MONTAIGNE. Cours de Mathématiques MPSI P 1 P 2. Fradin Patrick Lycée Montaigne

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MONT

AIGNE

Cours de Mathématiques MPSI

Lycée Montaigne 2020-21

D P

1

y P

2

x z

©Fradin Patrick –https://mpsi.tuxfamily.org

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MONT

AIGNE

Chapitre 1

Éléments de logique

Sommaire

I Notions ensemblistes. . . . 1

1) Vocabulaire lié aux ensembles . . . . 1

2) Propriétés . . . . 3

II Notions de logique . . . . 3

1) Propositions . . . . 3

2) Connecteurs logiques . . . . 4

3) Propriétés . . . . 5

4) Quantificateurs . . . . 5

5) Retour sur les ensembles . . . . 6

III Le raisonnement . . . . 8

1) Raisonnement par l’absurde . . . . 8

2) Raisonnement par analyse-synthèse . . . . 8

3) Démontrer une implication . . . . 8

4) L’équivalence. . . . 9

5) La récurrence . . . . 9

I NOTIONS ENSEMBLISTES

1) Vocabulaire lié aux ensembles

Nous ne définirons pas rigoureusement la notion d’ensemble, celle-ci sera considérée comme intuitive. Nous nous contenterons de la « définition » suivante :

Un ensemble Eest une collection d’objets¹, ceux-ci sont appeléséléments deE. Si𝑥 est un élément deEon écrira𝑥 ∈ E(se lit «𝑥appartient àE»), dans le cas contraire on écrira𝑥 ∉ E. Si En’a pas d’éléments on dira que c’est l’ensemble vide et on le notera∅. Deux ensemblesEetF sont dits égaux si et seulement si ils ont les mêmes éléments, on écrira alorsE = F.

Définition 1.1

ZExemples:

– Les ensembles de nombres :ℕ,ℤ,𝔻,ℚ,ℝ,ℂ.

– L’ensemble des fonctions deℝdansℝ:ℱ(ℝ, ℝ).

– Ensembles définis en extension, comme : E = {1; 8; 6; 2} (éléments non ordonnés et devant apparaître une seule fois dans la liste).

– Ensembles définis encompréhension, comme :E = {𝑝 ∈ ℕ / 𝑝est impair} = {2𝑘 + 1 / 𝑘 ∈ ℕ}.

1. Cependant toute collection d’objets ne constitue pas forcément un ensemble. Par exemple, le paradoxe de Bertrand Russel a montré que l’ensemble des ensembles ne peut pas exister, sinon, la considération de l’ensemble𝑦 = {𝑥 / 𝑥 ∉ 𝑥}

conduit à une absurdité.

MPSI3 (2020-21) Lycée Montaigne – 1 – ©Fradin Patrick –https://mpsi.tuxfamily.org

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Notions ensemblistes Chapitre 1 : Éléments de logique

L’écritureE = {𝑝 ∈ ℕ / 𝑝est impair}ne signifie pas queEest un ensemble qui contient un seul élément qui s’appelle𝑝, mais queEest l’ensemble detousles entiers naturels𝑝tels que𝑝est impair, en langage courant on dit plutôt queEest l’ensemble de tous les entiers naturels impairs. Dans le langage mathématique, il faut donner un nom à ces entiers (variable muette, ici𝑝) pour pouvoir ensuite les manipuler ou les décrire.

Attention !

SoientAetBdeux ensembles :

– L’inclusion: on dit queAest inclus dansBtous les éléments deAsont également éléments deB, notation :A ⊂ B.

– Ensemble des parties: siAest inclus dansB, on dit queAest unepartiedeB. L’ensemble des parties deBest noté𝒫(B), donc écrire «A ⊂ E» revient à écrire «A ∈𝒫(B)». Par exemple, l’ensemble vide etBsont des parties deB, donc∅ ∈𝒫(B)etB ∈𝒫(B).

– La réunion: on noteA ∪ B(se lit «AunionB»), l’ensemble que l’on obtient en regroupant les éléments deAavec ceux deB, par exemple{2𝑘 + 1 / 𝑘 ∈ ℤ} ∪ {2𝑛 / 𝑛 ∈ ℤ} = ℤ.

– L’intersection: on noteA ∩ B(se lit «AinterB»), l’ensemble des élémentscommunsàAetB.

Par exempleℕ ∩ ℤ^∗= ℕ^∗. On dit que deux ensembles sontdisjointslorsque leur intersection est l’ensemble vide.

– La différence: on noteA ⧵ B(se lit «AmoinsB»), l’ensemble des éléments qui sont dansA mais pas dansB. Par exemple,ℝ⁺= ℝ⧵] − ∞; 0[.

– Le complémentaire d’une partie: lorsqueAest unepartiedeB, la différenceB ⧵ Aest appelé complémentaire deAdansB, noté CB(A)(ou bienA). Par exempleℝ ⧵ ℚest l’ensemble des irrationnels.

– Le produit cartésien: le produit cartésien deAparBest l’ensemble des couples(𝑥; 𝑦)avec 𝑥 ∈ Aet𝑦 ∈ B, on le noteA × B, c’est à direA × B = {(𝑥; 𝑦) / 𝑥 ∈ A, 𝑦 ∈ B}. On rappelle que (𝑥; 𝑦) = (𝑎; 𝑏)si et seulement si𝑥 = 𝑎et𝑦 = 𝑏. Attention à ne pas confondre un couple avec une paire (ensemble à deux éléments), par exemple :{1; 2} = {2; 1}, mais(1; 2) ≠ (2; 1).

Définition 1.2

B A

A ⊂ B

B A

A ⊄ B

A B

A ∪ B

A B

A ∩ B

A B

A ⧵ B

B A

C_B(A)

★Exercice 1.1 Décrire𝒫(E)lorsqueE = {1; 2; 3}.

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Notions de logique Chapitre 1 : Éléments de logique

Remarque 1.1 :

– Dire que deux ensemblesAetBsont égaux, revient à dire queAest inclus dansB, et queBest inclus dansA. Doncdémontrer une égalité entre deux ensembles, peut se faire en démontrant une double inclusion.

– Le produit cartésien se généralise à trois ensembles ou plus généralement à𝑛ensembles : E₁× ⋯ × E_𝑛 = {(𝑥₁, … , 𝑥_𝑛) / 𝑥1 ∈ E₁, … , 𝑥_𝑛∈ E_𝑛}

Lorsque tous les ensembles sont égaux au même ensembleE, on noteE × ⋯ × E = E^𝑛(ensemble des 𝑛-listes, ou𝑛-uplets d’éléments deE). Par exemple,ℝ²= ℝ × ℝ, ensemble des couples de réels, peut servir à modéliser un plan muni d’un repère, de même,ℝ³= ℝ × ℝ × ℝ, ensemble des triplets de réels, peut servir à modéliser l’espace usuel muni d’un repère.

2) Propriétés

SoientA,BetCtrois ensembles, on aA ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). C’est ladistributivitéde la réunion sur l’intersection.

De même, on aA ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). C’est ladistributivitéde l’intersection sur la réunion.

Théorème 1.1(Propriétés de la réunion et de l’intersection)

Preuve: Ceci sera démontré un peu plus loin. □

SiAetBsont deux parties d’un ensembleE: – A ∪CE(A) = E.

