– Si𝑢admet une limiteℓ ∈ ℝ, alors celle-ci est unique.
Preuve: Supposons𝑢𝑛→ ℓet𝑢𝑛→ ℓ′avecℓ < ℓ′, Soitα ∈]ℓ; ℓ′[,ε = α − ℓetε′= ℓ′− α, alors à partir d’un certain rangNon a|𝑢𝑛− ℓ| < ε, ce qui donne𝑢𝑛< α, et à partir d’un certain rangN′on a|𝑢𝑛− ℓ′| < ε′, ce qui donneα < 𝑢𝑛, donc à partir de max(N, N′)on a une contradiction, doncℓ = ℓ′. □ On a démontré au passage :
– Si𝑢converge versℓet siα < ℓ, alors à partir d’un certain rangα < 𝑢𝑛. De même, siα > ℓ, alors à partir d’un certain rang on aα > 𝑢𝑛.
– Si𝑢est convergente, alors𝑢est bornée (la réciproque est fausse).
Preuve: Si𝑢𝑛→ ℓ ∈ ℝ, il existe un entierNtel que𝑛 ⩾ N ⟹ |𝑢𝑛− ℓ| < 1, ce qui entraîne|𝑢𝑛| < |ℓ| + 1.
On a alors pour tout entier n :|𝑢𝑛| ⩽max(|𝑢0|, … , |𝑢N|, 1 + |ℓ|). Pour voir que la réciproque est fausse, on peut considérer la suite𝑢définie par𝑢𝑛= (−1)𝑛, elle est bornée mais non convergente. □ Conséquence: la suite(𝑞𝑛)avec|𝑞| > 1est divergente car non bornée, en effet :|𝑞| = 1 + 𝑝avec 𝑝 > 0donc|𝑞𝑛| ⩾ 1 + 𝑛𝑝qui peut être aussi grand que l’on veut.
– Si𝑢converge versℓ, alors toutes les suites extraites de𝑢convergent versℓ.
Preuve: Soit𝑣𝑛= 𝑢σ(𝑛)une suite extraite de𝑢et supposons𝑢𝑛→ ℓ ∈ ℝ. SoitWun voisinage deℓ, il existe un entierNtel que𝑛 ⩾ N ⟹ 𝑢𝑛∈ W. Maisσétant strictement croissante, on a∀𝑛 ∈ ℕ,𝑛 ⩽ σ(𝑛), donc 𝑛 ⩾ N ⟹ σ(𝑛) ⩾ N, mais alors𝑢σ(𝑛)∈ W, c’est à dire𝑛 ⩾ N ⟹ 𝑣𝑛∈ Wet donc𝑣𝑛→ ℓ. □ Remarque 9.5 – Cette propriété est souvent utilisée pour montrer qu’une suite𝑢n’a pas de limite.
Soit en trouvant une suite extraite qui diverge, soit en trouvant deux suites extraites qui ne convergent pas vers la même limite. Par exemple :𝑢𝑛=cos((𝑛 + 1𝑛)π).
– Si lim𝑢2𝑛=lim𝑢2𝑛+1= ℓ ∈ ℝ, alors lim𝑢 = ℓ.
Preuve: Soitε > 0, il existe un entierN1tel que𝑘 ⩾ N1 ⟹ |𝑢2𝑘− ℓ| < ε, de même il existe un entier N2tel que𝑘 ⩾ N2 ⟹ |𝑢2𝑘+1− ℓ| < ε. PosonsN =max(2N1, 2N2+ 1), si𝑛 ⩾ Nalors lorsque𝑛 = 2𝑘on a 𝑘 ⩾ N1et donc|𝑢𝑛− ℓ| < ε, lorsque𝑛 = 2𝑘 + 1on a𝑘 ⩾ N2et donc|𝑢𝑛− ℓ| < ε, finalement dès que𝑛 ⩾ N
on a|𝑢𝑛− ℓ| < εet donc𝑢𝑛→ ℓ. □
3) Convergence et opérations
Soient𝑢et𝑣deux suites qui convergent respectivement versℓetℓ′, et soitλ ∈ ℝalors : – (𝑢𝑛+ 𝑣𝑛)converge versℓ + ℓ′.
– (λ𝑢𝑛)converge versλℓ.
Théorème 9.2
Preuve: Soitε > 0, il existe un entierNà partir duquel on a|𝑢𝑛− ℓ| < ε/2et|𝑣𝑛− ℓ′| < ε/2, mais alors on a
|𝑢𝑛+ 𝑣𝑛− (ℓ + ℓ′)| ⩽ |𝑢𝑛− ℓ| + |𝑣𝑛− ℓ′| < ε, donc𝑢𝑛+ 𝑣𝑛→ ℓ + ℓ′.
