^{ x.}

b) Montrer que pour tout ;

x   2 2 on a : 1 1

3 3

G(x) H tanx

  

 ^. 3) Déduire que V ² 3

18

  .