– CE(E) = ∅, CE(∅) = E.

– CE(CE(A)) = A.

– CE(A ∪ B) =CE(A) ∩CE(B)(loi deDe Morgan²).

– CE(A ∩ B) =CE(A) ∪CE(B)(2^eloi deDe Morgan).

Théorème 1.2(Propriétés du complémentaire)

Preuve: Ceci sera démontré un peu plus loin. □

II NOTIONS DE LOGIQUE

1) Propositions

Nous nous contenterons de la « définition » suivante :

Une proposition est une phrase (ou assertion) qui a un sens mathématique et qui est soit vraie soit fausse³. On dira qu’une proposition n’a que deux valeurs de vérité : vraie (notée V) et fausse (notée F). SiPdésigne une assertion, on notera¬Psa négation (lire « nonP»).

Définition 1.3(Proposition)

ZExemples:

– «2est un entier pair » est une proposition vraie.

– «3est un entier pair » est une proposition fausse.

– «𝑛est un entier pair » n’est pas une proposition car sa valeur de vérité dépend de la valeur de𝑛, un telle phrase est appeléeprédicatportant sur la variable𝑛à valeurs dansℤ, on pourrait noter ce prédicatP(𝑛)par exemple.

– SiAetBdésignent deux ensembles, alors la phraseA ⊂ Best une proposition (tous les éléments deAsont éléments deB). Sa négation s’écritA ⊄ B(un élément deAn’est pas forcément un élément deB).

– L’expression ℕ ∈ ℝ» est une proposition, elle est fausse carℕn’est pas un réel.

2. DE MORGAN Augustus(1806 – 1871) logicien anglais.

3. Il ne doit pas y avoir d’autre alternative selon le principe du tiers exclu.

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– L’expression ℕ ⊂ ℝ» est une proposition, elle est vraie car tout naturel est aussi un réel.

SiPest une proposition, la valeur de vérité de¬Pse déduit de celle dePconformément à la table de vérité suivante :

P ¬P

V F

F V

Par convention :

Dans les raisonnements mathématiques on n’écrit que des propositions vraies. SiPest une proposition, au lieu d’écrire «Pest vraie », on écrit plus simplement «P», et au lieu d’écrire «Pest fausse », on écrit plus simplement «¬P», c’est à dire la négation.

2) Connecteurs logiques

Ceux-ci permettent de relier deux propositions pour en donner une troisième.

SoientPetQdeux propositions. On dit que :

• la proposition «P ∧ Q» (lire «PetQ») est vraie lorsque les deux propositions le sont simulta- nément, sinon on dira qu’elle fausse.

• la proposition «P ∨ Q» (lire «PouQ») est vraie lorsqu’au moins une des deux propositions est vraie (voire les deux), sinon on dira qu’elle fausse.

Définition 1.4(conjonction, disjonction inclusive)

P Q P ∧ Q P ∨ Q

V V V V

V F F V

F V F V

F F F F

SoientPetQdeux propositions. On dit que :

• la proposition «P ⟹ Q» (lire «PimplicationQ») est fausse lorsquePest vraie mais pasQ.

• la proposition «P ⟺ Q» (lire «PéquivalenceQ») est vraie lorsque les deux propositions ont lamême valeur de vérité.

Définition 1.5(implication, équivalence)

P Q P ⟹ Q P ⟺ Q

V V V V

V F F F

F V V F

F F V V

ZExemples:

– La proposition « (2est pair) ⟹ (3est impair) » est vraie.

– La proposition « (2est impair) ⟹ (3est pair) » est vraie⁴. – La proposition « (2est pair) ⟹ (3est pair) » est fausse.

– La proposition « (2est impair) ⟺ (3est pair) » est vraie.

SoientPetQdeux propositions.

• Lorsque la proposition «P ⟹ Q» est vraie on dit «PimpliqueQ» (ou « siPalorsQ»).

• Lorsque la proposition «P ⟺ Q» est vraie on dit que «P équivaut à Q» (ou «Pest équivalent àQ» ou encore «Psi et seulement siQ»).

Définition 1.6(implique, équivaut)

4. Ceci peut paraître surprenant au premier abord, mais nous verrons qu’en écrivant la négation cela devient évident.

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Principe de déduction

SoientPetQdeux propositions, si on sait quePimpliqueQ, et quePest vraie, alors on a forcément Qvraie d’après la définition de l’implication. C’est leprincipe de déduction⁵.

3) Propriétés

Maintenant que nous savons ce que sont des propositions équivalentes, nous allons pouvoir établir les propriétés suivantes :

SoientPetQdeux propositions :

– La proposition «¬¬P» est équivalente à «P».

– La proposition «¬(P ∧ Q)» est équivalente à «(¬P) ∨ (¬Q)» (1^reloi deDe Morgan).

– La proposition «¬(P ∨ Q)» est équivalente à «(¬P) ∧ (¬Q)» (2^eloi deDe Morgan).

– L’implication «P ⟹ Q» est équivalente à «(¬P) ∨ Q».

– La proposition «¬(P ⟹ Q)» est équivalente à «P ∧ (¬Q)».

– La proposition «P ⟺ Q» est équivalente à «(P ⟹ Q) ∧ (Q ⟹ P)».

– La proposition «P ⟺ Q» est équivalente à «(¬P) ⟺ (¬Q)».

Théorème 1.3

Preuve: La première propriété est évidente. Les autres se montrent avec une table de vérité (à compléter en exercice) :

P Q ¬(P ∧ Q) (¬P) ∨ (¬Q) ¬(P ∨ Q) (¬P) ∧ (¬Q) P ⟹ Q (¬P) ∨ Q

V V

V F

F V

F F

P Q ¬(P ⟹ Q) P ∧ (¬Q) P ⟺ Q (P ⟹ Q) ∧ (Q ⟹ P) (¬P) ⟺ (¬Q)

V V

V F

F V

F F

□ ZExemple : La négation de la proposition « (2 est impair) ⟹ (3est pair) » est équivalente à la

proposition « (2est impair)∧(3est impair) », or celle-ci est fausse, et donc la première est vraie.

★Exercice 1.2 Sans utiliser de table de vérité, redémontrer (en utilisant les autres propriétés) que :

«¬(P ⟹ Q)» est équivalente à «P ∧ (¬Q)».

SoientPetQdeux propositions.

• La réciproque de l’implication «P ⟹ Q» est l’implication «Q ⟹ P».

• La contraposée de l’implication «P ⟹ Q» est l’implication «(¬Q) ⟹ (¬P)».

Définition 1.7(réciproque, contraposée)

Il découle alors du théorème précédent :

Une implication et sa contraposée sont équivalentes.

Deux propositions sont équivalentes si et seulement si les implications dans les deux sens sont vraies.

Théorème 1.4

5. Par contre, siPimpliqueQ, et quePest fausse, alors on ne peut rien dire deQ.

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MONT

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Remarque 1.2 – Ce résultat est à connaître car très utilisé dans les raisonnements (raisonnements par contra-position, raisonnements par double implication).