Soitλ ≠ 0, et soitε > 0, à partir d’un certain rang on a|𝑢𝑛− ℓ| < |λ|ε d’où|λ𝑢𝑛− λℓ| < ε. □
MPSI3 (2020-21) Lycée Montaigne – 85 – ©Fradin Patrick –https://mpsi.tuxfamily.org
MONT
AIGNE
Suites convergentes Chapitre 9 : Suites numériques
Si(𝑢𝑛)converge versℓet(𝑣𝑛)versℓ′alors : – (𝑢𝑛𝑣𝑛)converge versℓℓ′.
– Siℓ ≠ 0, alors à partir d’un certain rang les termes𝑢𝑛sont non nuls et la suite(𝑢1
𝑛)converge vers 1ℓ.
Théorème 9.3
Preuve:|𝑢𝑛𝑣𝑛− ℓℓ′| = |(𝑢𝑛− ℓ)𝑣𝑛+ ℓ(𝑣𝑛− ℓ′)| ⩽ |𝑢𝑛− ℓ||𝑣𝑛| + |ℓ||𝑣𝑛− ℓ′|, mais la suite𝑣est bornée donc il existe un réelMstrictement positif tel que|𝑣𝑛| ⩽ Met donc|𝑢𝑛𝑣𝑛− ℓℓ′| < |𝑢𝑛− ℓ|M + |ℓ||𝑣𝑛− ℓ′|, mais d’après le théorème précédent la deuxième suite tend vers0, donc𝑢𝑛𝑣𝑛→ ℓℓ′.
La suite(|𝑢𝑛|)converge vers|ℓ| > 0donc à partir d’un certain rang on a|𝑢𝑛| > |ℓ|2 > 0, donc𝑢𝑛≠ 0et alors :
|𝑢1
𝑛 −1ℓ| = |ℓ−𝑢|ℓ𝑢𝑛|
𝑛| < 2|ℓ−𝑢ℓ2𝑛|, or cette deuxième suite tend vers0, donc 𝑢1
𝑛 → 1ℓ. □
4) Convergence et relation d’ordre
Soient𝑢, et𝑣deux suites réelles. Si𝑢converge versℓ, 𝑣converge versℓ′, et si à partir d’un certain rang on a𝑢𝑛 ⩽ 𝑣𝑛, alorsℓ ⩽ ℓ′(c’est le théorème dupassage à la limite).
Théorème 9.4
Preuve: Supposonsℓ > ℓ′, alors il existeα ∈ ]ℓ′; ℓ[donc à partir d’un certain rang on doit avoir𝑢𝑛> αet𝑣𝑛< α
ce qui est contradictoire, doncℓ ⩽ ℓ′. □
Remarque 9.6 – Pour le passage à la limite on peut avoir 𝑢𝑛 < 𝑣𝑛 etℓ = ℓ′, par exemple en prenant 𝑢𝑛 = 1 −1𝑛 et𝑣𝑛 = 1 + 1𝑛, donc dans un passage à la limite les inégalités deviennent larges.
Soient𝑢, 𝑣et𝑤trois suites réelles. Si𝑢et𝑣convergent versℓet si à partir d’un certain rang on a𝑢𝑛 ⩽ 𝑤𝑛 ⩽ 𝑣𝑛, alors𝑤converge versℓ(c’est le théorèmedes gendarmes ou de l’étau).
Théorème 9.5
Preuve: Soitε > 0, il existe un entierNà partir duquel on a𝑢𝑛 ⩽ 𝑤𝑛 ⩽ 𝑣𝑛avec𝑢𝑛, 𝑣𝑛 ∈ ]ℓ − ε ; ℓ + ε[, donc
𝑤𝑛∈ ]ℓ − ε ; ℓ + ε[à partir du rangN, donc𝑤𝑛→ ℓ. □
Soient𝑢et𝑣deux suites réelles. Si𝑢converge vers0et si𝑣est bornée, alors lim𝑢 × 𝑣 = 0.
Théorème 9.6
Preuve: Il existe un réel positifMtel que|𝑣𝑛| ⩽ Mpour tout n, d’où|𝑢𝑛𝑣𝑛| ⩽ M|𝑢𝑛|, c’est à dire−M|𝑢𝑛| ⩽ 𝑢𝑛𝑣𝑛⩽
M|𝑢𝑛|, on peut donc conclure que𝑢𝑛𝑣𝑛→ 0. □
Déterminer la limite des suites (si elle existe) : ZExemples:
– 𝑎𝑛= sin(𝑛)𝑛 𝑏𝑛= 2𝑛+(−1)𝑛 𝑛 𝑐𝑛 = ∑𝑛
𝑘=1 1 𝑛+√
𝑘 𝑑𝑛= 𝑛 −√ 𝑛 – 𝑒𝑛= 𝑛𝑛32−1+1 𝑓𝑛 =√
𝑛2+ 𝑛 + 1 − 𝑛 𝑔𝑛 =( 1 +1𝑛)𝑛
5) Caractérisations séquentielles
SoitAune partie non vide deℝet soitM ∈ ℝ, on a :
Mest la borne supérieure (inférieure) deAsi et seulement siMmajore (minore)Aet il existe une suite d’éléments deAqui converge versM.
