Problématique : pour quelle valeur de x le volume de la boite est maximal ?PARTIE 1.On suppose que

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NOM : Tpro ….., M SERRE DATE :

INTERROGATION TYPE CCF

OPTIMISATION DU VOLUME D'UNE BOITE

Compétences et capacités évaluées :

S'approprier : comprendre l'énoncé

Réaliser : calculer le volume d'un parallélépipède

Analyser, raisonner : proposer un moyen de résoudre une problématique

On veut fabriquer une boite rectangulaire sans couvercle à partir d'une feuille de métal de 18 cm sur 48 cm en découpant des carrés de x cm de côté à chaque coin de la feuille et en remontant les côtés (voir schéma ci- dessous).

Problématique : pour quelle valeur de x le volume de la boite est maximal ?

PARTIE 1.

On suppose que x est la longueur du côté du carré découpé.

1) Calculer le volume de la boite et l'exprimer sous la forme ax³ + bx² + cx + d

RAPPEL : le volume d'une boite est : longueur * largeur * hauteur RAPPEL : le volume d'une boite est : longueur * largeur * hauteur RAPPEL : le volume d'une boite est : longueur * largeur * hauteur RAPPEL : le volume d'une boite est : longueur * largeur * hauteur

2) Proposer un moyen de résoudre cette problématique.

…...

1) volume boite = longueur * largeur * hauteur = (48 – 2x)*(18 - 2x)*x

volume boite = (48 – 2x)*(18x – 2x²) = 48*18x + 48*(-2x²) – 2x * 18x – 2x * (-2x²) volume boite = 864x – 96x² – 36x² + 4x³

volume boite = 4x³ – 132x² + 864x

…...

2) On fait une étude de variations (dérivée, dérivée nulle, tableau de variations) puis en comparant les valeurs du tableau avec la réalité, on trouve ce que l'on veut

…...

Appel n°1 : appeler l'enseignant pour lui proposer votre réponse et votre recherche et récupérer la 2^e feuille.

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INTERROGATION TYPE CCF

OPTIMISATION DU VOLUME D'UNE BOITE

Compétences et capacités évaluées :

Réaliser : déterminer la dérivée d'une fonction en x³ Réaliser : étudier les variations d'une fonction en x³

Réaliser : dresser un tableau de variations d'une fonction en x³ Valider : Donner la réponse à la problématique en argumentant Communiquer : maximum

PARTIE 2. (formulaire en page 3)

On considère la fonction f(x) définie sur l'intervalle [0 ; 20] par f(x) = 4x³ – 132x² + 864x 1) On désigne par f ' la fonction dérivée de la fonction f. Déterminer f '(x).

f '(x) = 4*3x² – 132*2x + 864 = 12x³ – 264x + 864

2) Etudier le signe de f(x) sur l'intervalle [0 ; 20].

Calcul du déterminant ∆

∆ = b² – 4ac = (-264)² – 4*12*864 = 28224

∆ > 0 donc l'équation a deux solutions réelles x₁==== b++++

√√√√

((((∆∆∆))))∆

2 a ==== (((( 264))))++++

√√√√

²⁸²²⁴

2∗∗∗∗12 ====18 x₁==== b

√√√√

^((((∆^∆^∆^{∆ ))))}

2 a ==== (((( 264))))

√√√√

²⁸²²⁴

2∗∗∗12∗ ====4

3) Construire le tableau de variation de la fonction f.

x 0 4 18 20 Signe de f '(x) + 0 - 0 + Variation de f

1600 -3520 0 -3888

4) Pour vérifier vos réponses, et si vous voulez, tracer la courbe représentative de la fonction f à la calculatrice.

5) Répondre à la problématique en réfléchissant vraiment : pour quelle valeur de x le volume de la boite est maximal ?

Le volume de la boite est maximal pour un carré de 4 cm de côté à chaque extrémité. Le volume maximal est alors 1600 cm³.

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INTERROGATION TYPE CCF

OPTIMISATION DU VOLUME D'UNE BOITE

Formulaire :

Soit une fonction f(x) = ax² + bx + c

∆ = b² – 4ac

Si ∆ > 0, l'équation a deux solutions réelles : x₁= b+

√

^{(∆ )}

2 a et x₂= b

√

^{(∆ )}

2 a

Si ∆ = 0, l'équation a une solution réelle double : x_{1, 2}= b 2 a Si ∆ < 0, l'équation n'a pas de solution réelle

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fonction dérivée

c 0

ax + b a

x² 2x

x³ 3x²

1 x

1 x²

√

⁽^x⁾ ₂

√

¹⁽^x⁾