4) Quantificateurs

Les quantificateurs servent à construire des propositions à partir d’un prédicatP(𝑥), dont la variable 𝑥prend ses valeurs dans un certain ensembleE. On rencontre :

– Le quantificateuruniversel: «∀𝑥 ∈ E,P(𝑥)» (se lit « pour tout𝑥dansE,P(𝑥)[sous entendu est vraie] »). Par exemple, la proposition «∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑥²⩾ 0» se lit « pour tout réel𝑥, le carré de𝑥est positif ou nul », ou bien encore « le carré de tout réel est positif ».

– Le quantificateurexistentiel: «∃𝑥 ∈ E,P(𝑥)» (se lit « il existe au moins un𝑥deEtel queP(𝑥) [sous entendu est vraie] »). Par exemple, la proposition «∃𝑥 ∈ ℂ, 𝑥²= −1», se lit « il existe au moins un nombre complexe dont le carré vaut−1».

Remarque 1.3 :

– On rencontre aussi parfois la proposition «∃!𝑥 ∈ E,P(𝑥)» (se lit « il existe un unique𝑥deEtel que P(𝑥)[sous entendu est vraie] »). Par exemple, «∃!𝑥 ∈ ℝ⁺, 𝑥²= 2».

– On peut trouver plusieurs quantificateurs dans une même proposition. Par exemple, «∀𝑦 ∈ ℝ⁺, ∃!𝑥 ∈ ℝ⁺, 𝑥²= 𝑦» traduit que tout réel positif est le carré d’un unique réel positif.

Les propositions «∀𝑥 ∈ A, ∃𝑦 ∈ B, P(𝑥, 𝑦)» et «∃𝑦 ∈ B, ∀𝑥 ∈ A, P(𝑥, 𝑦)», n’ont pas le même sens. En effet, dans la première le𝑦dépendde𝑥alors que dans la seconde il s’agit dumême𝑦pour tous les𝑥.

Attention !

Celle-ci est régie par les règles suivantes : a) La négation de∀est∃(et vice - versa).

b) On peut intervertir deux quantificateurs de même nature.

c) On ne peut pas intervertir deux quantificateurs de nature différente.

À retenir: utilisation des quantificateurs

ZExemples:

– L’assertion «∀𝑥 ∈ ℝ⁺, ∃𝑦 ∈ ℝ⁺, 𝑦² = 𝑥» est vraie, elle traduit que tout réel positif (𝑥) est le carré d’au moins un réel positif (𝑦). Mais l’assertion «∃𝑦 ∈ ℝ⁺, ∀𝑥 ∈ ℝ⁺, 𝑦² = 𝑥» traduit que tout réel positif (𝑥) est le carré d’unmême réel (𝑦), ce qui est évidemment faux. Sa négation est

«∀𝑦 ∈ ℝ⁺, ∃𝑥 ∈ ℝ⁺, 𝑦²≠ 𝑥».

– On a toujours l’implication suivante :(∃𝑥 ∈ A, ∀𝑦 ∈ B, P(𝑥, 𝑦)) ⟹ (∀𝑦 ∈ B, ∃𝑥 ∈ A, P(𝑥, 𝑦)).

– La négation de «∀𝑥 ∈ A, ∃𝑦 ∈ B, P(𝑥, 𝑦)» est «∃𝑥 ∈ A, ∀𝑦 ∈ B, ¬(P(𝑥, 𝑦))».

★Exercice 1.3

1/Traduire dans le langage mathématique : la suite(𝑢_𝑛)est majorée. Écrire la négation. Qu’en est-il de la suite définie par𝑢𝑛= 𝑛²? Justifier.

2/Traduire dans le langage courant les propositions suivantes : a)∃𝑦 ∈ ℝ, ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 ⩽ 𝑦.

b)∃𝑦 ∈ ℕ, ∀𝑥 ∈ ℕ, 𝑦 ⩽ 𝑥.

5) Retour sur les ensembles

SoientAetBdeux parties d’un ensembleE.

Intersection d’ensembles

Si𝑥désigne un élément deE, démontrer que𝑥 ∈ A ∩ B, c’est démontrer la proposition « (𝑥 ∈ A) et (𝑥 ∈ B) ». On peut donc écrire :A ∩ B = {𝑥 ∈ E / 𝑥 ∈ Aet𝑥 ∈ B}.

Réunion d’ensembles

Si𝑥désigne un élément deE, démontrer que𝑥 ∈ A ∪ B, c’est démontrer la proposition « (𝑥 ∈ A) ou (𝑥 ∈ B) ». On peut donc écrire :A ∪ B = {𝑥 ∈ E / 𝑥 ∈ Aou𝑥 ∈ B}.

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Complémentaire

Si𝑥désigne un élément deE, démontrer que𝑥 ∈CE(A), c’est démontrer la proposition « (𝑥 ∉ A).

On peut donc écrire : CE(A) = {𝑥 ∈ E / 𝑥 ∉ A}.

Différence d’ensembles

Si𝑥désigne un élément deE, démontrer que𝑥 ∈ A ⧵ B, c’est démontrer la proposition « (𝑥 ∈ A) et (𝑥 ∉ B) ». On peut donc écrire :A ⧵ B = {𝑥 ∈ E / 𝑥 ∈ Aet𝑥 ∉ B}, il en découle queA ⧵ B = A ∩CE(B).

Inclusion d’ensembles

Démontrer que Aest inclus dans B, c’est démontrer que les éléments deAsont également des éléments deB, c’est à dire, pour tout élément𝑥deE, on a :𝑥 ∈ A ⟹ 𝑥 ∈ B. Pour établir ceci, on prend un élément𝑥quelconquedeE, et on démontre la proposition𝑥 ∈ A ⟹ 𝑥 ∈ B.

Égalité d’ensembles

Démontrer queAest égal àB, c’est démontrer la double inclusion :A ⊂ BetB ⊂ A, c’est à dire, pour tout élément 𝑥de E, on a : (𝑥 ∈ A ⟹ 𝑥 ∈ B) et (𝑥 ∈ B ⟹ 𝑥 ∈ A), ce qui équivaut à : 𝑥 ∈ A ⟺ 𝑥 ∈ B. Pour établir ceci, on prend un élément𝑥 quelconquedeE, et on démontre la proposition𝑥 ∈ A ⟺ 𝑥 ∈ B.

Démontrer queA ⊂ B, c’est démontrer :∀𝑥 ∈ E, 𝑥 ∈ A ⟹ 𝑥 ∈ B.

Démontrer queA = B, c’est démontrer :∀𝑥 ∈ E, 𝑥 ∈ A ⟺ 𝑥 ∈ B.

À retenir

ZExemples:

– SoientA,BetCtrois parties d’un ensembleE, démontrer la distributivité de la réunion sur l’intersection c’est démontrer :

∀𝑥 ∈ E,(

𝑥 ∈ A ∪ (B ∩ C))

⟺ (

𝑥 ∈ [A ∪ B] ∩ [A ∪ C])

On considère un𝑥quelconque dansE, on peut alors montrer l’équivalence avec une table de vérité (à compléter en exercice) :

𝑥 ∈ A 𝑥 ∈ B 𝑥 ∈ C 𝑥 ∈ A ∪ (B ∩ C) 𝑥 ∈ [A ∪ B] ∩ [A ∪ C]

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

– SoientAetBdeux parties d’un ensembleE, soit𝑥un élément quelconque deE, alors : 𝑥 ∈CE(A ∪ B) ⟺ ¬(𝑥 ∈ A ∪ B)

⟺ ¬([𝑥 ∈ A] ∨ [𝑥 ∈ B])

⟺ [𝑥 ∉ A] ∧ [𝑥 ∉ B]

⟺ [𝑥 ∈CE(A)] ∧ [𝑥 ∈CE(B)]

⟺ 𝑥 ∈CE(A) ∩CE(B) Ce qui prouve que CE(A ∪ B) =CE(A) ∩CE(B).