Théorème 9.7(caractérisation séquentielle de la borne supérieure)
Preuve: SiM =supA, alors pour tout𝑛 ∈ ℕ,∃𝑎𝑛∈ Atel queM −𝑛+11 < 𝑎𝑛carM −𝑛+11 ne majore pasA, la suite (𝑎𝑛)ainsi construite converge versMcarM −𝑛+11 < 𝑎𝑛⩽ M.
SiMmajoreAet qu’il existe une suite(𝑎𝑛)deAqui converge versM, alors pour toutε > 0, à partir d’un certain rangNon aM − ε < 𝑎𝑛, doncM − εne majore pasA,Mest donc le plus petit majorant deA. □
MPSI3 (2020-21) Lycée Montaigne – 86 – ©Fradin Patrick –https://mpsi.tuxfamily.org
MONT
AIGNE
Suites ayant une limite infinie Chapitre 9 : Suites numériques
SoitAune partie non vide deℝ,Aest dense dansℝsi et seulement si pour tout réel𝑥il existe une suite d’éléments deAqui converge vers𝑥.
Théorème 9.8(caractérisation séquentielle de la densité)
Preuve: Celle-ci est simple et laissée en exercice. □
III SUITES AYANT UNE LIMITE INFINIE 1) Définition
Soit𝑢une suite réelle :
– on dit que𝑢admet comme limite+∞lorsque𝑢𝑛peut être aussi grand que l’on veut pourvu que𝑛soit assez grand, c’est à dire :∀A ∈ ℝ, ∃N ∈ ℕ, ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ⩾ N ⟹ 𝑢𝑛 > A.
Notation : lim𝑢 = +∞ou lim𝑢𝑛 = +∞ou𝑢𝑛→ +∞.
– on dit que𝑢admet comme limite−∞lorsque𝑢𝑛peut être aussi petit que l’on veut pourvu que𝑛soit assez grand, c’est à dire :∀A ∈ ℝ, ∃N ∈ ℕ, ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ⩾ N ⟹ 𝑢𝑛 < A.
Notation : lim𝑢 = −∞ou lim𝑢𝑛 = −∞ou𝑢𝑛 → −∞.
Définition 9.4
Remarque 9.7 –
– Si𝑢𝑛 → +∞alors𝑢n’est pas majorée (mais elle est minorée).
– Si𝑢𝑛 → −∞alors𝑢n’est pas minorée (mais elle est majorée).
– On a l’équivalence :lim𝑢𝑛= −∞ ⟺ lim−𝑢𝑛= +∞.
ZExemple: Si𝑞 > 1alors lim𝑞𝑛 = +∞.
Comme pour les suites convergentes, on peut montrer :
– Si𝑢admet une limite infinie, alors toutes les suites extraites de𝑢ont la même limite que𝑢.
– Si𝑢2𝑛→ +∞et𝑢2𝑛+1 → +∞, alors𝑢𝑛 → +∞.
2) Limite infinie et ordre
Soient𝑢et𝑣deux suites réelles :
– Si lim𝑢 = +∞et si à partir d’un certain rang on a𝑢𝑛⩽ 𝑣𝑛, alors lim𝑣 = +∞.
– Si lim𝑣 = −∞et si𝑢𝑛 ⩽ 𝑣𝑛à partir d’un certain rang, alors lim𝑢 = −∞.
– Si lim𝑢 = +∞(respectivement −∞) et si v est minorée (respectivement majorée), alors lim𝑢 + 𝑣 = +∞(respectivement−∞).
Théorème 9.9
Preuve: Pour le premier point : il existe un entierN1à partir duquel on a𝑢𝑛⩽ 𝑣𝑛, soitAun réel, il existe un entierN2à partir duquel on aA < 𝑢𝑛, donc si𝑛 ⩾max(N1, N2)alorsA < 𝑣𝑛, donc𝑣𝑛→ +∞.
Pour le deuxième point : on peut appliquer le précédent aux suites−𝑢et−𝑣.
Pour le troisième point : supposons𝑢𝑛 → +∞et𝑣minorée par un réel𝑚, alors pour tout entier n on a 𝑚 + 𝑢𝑛⩽ 𝑢𝑛+ 𝑣𝑛, or la suite(𝑚 + 𝑢𝑛)tend vers+∞, on peut donc appliquer le premier point,i.e.𝑢𝑛+ 𝑣𝑛→ +∞.