★Exercice 1.4 En s’inspirant des deux exemples ci-dessus, démontrer le théorème1.1et le théorème1.2.

Résoudre une équation

Une équation dansℝ, d’inconnue𝑥réelle peut toujours se mettre sous la forme𝑓(𝑥) = 0. Résoudre cette équation dansℝc’est déterminer la partieSdeℝtelle que «∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑓(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 ∈ S» (Sest appelé l’ensemble des solutions réelles). La définition est la même pour une inéquation dansℝ.

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Le raisonnement Chapitre 1 : Éléments de logique

ZExemple: Pour résoudre dansℝl’inéquation¹_𝑥 < −1, on écrit : 1

𝑥 < −1 ⟺ 1

𝑥 + 1 < 0

⟺ 𝑥 + 1 𝑥 < 0

⟺ (𝑥 + 1)𝑥 < 0et𝑥 ≠ 0

⟺ 𝑥 ∈ ]−1 ; 0[

L’ensemble des solutions réelles est donc]−1 ; 0[.

III LE RAISONNEMENT

1) Raisonnement par l’absurde

SoitPune proposition dont on cherche à démontrer qu’elle est vraie. Raisonner par l’absurde c’est faire l’hypothèse quePest fausse, autrement dit, on suppose non(P), on cherche alors à obtenir une contradiction, c’est à dire une propositionQdont sait qu’elle est fausse, et telle que non(P) ⟹ Q.

Si on n’y parvient, cela veut dire que «Qet non(Q) » est vraie, ce qui est impossible car une telle proposition est toujours fausse :c’est le principe de non contradiction. La conclusion est quePest vraie.

ZExemple: montrons que√

2est un irrationnel par l’absurde : On suppose que√

2 ∈ ℚ, on peut écrire√

2 = ^𝑝_𝑞 avec𝑝et𝑞entiers strictement positifs et premiers entre eux. En élevant au carré on a2𝑞² = 𝑝², ce qui entraîne que𝑝est pair et donc𝑝 = 2𝑎avec𝑎entier, d’où2𝑞² = 4𝑎²i.e.𝑞² = 2𝑎², donc𝑞est pair lui aussi et par conséquent𝑝et𝑞ne sont pas premiers entre eux : contradiction.

2) Raisonnement par analyse-synthèse

Raisonner par analyse-synthèse lorsque l’on cherche la ou les solutions à un problème, c’est raisonner en deux étapes qui sont :

– l’analyse: on suppose que l’on a une solution du problème et on cherche à en déduire toutes les propriétés possibles de cette solution, l’objectif étant d’essayer de l’identifier au mieux,

– la synthèse: elle consiste à déterminer parmi tous les objets mathématiques ayant les propriétés requises (obtenues lors de l’analyse), ceux qui sont effectivement solutions du problème.

ZExemple: Montrons que toute fonction𝑓 ∶ [0; 1] → ℝest la somme d’une fonction affine et d’une fonction qui s’annule en0et en1.

•Analyse: supposons qu’il existe une fonction𝑔qui s’annule en0et en1, ainsi que deux réels𝑎et𝑏 tels que∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑔 (𝑥) + 𝑎𝑥 + 𝑏. En évaluant en0on doit avoir𝑓(0) = 𝑏, en évaluant en1on doit avoir𝑓(1) = 𝑎 + 𝑏, d’où𝑎 = 𝑓(1) − 𝑏 = 𝑓(1) − 𝑓(0). Maintenant que𝑎et𝑏sont connus, on en déduit que 𝑔est la fonction𝑥 ↦ 𝑓(𝑥) − 𝑎𝑥 − 𝑏

•Synthèse: posons𝑏 = 𝑓(0),𝑎 = 𝑓(1) − 𝑓(0)et𝑔 ∶ 𝑥 ↦ 𝑓(𝑥) − 𝑎𝑥 − 𝑏. Il est clair que𝑓(𝑥) = 𝑔 (𝑥) + 𝑎𝑥 + 𝑏, d’autre part𝑔 (0) = 𝑓(0) − 𝑏 = 0et𝑔 (1) = 𝑓(1) − 𝑎 − 𝑏 = 𝑓(1) − 𝑓(1) + 𝑓(0) − 𝑓(0) = 0. Donc𝑎,𝑏et𝑔sont bien solution du problème et celle-ci est unique.

3) Démontrer une implication

Par définition, l’implication «P ⟹ Q» est fausse lorsquePest vraie etQfausse, elle est vraie dans les autres cas. En particulier, siPest fausse, l’implication est nécessairement vraie quelque soit la valeur de vérité deQ. Par contre lorsquePest vraie, tout dépend deQ. Nous savons également que l’implication «P ⟹ Q» est équivalente à sa contraposée «¬Q ⟹ ¬P», donc démontrer l’une c’est démontrer l’autre.

•Méthode directe: on suppose que la propositionPest vraie (c’estl’hypothèse), on cherche alors à établir que nécessairement la propositionQest vraie elle aussi.

•Par l’absurde: on suppose le contraire deP ⟹ Q, c’est à dire on suppose «P ∧ ¬Q» (i.e.P À retenir: pour démontrer une implication.

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MONT

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est vraie etQest fausse. On montre alors que ceci conduit à une contradiction, ce qui entraîne que l’hypothèse faite est fausse et par conséquentP ⟹ Q.

•Par contraposition: on cherche à établir que¬Q ⟹ ¬P.

Remarque 1.4 – Pour démontrer «P ∨ Q» : cette proposition est équivalente à «¬P ⟹ Q». Par conséquent, démontrer «P ∨ Q» revient à démontrer «¬P ⟹ Q».

4) L’équivalence

Par définition, l’équivalence «P ⟺ Q» est vraie lorsquePetQont même valeur de vérité. Nous savons qu’elle équivaut à « (P ⟹ Q) et (Q ⟹ P) », donc montrer l’équivalence c’est montrer une implicationetréciproque.

•Par double implication: on établit dans un premier temps queP ⟹ Q, puis dans un deuxième temps on établit la réciproque, c’est à dire queQ ⟹ P.

•Méthode directe: on suppose que la propositionPest vraie (hypothèse) puis on cherche à établir queQest vraieen s’assurant à chaque étape du raisonnement que l’équivalence est conservée⁶.

À retenir: pour démontrer une équivalence.

5) La récurrence

SoitP(𝑛)un prédicat portant sur une variable𝑛 ∈ ℕ.

Si on aP(0)(initialisation) et si∀𝑛 ∈ ℕ, P(𝑛) ⟹ P(𝑛 + 1)(hérédité), alors nécessairement

∀𝑛 ∈ ℕ, P(𝑛).

À retenir: rappel du principe de récurrence

Remarque 1.5 :

– L’initialisation est juste une vérification, mais elle est indispensable.

Par exemple, soit le prédicatP(𝑛):«𝑛 = 𝑛 + 1», celui-ci vérifie bien l’hérédité (𝑛 = 𝑛 + 1 ⟹ 𝑛 + 1 = 𝑛 + 2), mais pour tout𝑛,P(𝑛)est fausse.

– Démontrer l’hérédité c’est démontrer une implication. En général on le fait par la méthode directe, on fait donc l’hypothèseP(𝑛), c’est ce que l’on appellel’hypothèse de récurrence, et on essaie d’en déduireP(𝑛 + 1).

Soit𝑎 ∈ ℤetP(𝑛)un prédicat portant sur une variable𝑛 ∈ ℤ.

•Si on aP(𝑎)et si∀𝑛 ⩾ 𝑎, P(𝑛) ⟹ P(𝑛 + 1), alors on peut conclure que∀𝑛 ∈ ℤ, 𝑛 ⩾ 𝑎 ⟹ P(𝑛).

•Si on aP(𝑎)et si∀𝑛 ⩽ 𝑎, P(𝑛) ⟹ P(𝑛 − 1), alors on peut conclure que∀𝑛 ∈ ℤ, 𝑛 ⩽ 𝑎 ⟹ P(𝑛) (récurrence descendante).

Théorème 1.5(variantes)

Preuve: Pour le premier point, on applique le principe de récurrence au prédicatQ(𝑛) = P(𝑛 + 𝑎)avec𝑛 ∈ ℕ.

Pour le deuxième, on applique le principe de récurrence au prédicatQ(𝑛) = P(𝑎 − 𝑛)avec𝑛 ∈ ℕ. □

★Exercice 1.5

1/Montrer que∀𝑛 ∈ ℕ^∗,∑𝑛

𝑘=1𝑘 = ^𝑛(𝑛+1)₂ . 2/Montrer que∀𝑛 ∈ ℕ^∗,∑𝑛

𝑘=1𝑘²= (2𝑛+1)𝑛(𝑛+1)

6 .

3/Montrer que∀𝑛 ∈ ℕ^∗,∑_𝑛

𝑘=1𝑘³=(_𝑛(𝑛+1)

2

)2

.

6. Cette méthode n’est pas toujours applicable, mais c’est celle que l’on utilise dans la mesure du possible pour résoudre une équation ou une inéquation.

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SoitP(𝑛)un prédicat portant sur une variable𝑛 ∈ ℕ.

Si on aP(0)(initialisation) et si∀ ∈ ℕ, (P(0) ∧ P(1) ∧ ⋯ ∧ P(𝑛)) ⟹ P(𝑛 + 1)(hérédité), alors nécessairement∀𝑛 ∈ ℕ, P(𝑛).

Théorème 1.6(récurrence forte)

Preuve: Appliquer la principe de récurrence au prédicatQ(𝑛) = P(0) ∧ P(1) ∧ ⋯ ∧ P(𝑛). □

La récurrence forte est utile lorsque le seul fait queP(𝑛)soit vraie ne suffit pas à en déduire P(𝑛 + 1). L’hypothèse de récurrence peut alors s’écrire : « supposons la propriété vraiejusqu’au rang𝑛».

À retenir

★Exercice 1.6 Soit(𝑢𝑛)la suite définie par𝑢0= 𝑢1= 1et∀ 𝑛 ∈ ℕ, 𝑢𝑛+2= 𝑢𝑛+1+ 𝑢𝑛(suite de Fibonacci), montrer par récurrence que pour tout n :

𝑢𝑛= 5 +√ 5 10

(1 +√ 5 2

)𝑛

+5 −√ 5 10

(1 −√ 5 2

)𝑛

(12)

MONT

AIGNE

Chapitre 2

Nombres complexes

Sommaire

I Écriture algébrique . . . 11

1) L’ensemble des complexes . . . 11

2) Partie réelle, partie imaginaire. . . 12

3) Conjugué d’un nombre complexe . . . 12

II Module d’un nombre complexe . . . 13

1) Définition . . . 13

2) Équation du second degré . . . 13

III Forme trigonométrique . . . 14

1) Le groupe unité . . . 14

2) Exponentielle d’un imaginaire pur . . . 14

3) Argument d’un nombre complexe . . . 15

4) Racines n^esd’un nombre complexe . . . 16

IV Exponentielle complexe . . . 17

1) Définition . . . 17

2) Formules d’Euler et de Moivre. . . 18

V Représentation géométrique des complexes, applications . . . 18

1) Affixe . . . 18

2) Distances. . . 18

3) Angles orientés . . . 19

4) Similitudes directes . . . 19

VI Formulaire de trigonométrie . . . 20 On suppose connu l’ensembleℝdes réels, les propriétés de ses deux opérations que sont l’addition et la multiplication, et la notion de valeur absolue d’un réel.

I ÉCRITURE ALGÉBRIQUE

1) L’ensemble des complexes

On admet l’existence d’un ensemble, que l’on noteraℂ, contenantℝet tel que :

– ℂpossède une addition et une multiplication,prolongeant celles deℝet vérifiant les mêmes propriétés, c’est à dire :

• L’addition est interne (∀𝑧, 𝑧^′∈ ℂ, 𝑧 + 𝑧^′ ∈ ℂ), commutative (∀𝑧, 𝑧^′ ∈ ℂ, 𝑧 + 𝑧^′= 𝑧^′+ 𝑧), associative (∀𝑧, 𝑧^′, 𝑧^′′ ∈ ℂ, (𝑧 + 𝑧^′) + 𝑧^′′ = 𝑧 + (𝑧^′+ 𝑧^′′)),0est élément neutre (∀𝑧 ∈ ℂ, 𝑧 + 0 = 0 + 𝑧 = 𝑧), chaque complexe admet un opposé dansℂ(l’opposé de𝑧 ∈ ℂest noté−𝑧).

• La multiplication est interne (∀𝑧, 𝑧^′∈ ℂ, 𝑧𝑧^′∈ ℂ), commutative (∀𝑧, 𝑧^′∈ ℂ, 𝑧𝑧^′= 𝑧^′𝑧), associative (∀𝑧, 𝑧^′, 𝑧^′′ ∈ ℂ, (𝑧𝑧^′)𝑧^′′ = 𝑧(𝑧^′𝑧^′′)),1est élément neutre (∀𝑧 ∈ ℂ, 𝑧 × 1 = 1 × 𝑧 = 𝑧), chaque complexeautre que0admet un inverse dansℂ(l’inverse de𝑧 ∈ ℂest noté𝑧⁻¹ou ¹_𝑧).

• La multiplication est distributive sur l’addition à gauche et à droite (∀𝑧, 𝑧^′, 𝑧^′′ ∈ ℂ, 𝑧(𝑧^′+ 𝑧^′′) = 𝑧𝑧^′+ 𝑧𝑧^′′, et(𝑧^′+ 𝑧^′′)𝑧 = 𝑧^′𝑧 + 𝑧^′′𝑧).

On résume toutes ses propriétés en disant que(ℂ, +, ×)est un corps commutatif.

– Il existe un complexe, que l’on notera𝑖, qui vérifie𝑖²= −1.

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MONT

AIGNE

Écriture algébrique Chapitre 2 : Nombres complexes

– Pour tout complexe𝑧, il existe deux réels𝑎et𝑏uniquestels que𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏.