Dans l’autre cas on peut raisonner sur les suites−𝑢et−𝑣. □
3) Limite infinie et opérations
Soient𝑢et𝑣deux suites de limites respectivesℓetℓ′dansℝ, et soitλ ∈ ℝ.
– lim𝑢 + 𝑣 = ℓ + ℓ′sauf siℓ = +∞etℓ′= −∞(ou l’inverse).
– limλ𝑢 = λℓ(siλ = 0alors la suiteλ𝑢est nulle).
– lim𝑢 × 𝑣 = ℓℓ′sauf siℓ = 0etℓ′= ±∞(ou l’inverse).
Théorème 9.10
MPSI3 (2020-21) Lycée Montaigne – 87 – ©Fradin Patrick –https://mpsi.tuxfamily.org
MONT
AIGNE
Théorèmes d’existence d’une limite Chapitre 9 : Suites numériques
– Si à partir d’un certain rang la suite𝑢ne s’annule pas, alors la suite1𝑢 : n’a pas de limite dans les autres cas
.
Preuve: Pour la somme : prenons par exemple le casℓ ∈ ℝetℓ′= +∞, la suite𝑢𝑛est minorée par un certain réel𝑚(car convergente) d’après le paragraphe précédent,𝑢𝑛+ 𝑣𝑛→ +∞. Les autres cas non indéterminés se ramènent à celui-ci. Pour la forme indéterminée, on peut considérer les exemples suivants :(𝑛 + (−𝑛 + 𝑎))qui converge,(𝑛 + (−𝑛2))qui tend vers+∞,(𝑛 + (−2𝑛))qui tend vers−∞, et(𝑛 + (−𝑛 + (−1)𝑛))qui n’a pas de limite.
Pourλ𝑢: il suffit de considérer le casλ > 0et𝑢𝑛→ +∞(laissé en exercice). Les autres cas se ramènent à celui-ci.
Pour le produit : prenons par exemple le cas oùℓest un réel strictement positif etℓ′= +∞, alors à partir d’un certain rang, on a𝑣𝑛> 0et𝑢𝑛> ℓ2>0, d’où𝑢𝑛𝑣𝑛> 𝑣𝑛ℓ
2, or𝑣𝑛ℓ
2 tend vers+∞, et donc𝑢𝑛𝑣𝑛aussi. Les autres cas non indéterminés se ramènent à celui-ci. Pour la forme indéterminée, on peut considérer les exemples suivants : (𝑛𝑎× 𝑛)qui converge,(𝑛 ×√1𝑛)qui tend vers+∞,(−𝑛 × √1𝑛)qui tend vers−∞, et(𝑛 ×(−1)𝑛𝑛)qui n’a pas de limite.
Pour l’inverse : supposons queℓ = 0et𝑢 > 0, soitAun réel etε = 1+|A|1 , il existe un entierNà partir duquel on a|𝑢𝑛| < ε, c’est à dire en fait,0 < 𝑢𝑛< εet doncA < 1 + |A| = 1ε < 𝑢1
𝑛, par conséquent 𝑢1
𝑛 → +∞. Les autres cas non indéterminés se ramènent à celui-ci. Pour terminer prenons la suite𝑢𝑛= (−1)𝑛𝑛, son inverse est la suite ((−1)𝑛𝑛)et cette suite n’a pas de limite (distinguer les termes de rangs pairs et les termes de rangs impairs).□
IV THÉORÈMES D’EXISTENCE D’UNE LIMITE 1) Suites monotones
Si𝑢est une suite croissante majorée (respectivement décroissante minorée), alors(𝑢𝑛)converge vers sup
𝑛∈ℕ
𝑢𝑛(respectivement vers inf
𝑛∈ℕ𝑢𝑛).
Si𝑢est une suite croissante non majorée (respectivement décroissante non minorée), alors(𝑢𝑛) tend vers+∞(respectivement vers−∞).
Théorème 9.11
Preuve: Supposons𝑢croissante majorée, soitℓ =sup
𝑛∈ℕ
𝑢𝑛, et soitε > 0, alors il existe un entierNtel que𝑢N> ℓ − ε (carℓ − εne majore pas la suite). Si𝑛 ⩾ Nalors, la suite étant croissante,ℓ − ε < 𝑢N ⩽ 𝑢𝑛⩽ ℓ < ℓ + εet donc
|𝑢𝑛− ℓ| < ε, ce qui prouve que𝑢𝑛→ ℓ.