★Exercice 2.1

1/Montrer que si𝑧 ∈ ℂ, alors𝑧 × 0 = 0 × 𝑧 = 0.

2/Soient𝑧, 𝑧^′∈ ℂtels que𝑧𝑧^′= 0, montrer que𝑧 = 0ou𝑧^′= 0.

2) Partie réelle, partie imaginaire

Soit𝑧 ∈ ℂ, on sait qu’il existe un réel𝑎unique et un réel𝑏unique tel que𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏. Le réel𝑎est appelépartie réellede𝑧, notée𝑎 =Re(𝑧), et𝑏la partie imaginairede𝑧, notée𝑏 =Im(𝑧). L’écriture 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏est appeléeforme algébriquede𝑧. L’ensemble des complexes dont la partie réelle est nulle, est appeléensemble des imaginaires purset noté𝑖ℝ ={

𝑧 ∈ ℂ ∣Re(𝑧) = 0}

={

𝑖𝑦 ∣ 𝑦 ∈ ℝ} . Définition 2.1

a) 𝑧 = 𝑧^′ ⟺

⎧⎪

⎨⎪

⎩

Re(𝑧) =Re(𝑧^′) Im(𝑧) =Im(𝑧^′) . b) 𝑧 ∈ ℝ ⟺ Im(𝑧) = 0.

c) 𝑧 ∈ 𝑖ℝ ⟺ Re(𝑧) = 0.

d) Re(𝑧 + 𝑧^′) =Re(𝑧) +Re(𝑧^′)et Im(𝑧 + 𝑧^′) =Im(𝑧) +Im(𝑧^′).

e) Siαest unréel, alors Re(α𝑧) = αRe(𝑧), et Im(α𝑧) = αIm(𝑧).

À retenir: quelques propriétés

★Exercice 2.2

1/Démontrer les propriétés ci-dessus.

2/Déterminer la forme algébrique du produit𝑧𝑧^′.

La dernière propriété est fausse lorsqueαn’est pas réel.

Attention !

3) Conjugué d’un nombre complexe

Soit𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦un complexe sous forme algébrique, on appelleconjuguéde𝑧, le complexe noté 𝑧et défini par𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦. On a donc Re(𝑧) =Re(𝑧)et Im(𝑧) = −Im(𝑧).

Définition 2.2

Soient𝑧, 𝑧^′ ∈ ℂ, on a :

•𝑧 + 𝑧^′= 𝑧 + 𝑧^′

•𝑧𝑧^′= 𝑧𝑧^′

•𝑧 = 𝑧.

Théorème 2.1(propriétés de la conjugaison)

Preuve: Celle-ci est simple et laissée en exercice. □

•𝑧 + 𝑧 = 2Re(𝑧)et𝑧 − 𝑧 = 2𝑖Im(𝑧);

•𝑧 ∈ ℝ ⟺ 𝑧 = 𝑧;

•𝑧est un imaginaire pur si et seulement si𝑧 = −𝑧.

À retenir

★Exercice 2.3 Montrer que si𝑧est non nul, alors ¹_𝑧 = ¹_𝑧.

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MONT

AIGNE

Module d’un nombre complexe Chapitre 2 : Nombres complexes

II MODULE D’UN NOMBRE COMPLEXE

1) Définition

Soit𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦un complexe sous forme algébrique, on a𝑧 × 𝑧 = 𝑥²+ 𝑦² et cette quantité est unréel positif.

Soit𝑧 ∈ ℂ, on appellemodulede𝑧, le réel positif noté|𝑧|et défini par :|𝑧| =√ 𝑧𝑧.

Définition 2.3

a) |𝑧|²= 𝑧𝑧.

b) |𝑧| = 0 ⟺ 𝑧 = 0.

c) |Re(𝑧)| ⩽ |𝑧|et|Im(𝑧)| ⩽ |𝑧|.

d) Si𝑧est réel, alors son module coïncide avec sa valeur absolue.

e) |𝑧𝑧^′| = |𝑧||𝑧^′|, en particulier,∀𝑛 ∈ ℕ, |𝑧^𝑛| = |𝑧|^𝑛(ceci reste valable pour𝑛 ∈ ℤsi𝑧 ≠ 0).

f) |𝑧| = |𝑧|et| − 𝑧| = |𝑧|.

g) Pour mettre le complexe _𝑧^𝑧′ sous forme algébrique, il suffit de multiplier en haut et en bas par𝑧^′: _𝑧^𝑧′ = _|𝑧^𝑧𝑧′|^′² = ^Re(𝑧𝑧_|𝑧′|²^′⁾ + 𝑖^Im(𝑧𝑧_|𝑧′|²^′⁾.

À retenir: propriétés du module

Soient𝑧et𝑧^′deux complexes :|

||𝑧| − |𝑧^′||

| ⩽ |𝑧 + 𝑧^′| ⩽ |𝑧| + |𝑧^′|.

Théorème 2.2(inégalité triangulaire)

Preuve: Pour l’inégalité de droite :

|𝑧 + 𝑧^′|²= (𝑧 + 𝑧^′)(𝑧 + 𝑧^′)

= |𝑧|²+ |𝑧^′|²+ 2Re(𝑧𝑧^′)

⩽ |𝑧|²+ |𝑧^′|²+ 2|Re(𝑧𝑧^′)|

⩽ |𝑧|²+ |𝑧^′|²+ 2|𝑧𝑧^′| = |𝑧|²+ |𝑧^′|²+ 2|𝑧||𝑧^′|

⩽(

|𝑧| + |𝑧^′|)2

d’où le résultat puisque les deux expressions sont des réels positifs.

Pour l’inégalité de gauche, on écrit|𝑧| = |𝑧 + 𝑧^′− 𝑧^′| ⩽ |𝑧 + 𝑧^′| + |𝑧^′|d’où|𝑧| − |𝑧^′| ⩽ |𝑧 + 𝑧^′|, en inversant les rôles on a|𝑧^′| − |𝑧| ⩽ |𝑧 + 𝑧^′|, ce qui entraîne la première inégalité. □ Remarque 2.1 – En remplaçant𝑧^′par−𝑧^′, on a||𝑧| − |𝑧^′|| ⩽ |𝑧 − 𝑧^′| ⩽ |𝑧| + |𝑧^′|.

Soient𝑧et𝑧^′deux complexes non nuls,|𝑧 + 𝑧^′| = |𝑧| + |𝑧^′|si et seulement si il existe unréelα strictement positiftel que𝑧 = α𝑧^′.

Théorème 2.3(cas d’égalité)

Preuve: Si on a𝑧 = α𝑧^′, alors|𝑧 + 𝑧^′| = |α𝑧^′+ 𝑧^′| = (1 + α)|𝑧^′| = |𝑧^′| + α|𝑧^′| = |𝑧^′| + |𝑧|. Réciproquement, si

|𝑧 + 𝑧^′| = |𝑧| + |𝑧^′|, alors|𝑧 + 𝑧^′|²= (|𝑧| + |𝑧^′|)², ce qui donne en développant,|𝑧|²+ |𝑧^′|²+ 2Re(𝑧𝑧^′) = |𝑧|²+ |𝑧^′|²+ 2|𝑧||𝑧^′|, on en déduit que Re(𝑧𝑧^′) = |𝑧𝑧^′|ce qui prouve que𝑧𝑧^′est un réel positif. Il suffit alors de prendreα = _|𝑧^𝑧𝑧′|^′², c’est

bien un réel strictement positif, et on a la relation voulue. □

2) Équation du second degré

(15)

MONT

AIGNE

Forme trigonométrique Chapitre 2 : Nombres complexes

Soit𝑎 ∈ ℂ, l’équation𝑧² = 𝑎admet dansℂdeux solutions opposées (toutes deux nulles lorsque 𝑎 = 0).

Théorème 2.4

Preuve: Soit𝑧0une solution, alors l’équation𝑧²= 𝑎équivaut à𝑧²= 𝑧0², c’est à dire à(𝑧 − 𝑧0)(𝑧 + 𝑧0) = 0, d’où 𝑧 = ±𝑧₀, il reste à montrer l’existence d’une solution𝑧₀. Posons𝑎 = 𝑢 + 𝑖𝑣et𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, l’équation𝑧²= 𝑎est équivalente à𝑥²− 𝑦²= 𝑢et2𝑥𝑦 = 𝑣. On doit avoir également|𝑧|²= |𝑎|, c’est à dire𝑥²+ 𝑦²= |𝑎|, par conséquent on a :𝑥²= ^𝑢+|𝑎|₂ ,𝑦²= ^{|𝑎|−𝑢}₂ et2𝑥𝑦 = 𝑣.Unesolution𝑧₀= 𝑥₀+ 𝑖𝑦₀s’obtient en prenant :𝑥₀=

√

|𝑎|+𝑢

2 , et𝑦₀= ε

√

|𝑎|−𝑢 2

avecε = 1si𝑣 ⩾ 0etε = −1si𝑣 < 0, car on a2𝑥0𝑦0= ε|𝑣| = 𝑣. □ ZExemples:

– Si𝑎est un réel strictement positif, alors𝑣 = 0et𝑢 > 0d’où|𝑎| = 𝑢et donc𝑥₀ =√

𝑎et𝑦₀= 0, les deux solutions sont±√

𝑎, elles sont réelles.

– Si𝑎est un réel strictement négatif, alors𝑣 = 0et𝑢 < 0d’où|𝑎| = −𝑢et donc𝑥₀ = 0et𝑦₀=√

−𝑎, les deux solutions sont±𝑖√

−𝑎, ce sont desimaginaires purs.

Soient𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℂavec𝑎 ≠ 0, l’équation𝑎𝑧²+ 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0admet deux solutions complexes qui sont𝑧₁= ^−𝑏+δ_2𝑎 et𝑧₂= ^−𝑏−δ_2𝑎 avecδ ∈ ℂtel queδ² = Δ = 𝑏²− 4𝑎𝑐(discriminant). De plus, lorsque les coefficients𝑎, 𝑏, 𝑐sont réels et que le discriminant𝑏²− 4𝑎𝑐est strictement négatif, ces deux solutions sont complexesnon réelles et conjuguées.

Théorème 2.5

Preuve: L’équation est équivalente à :(𝑧 + _2𝑎^𝑏)²−^𝑏²_4𝑎^−4𝑎𝑐2 = 0.PosonsZ = 𝑧 + _2𝑎^𝑏 etΔ = 𝑏²− 4𝑎𝑐, on sait queΔ admet deux racines carrées dansℂ, soitδl’une d’elles (δ²= Δ), l’équation est équivalente à :Z²= _4𝑎^δ²2, on en déduit queZ = ±_2𝑎^δ et donc𝑧 = ^−𝑏±δ_2𝑎 .Lorsque les trois coefficients sont réels, le discriminantΔest lui aussi un réel, s’il est strictement négatif, alors on peut prendreδ = 𝑖√

−Δet les solutions sont dans ce cas𝑧 = ^{−𝑏±𝑖}

√−Δ 2𝑎 , on

voit que celles - ci sont complexes non réelles et conjuguées. □

• Si𝑧₁et𝑧₂sont racines de l’équation𝑎𝑧²+ 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0, alors on a les relations :𝑧₁+ 𝑧₂ = S = −^𝑏_𝑎 et𝑧₁𝑧₂= P = _𝑎^𝑐.

• De plus on a la factorisation :

∀𝑧 ∈ ℂ, 𝑎𝑧²+ 𝑏𝑧 + 𝑐 = 𝑎(𝑧 − 𝑧₁)(𝑧 − 𝑧₂).

À retenir: somme et produit de racines d’une équation du second degré

III FORME TRIGONOMÉTRIQUE 1) Le groupe unité

On note𝕌l’ensemble des complexes de module1:𝕌 = {𝑧 ∈ ℂ / |𝑧| = 1}, c’est une partie deℂ^∗. Définition 2.4

Il est facile de vérifier que l’ensemble𝕌:

– eststable pour la multiplication:∀𝑧, 𝑧^′∈ 𝕌, 𝑧𝑧^′∈ 𝕌.

– eststable pour le passage à l’inverse:∀𝑧 ∈ 𝕌,𝑧 ≠ 0et𝑧⁻¹∈ 𝕌.

– contient1.

De plus, la multiplication dans𝕌est associative (car elle l’est dansℂ), on dit alors que(𝕌, ×)est ungroupe multiplicatif. Comme la multiplication est en plus commutative, on dit que(𝕌, ×)est un groupe abélien(ou commutatif), ce groupe est parfois appelégroupe unitédeℂ.

Tout complexe de module1peut se mettre sous la forme cos(θ) + 𝑖sin(θ)avecθun réel, plus précisément :

𝕌 = {cos(θ) + 𝑖sin(θ) / θ ∈ ℝ}.

Théorème 2.6

Preuve: Soit𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦un complexe de module1, on a𝑥²+ 𝑦²= 1, donc il existe un réelθ(unique à2πprès) tel que𝑥 =cos(θ)et𝑦 =sin(θ), c’est à dire𝑧 =cos(θ) + 𝑖sin(θ). La réciproque est immédiate. □

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MONT

AIGNE

2) Exponentielle d’un imaginaire pur

Pour toutréel𝑥, on pose𝑒^𝑖𝑥=cos(𝑥) + 𝑖sin(𝑥). On a les propriétés suivantes : – ∀θ ∈ ℝ, Re(𝑒^𝑖θ) =cos(θ)et Im(𝑒^𝑖θ) =sin(θ).

– ∀θ ∈ ℝ, 𝑒^−𝑖θ=cos(−θ) + 𝑖sin(−θ) =cos(θ) − 𝑖sin(θ) = 𝑒^𝑖θ. – ∀θ ∈ ℝ, |𝑒^𝑖θ| =√

cos(θ)²+sin(θ)²= 1, donc𝑒^𝑖θ∈ 𝕌.

– ∀𝑧 ∈ 𝕌, ∃θ ∈ ℝ, 𝑒^𝑖θ= 𝑧.

0 0

1 1

⃗⃗

𝑢

⃗⃗𝑣

M(𝑥 + 𝑖𝑦 = 𝑒^𝑖θ)

𝑥 =cos(θ) 𝑦 =sin(θ)

θ

θ =(⃗⃗̂𝑢 , ⃗⃗⃗⃗⃗OM) (mod2π)

– Soitθ, θ^′∈ ℝ, 𝑒^𝑖θ= 𝑒^𝑖θ^′ ⟺

⎧⎪

⎨⎪

⎩

cos(θ) =cos(θ^′)

sin(θ) =sin(θ^′) ⟺ θ = θ^′(2π).