Lorsque𝑢est croissante non majorée : soitAun réel, alors il existe un entierNtel que𝑢N> A(Ane majore
pas la suite), si𝑛 ⩾ NalorsA < 𝑢N⩽ 𝑢𝑛, donc𝑢𝑛→ +∞. □
Conséquences:
a) Si(𝑢𝑛)est croissante majorée, alors𝑢𝑛 → ℓ =sup𝑢𝑛 ∈ ℝet donc∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑢𝑛 ⩽ ℓ. En fait si𝑢est strictement croissante, alors∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑢𝑛 < ℓ(car s’il y avait l’égalité au rangN, alors la suite serait constante à partir de l’indiceN).
b) Si(𝑢𝑛)est décroissante minorée, alors𝑢𝑛→ ℓ =inf𝑢𝑛 ∈ ℝet donc∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑢𝑛 ⩾ ℓ. En fait si𝑢est strictement décroissante, alors∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑢𝑛> ℓ(car s’il y avait l’égalité au rangN, alors la suite serait constante à partir de l’indiceN).
c) Une suite monotone est donc convergente si et seulement si elle est bornée.
ZExemples: représentation graphique des premiers termes suggère que la suite est décroissante minorée par 0, ce qui est facile à vérifier par récurrence. La suite𝑣est donc convergente de limiteℓ, la fonction sinus étant continue, on a sin(𝑣𝑛) →sin(ℓ), c’est à dire𝑣𝑛+1 →sin(ℓ), doncℓ =sin(ℓ).
MPSI3 (2020-21) Lycée Montaigne – 88 – ©Fradin Patrick –https://mpsi.tuxfamily.org
MONT
AIGNE
Comparaison des suites Chapitre 9 : Suites numériques
L’étude de la fonction𝑥 ↦sin(𝑥) − 𝑥montre que l’unique solution de sin(𝑥) = 𝑥est 0, doncℓ = 0, i.e.𝑣𝑛 → 0.
2) Suites adjacentes
Soient𝑢et𝑣deux suites, on dit qu’elles sont adjacentes lorsque l’une est croissante, l’autre décroissante et lim𝑢𝑛− 𝑣𝑛 = 0.
Définition 9.5
ZExemple: Soient𝑢 et𝑣les suites définies par :𝑢𝑛 = ∑𝑛
𝑘=0 1
𝑘! et 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛+ 𝑛×𝑛!1 , ces deux suites sont adjacentes.
Deux suites adjacentes sont nécessairement convergentes et convergent vers la même limite.
Théorème 9.12
Preuve: Supposons 𝑢 croissante,𝑣 décroissante, et lim𝑢𝑛− 𝑣𝑛 = 0. Soit 𝑤𝑛 = 𝑣𝑛− 𝑢𝑛, alors𝑤𝑛+1 − 𝑤𝑛 = (𝑣𝑛+1− 𝑣𝑛) − (𝑢𝑛+1− 𝑢𝑛) ⩽ 0, donc la suite𝑤est décroissante, or lim𝑤𝑛= 0, donc∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑤𝑛⩾ 0,i.e.𝑢𝑛⩽ 𝑣𝑛. Mais alors𝑢est majorée par𝑣0et𝑣est minorée par𝑢0, donc𝑢et𝑣sont convergentes :𝑢𝑛→ ℓet𝑣𝑛→ ℓ′, par
conséquent𝑤𝑛→ ℓ′− ℓ, or𝑤𝑛→ 0, doncℓ = ℓ′. □
3) Le théorème de BOLZANO - WEIERSTRASS
Si𝑢est une suite réelle bornée, alors on peut en extraire une suite convergente.
Théorème 9.13(deBolzano2-Weierstrass3.)
Preuve: On applique le principe de dichotomie : il existe𝑎0< 𝑏0deux réels tels que∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑢𝑛∈ [𝑎0; 𝑏0]. On pose I0= [𝑎0; 𝑏0]etσ(0) = 0. On coupe cet intervalle en deux, soitI′0= [𝑎0;𝑎0+𝑏20]etI′′0= [𝑎0+𝑏20; 𝑏0], si{𝑛 ∈ ℕ / 𝑢𝑛∈ I′0} est infini alors on poseI1= I′0, sinon on poseI1= I′′0. On a alors un nouveau segmentI1= [𝑎1; 𝑏1]inclus dansI0 avec𝑏1− 𝑎1= 𝑏−𝑎2 et{𝑛 ∈ ℕ / 𝑢𝑛∈ I1}infini. On peut donc choisir𝑛1> 0tel que𝑢𝑛1∈ I1, on poseσ(1) = 𝑛1. On recommence de la même façon avecI1...