∀θ, θ^′∈ ℝ, 𝑒^𝑖θ× 𝑒^𝑖θ^′= 𝑒^𝑖(θ+θ^′⁾. Théorème 2.7

Preuve:𝑒^𝑖θ𝑒^𝑖θ^′= [cos(θ)+𝑖sin(θ)][cos(θ^′)+𝑖sin(θ^′)] = [cos(θ)cos(θ^′)−sin(θ)sin(θ^′)]+𝑖[cos(θ)sin(θ^′)+sin(θ)cos(θ^′)] = cos(θ + θ^′) + 𝑖sin(θ + θ^′) = 𝑒^𝑖(θ+θ^′⁾d’après les formules d’addition du sinus et du cosinus. □

Ce théorème permet de retrouver les formules trigonométriques.

Pour tous réels𝑥et𝑦:

– cos(𝑥 + 𝑦) =Re(𝑒^{𝑖(𝑥+𝑦)}) =Re(𝑒^𝑖𝑥𝑒^𝑖𝑦) =cos(𝑥)cos(𝑦) −sin(𝑥)sin(𝑦).

– sin(𝑥 + 𝑦) =Im(𝑒^{𝑖(𝑥+𝑦)}) =Im(𝑒^𝑖𝑥𝑒^𝑖𝑦) =cos(𝑥)sin(𝑦) +sin(𝑥)cos(𝑦).

– On en déduit : cos(2𝑥) = 2cos²(𝑥) − 1 = 1 − 2sin²(𝑥) =et sin(2𝑥) = 2sin(𝑥)cos(𝑥).

En posant𝑎 = 𝑥 + 𝑦

2 et𝑏 = 𝑥 − 𝑦

2 on obtient : – cos(𝑥) +cos(𝑦) =cos(𝑎 + 𝑏) +cos(𝑎 − 𝑏) = 2cos(𝑎)cos(𝑏), donc

cos(𝑥) +cos(𝑦) = 2cos(^𝑥+𝑦₂ )cos(^𝑥−𝑦₂ ).

– cos(𝑥) −cos(𝑦) =cos(𝑎 + 𝑏) −cos(𝑎 − 𝑏) = −2sin(𝑎)sin(𝑏), donc cos(𝑥) −cos(𝑦) = −2sin(^𝑥+𝑦₂ )sin(^𝑥−𝑦₂ ).

– sin(𝑥) +sin(𝑦) =sin(𝑎 + 𝑏) +sin(𝑎 − 𝑏) = 2sin(𝑎)cos(𝑏), donc sin(𝑥) +sin(𝑦) = 2sin(^𝑥+𝑦₂ )cos(^𝑥−𝑦₂ ) – etc

À retenir

3) Argument d’un nombre complexe

Soit 𝑧 ∈ 𝕌, on sait qu’il existe un réelθ(unique à2πprès) tel que𝑧 = 𝑒^𝑖θ. Si maintenant𝑧est un complexe non nul quelconque alors _|𝑧|^𝑧 ∈ 𝕌et donc il existe un réelθ(unique à2πprès) tel que

𝑧

|𝑧| = 𝑒^𝑖θ, c’est à dire𝑧 = |𝑧|𝑒^𝑖θ.

(17)

MONT

AIGNE

Soit𝑧un complexe non nul, on appelleargumentde𝑧tout réelθtel que𝑧 = |𝑧|𝑒^𝑖θ, cette égalité est appeléeforme trigonométriquede𝑧. L’ensemble des arguments de𝑧est noté arg(𝑧), on a donc arg(𝑧)={θ ∈ ℝ/ 𝑧 = |𝑧|𝑒^𝑖θ}, et siθ₀est un argument de𝑧, alors arg(𝑧)={θ0+ 2𝑘π/ 𝑘 ∈ ℤ }.

Définition 2.5

0 1 2

−1 0 1 2

−1

θ

A(𝑧)

B(_|𝑧|^𝑧)

Soit𝑧 ∈ ℂ^∗,𝑧possède un unique argument dans l’intervalle] − π; π], par définition cet argument est appeléargument principalde𝑧et noté Arg(𝑧).

Définition 2.6

ZExemples:

– Arg(𝑖) = ^π₂, Arg(𝑗) = ^2π₃ .

– si𝑥 ∈ ℝ^∗+alors Arg(𝑥) = 0et si𝑥 ∈ ℝ^∗− alors Arg(𝑥) = π.

Si𝑧 = 𝑟e^𝑖θavec𝑟etθréels, alors c’est la forme trigonométrique de𝑧lorsque𝑟 > 0. Mais lorsque𝑟 < 0, la forme trigonométrique de𝑧est𝑧 = −𝑟𝑒^𝑖(θ+π).

Attention !

• Si𝑧 = 𝑒^𝑖𝑥+ 𝑒^𝑖𝑦, alors𝑧 = 𝑒^𝑖^𝑥+𝑦² [𝑒^𝑖^𝑥−𝑦² + 𝑒^−𝑖^𝑥−𝑦² ] = 2cos(^𝑥−𝑦₂ )𝑒^𝑖^𝑥+𝑦² . D’où|𝑧| = 2|cos(^𝑥−𝑦₂ )|et Arg(𝑧) =

𝑥+𝑦 2 (π).

• Si𝑧 = 𝑒^𝑖𝑥− 𝑒^𝑖𝑦, alors𝑧 = 𝑒^𝑖^𝑥+𝑦² [𝑒^𝑖^𝑥−𝑦² − 𝑒^−𝑖^𝑥−𝑦² ] = 2𝑖sin(^𝑥−𝑦₂ )𝑒^𝑖^𝑥+𝑦² . D’où|𝑧| = 2|sin(^𝑥−𝑦₂ )|et Arg(𝑧) =

𝑥+𝑦+π 2 (π).

À retenir: factorisation par l’arc moitié

Soient𝑧, 𝑧^′ ∈ ℂ^∗ avecθ =Arg(𝑧)etθ^′=Arg(𝑧^′): – 𝑧 = 𝑧^′ ⟺

{ |𝑧| = |𝑧^′| θ = θ^′(2π) . – 𝑧 ∈ ℝ^∗ ⟺ θ = 0 (π).

– 𝑧 = |𝑧|𝑒^−𝑖θdonc Arg(𝑧) = −θ (2π).

– −𝑧 = |𝑧|𝑒^𝑖(θ+π)donc Arg(−𝑧) = θ + π (2π).

– 𝑧𝑧^′ = |𝑧𝑧^′|𝑒^𝑖(θ+θ^′⁾donc Arg(𝑧𝑧^′) = θ + θ^′(2π).

– _𝑧^𝑧′ = _|𝑧^|𝑧|′|𝑒^𝑖(θ−θ^′⁾donc Arg(_𝑧^𝑧′) = θ − θ^′(2π).

– ∀𝑛 ∈ ℤ, 𝑧^𝑛 = |𝑧^𝑛|𝑒^𝑖𝑛θ donc Arg(𝑧^𝑛) = 𝑛θ (2π).

Théorème 2.8(propriétés)

Preuve: Celle-ci est simple et laissée en exercice. □