On construit ainsi une suite de segmentsI𝑛= [𝑎𝑛; 𝑏𝑛], emboîtés (I𝑛+1 ⊂ I𝑛), tels que𝑏𝑛− 𝑎𝑛 = 𝑏−𝑎2𝑛, et une applicationσ ∶ ℕ → ℕstrictement croissante telles que pour tout𝑛, et𝑢σ(𝑛)∈ I𝑛, c’est à dire𝑎𝑛⩽ 𝑢σ(𝑛)⩽ 𝑏𝑛. Or les suites(𝑎𝑛)et(𝑏𝑛)sont adjacentes, elles convergent donc vers une même limiteℓ, et donc par le théorème des gendarmes, on a𝑢σ(𝑛)→ ℓ: on a donc construit une suite extraite convergente. □
V COMPARAISON DES SUITES 1) Définitions
Soient(𝑢𝑛),(𝑣𝑛)et(ε𝑛)trois suites telles qu’à partir d’un certain rang𝑢𝑛= 𝑣𝑛ε𝑛. On dit que : – 𝑢𝑛est dominée par𝑣𝑛lorsque la suite(ε𝑛)estbornée. Notation :𝑢𝑛 = O(𝑣𝑛).
– 𝑢𝑛est négligeable devant𝑣𝑛lorsqueε𝑛 → 0. Notation :𝑢𝑛 = 𝑜(𝑣𝑛).
– 𝑢𝑛est équivalente à𝑣𝑛lorsqueε𝑛→ 1. Notation :𝑢𝑛 ∼ 𝑣𝑛. Définition 9.6
Lorsque la suite𝑣ne s’annule pas à partir d’un certain rang: – 𝑢𝑛= O(𝑣𝑛)si et seulement si la suite𝑢𝑣 est bornée.
– 𝑢𝑛= 𝑜(𝑣𝑛)si et seulement si lim𝑢𝑣𝑛𝑛 = 0.
– 𝑢𝑛∼ 𝑣𝑛si et seulement si lim𝑢𝑣𝑛
𝑛 = 1.
Théorème 9.14(Caractérisations)
Preuve: Celle - ci est simple et laissée en exercice. □
ZExemple:𝑛 = 𝑜( 𝑛2)
; 𝑛2𝑛+1 ∼ 1𝑛; 𝑛sin(𝑛) = O(𝑛).
3. BOLZANO Bernhard(1781 – 1848) : mathématicien et philosophe tchèque.
3. WEIERSTRASS Karl(1815 – 1897) : mathématicien allemand parfois surnomméle père de l’analyse moderne
MPSI3 (2020-21) Lycée Montaigne – 89 – ©Fradin Patrick –https://mpsi.tuxfamily.org
MONT
AIGNE
Comparaison des suites Chapitre 9 : Suites numériques
Remarque 9.8 –
– 𝑢𝑛 = O(1)signifie que la suite(𝑢𝑛)est bornée [doncO(𝑣𝑛) = 𝑣𝑛× O(1)].
– 𝑢𝑛 = 𝑜(1)signifie que𝑢𝑛 → 0[donc𝑜(𝑣𝑛) = 𝑣𝑛× 𝑜(1)].
– Si𝑢𝑛 = 𝑜(𝑣𝑛)alors𝑢𝑛 = O(𝑣𝑛).
– Si𝑢𝑛 ∼ 𝑣𝑛 alors𝑢𝑛 = O(𝑣𝑛).
– Si𝑢𝑛 = 𝑜(𝑣𝑛)et𝑣𝑛= 𝑜(𝑤𝑛), alors𝑢𝑛 = 𝑜(𝑤𝑛)(transitivité).
– Si𝑢𝑛 = O(𝑣𝑛)et𝑣𝑛= O(𝑤𝑛), alors𝑢𝑛 = O(𝑤𝑛)(transitivité).
– 𝑢𝑛 ∼ 𝑣𝑛 ⟺ 𝑢𝑛− 𝑣𝑛= 𝑜(𝑣𝑛).
2) Propriétés
La relation « ... est équivalente à ... » est une relation d’équivalence dansℱ(ℕ, ℝ), c’est à dire qu’elle est réflexive, symétrique et transitive. De plus :
– Siℓ ∈ ℝet si𝑢𝑛 ∼ ℓalors𝑢𝑛→ ℓ(réciproque vraie lorsqueℓ ∈ ℝ∗).
– Si𝑢𝑛 = 𝑜(𝑣𝑛)alors∀λ ∈ ℝ,λ𝑢𝑛+ 𝑣𝑛∼ 𝑣𝑛. Théorème 9.15
Preuve: Celle-ci est simple et laissée en exercice. □
Soient𝑢et𝑣deux suites,
– Si𝑢𝑛 ∼ 𝑣𝑛alors à partir d’un certain rang,𝑢𝑛et𝑣𝑛sont de même signe.
– Si𝑢𝑛 ∼ 𝑣𝑛et si lim𝑣𝑛= ℓ ∈ ℝ, alors lim𝑢𝑛= ℓ.
– Si𝑢𝑛 ∼ 𝑣𝑛 et si𝑎𝑛∼ 𝑏𝑛, alors𝑢𝑛𝑎𝑛 ∼ 𝑣𝑛𝑏𝑛(compatibilité avec la multiplication). On en déduit que si𝑢𝑛 ∼ 𝑣𝑛, alors𝑢𝑝𝑛∼ 𝑣𝑛𝑝pour tout naturel𝑝.
– Si𝑢𝑛 ∼ 𝑣𝑛et si𝑣ne s’annule pas à partir d’un certain rang, alors𝑢1𝑛 ∼ 𝑣1
𝑛 (compatibilité avec le passage à l’inverse).
– Si𝑢𝑛 ∼ 𝑣𝑛 et si𝑣𝑛> 0à partir d’un certain rang, alors𝑢α𝑛 ∼ 𝑣𝑛αpour tout réelα(compatibilité avec les puissances constantes).
Théorème 9.16
Preuve: Celle - ci découle directement de la définition. □
Il n’y a pas compatibilité avec l’addition en général, par exemple :𝑛 +1𝑛 ∼ 𝑛et−𝑛 ∼ 1 − 𝑛, mais 1𝑛 n’est pas équivalent à 1.
Ces propriétés sont utiles pour les calculs de limites qui ne peuvent pas être faits directement : on essaie de se ramener à un équivalent plus simple (s’il y en a ...) dont on sait calculer la limite.
Attention !
3) Les comparaisons usuelles
Soientα, β ∈]0; +∞[: – Siα < βalors𝑛α= 𝑜(
𝑛β)
et 𝑛1β = 𝑜(
1 𝑛α
) . – [ln(𝑛)]α= 𝑜(
𝑛β) . – 𝑛α= 𝑜(
𝑒𝑛β)
et𝑛α= 𝑜 (
𝑒𝑛β )
.
– ∀𝑎 ∈ ℝ, 𝑎𝑛= 𝑜(𝑛!)et donc𝑛α= 𝑜(𝑛!).
– 𝑛! = 𝑜(𝑛𝑛).
Théorème 9.17(des croissances comparées)
Preuve: Pour l’avant dernier point avec𝑎 ≠ 0: on pose𝑢𝑛= |𝑎|𝑛!𝑛, alors𝑢𝑢𝑛+1
𝑛 = 𝑛+1|𝑎| ⩽ 12à partir d’un certain rang N, d’où pour𝑛 ⩾ N,0 ⩽ 𝑢𝑛⩽ 𝑢N2𝑛−N1 et donc𝑢𝑛→ 0.
Pour le dernier point : Soit𝑢𝑛= 𝑛𝑛!𝑛 alors0 ⩽ 𝑢𝑛⩽ 1𝑛(en écrivant que𝑛𝑘 ⩽ 1pour𝑘 > 1). □
MPSI3 (2020-21) Lycée Montaigne – 90 – ©Fradin Patrick –https://mpsi.tuxfamily.org
MONT
AIGNE
Extension aux suites complexes Chapitre 9 : Suites numériques
Soit(𝑢𝑛)une suite delimite nulle, alors ;
• Si𝑓 ∶ ] − 𝑎; 𝑎[→ ℝ(où𝑎 > 0) est dérivable en0, et si𝑓′(0) ≠ 0, alors pour toute suite(𝑢𝑛)de limite nulle, on a𝑓(𝑢𝑛) − 𝑓(0) ∼ 𝑓′(0)𝑢𝑛.
• sin(𝑢𝑛) ∼ 𝑢𝑛;𝑒𝑢𝑛− 1 ∼ 𝑢𝑛; ln(1 + 𝑢𝑛) ∼ 𝑢𝑛; tan(𝑢𝑛) ∼ 𝑢𝑛;(1 + 𝑢𝑛)α− 1 ∼ α𝑢𝑛;
•1 −cos(𝑢𝑛) ∼ 12𝑢2𝑛.
• SoitP(𝑥) =
∑𝑝 𝑘=0
𝑎𝑘𝑥𝑘une fonction polynomiale avec𝑎𝑝≠ 0, alorsP(𝑛) ∼ 𝑎𝑝𝑛𝑝(équivalence avec le terme de plus haut degré).
• SoitQ(𝑥) = P(𝑥)R(𝑥)une fraction rationnelle avec𝑎𝑝𝑥𝑝le terme de plus haut degré deP(𝑎𝑝≠ 0) et 𝑏𝑟𝑥𝑟celui deR(𝑏𝑟 ≠ 0), alorsQ(𝑛) ∼ 𝑎𝑏𝑝
𝑟𝑛𝑝−𝑟(équivalence avec le rapport des termes de plus haut degré).
Théorème 9.18(les équivalents usuels)
Preuve: Si𝑓est une fonction dérivable en 0, alors il existe une fonctionεde limite nulle en 0 telle que : 𝑓(𝑥) − 𝑓(0) = 𝑥𝑓′(0) + 𝑥ε(𝑥), si𝑓′(0) ≠ 0alors pour n assez grand on aura𝑓(𝑢𝑛) − 𝑓(0) = 𝑢𝑛𝑓′(0)[1 +ε(𝑢𝑓′(0)𝑛)], ce qui
entraîne que 𝑓(𝑢𝑛) − 𝑓(0) ∼ 𝑢𝑛𝑓′(0) car𝑢𝑛→ 0. □
ZExemples: – Soit𝑢𝑛 =√
𝑛2− 𝑛 − 𝑛, alors𝑢𝑛= 𝑛[(1 − 1/𝑛)1/2− 1] ∼ 𝑛[−12𝑛] = −1/2, donc𝑢𝑛 → −1/2.
– Soit𝑢𝑛 = 𝑛𝑛!+𝑛2−𝑒𝑛4, on a𝑛2= 𝑜(𝑒𝑛)donc𝑛2− 𝑒𝑛∼ −𝑒𝑛, d’autre part𝑛4 = 𝑜(𝑛!)donc𝑛! + 𝑒𝑛∼ 𝑛!, d’où 𝑢𝑛 ∼ −𝑒𝑛!𝑛, mais𝑒𝑛= 𝑜(𝑛!), donc𝑢𝑛 → 0.
On a𝑛! ∼ 𝑛𝑛𝑒−𝑛√ 2π𝑛.
Théorème 9.19(équivalent de Stirling)
VI EXTENSION AUX SUITES COMPLEXES
1) Définitions
On adopte la même définition et les mêmes notations que pour les suites réelles, une suite complexe est donc une application𝑢 ∶ ℕ → ℂ, l’ensemble des suites complexes estℱ(ℕ, ℂ).
– Si𝑢est une suite complexe, on pose pour tout entier n,𝑎𝑛 =Re(𝑢𝑛)et𝑏𝑛=Im(𝑢𝑛), alors les suites 𝑎et𝑏sont dessuites réelles, avec𝑢𝑛= 𝑎𝑛+ 𝑖𝑏𝑛. La suite𝑎est appeléepartie réellede𝑢et notée 𝑎 =Re(𝑢), la suite𝑏est appeléepartie imaginairede𝑢et notée Im(𝑢). Par exemple, siθ ∈ ℝ, la partie réelle que la suite(𝑒𝑖𝑛θ)est la suite(cos(𝑛θ)), et sa partie imaginaire est la suite(sin(𝑛θ)).
– La suiteconjuguéede𝑢est notée𝑢et définie par𝑢𝑛 = 𝑎𝑛− 𝑖𝑏𝑛. – La suitemodulede𝑢est notée|𝑢|est définie par|𝑢|𝑛 = |𝑢𝑛| =√
𝑎𝑛2+ 𝑏𝑛2.
– Soitσ ∶ ℕ → ℕune application strictement croissante, la suite(𝑢σ(𝑛))est appeléesuite extraite de𝑢et on a𝑢σ(𝑛)= 𝑎σ(𝑛)+ 𝑖𝑏σ(𝑛).
– On dit que la suite complexe𝑢est bornée lorsque sa partie réelle𝑎et sa partie imaginaire𝑏sont des suites réelles bornées. Ceci revient à dire que la suite|𝑢|est majorée.
– On définit dans ℱ(ℕ, ℂ) les mêmes opérations que pour les suites réelles : addition, multi-plication et produit par un complexe. On trouve de même que(ℱ(ℕ, ℂ), +, ×)est un anneau commutatif non intègre.
2) Convergence
Soit𝑢une suite complexe, et soitℓun complexe. On dira que la suite𝑢converge versℓlorsque la suite(|𝑢𝑛− ℓ|)𝑛∈ℕtend vers0, c’est à dire :
∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ, ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ⩾ N ⟹ |𝑢𝑛− ℓ| < ε.
Définition 9.7
ZExemple: Soit𝑢𝑛 = 𝑒𝑖𝑛θ𝑛 , alors|𝑢𝑛| = 1𝑛 → 0donc𝑢converge vers0.
MPSI3 (2020-21) Lycée Montaigne – 91 – ©Fradin Patrick –https://mpsi.tuxfamily.org
MONT
AIGNE
Extension aux suites complexes Chapitre 9 : Suites numériques
3) Propriétés
Soit𝑢une suite complexe etℓun complexe, alors la suite𝑢converge versℓsi et seulement si la suite(Re(𝑢𝑛))converge vers Re(ℓ)etla suite(Im(𝑢𝑛))converge vers Im(ℓ).
Théorème 9.20
Preuve: Notons 𝑢𝑛 = 𝑎𝑛+ 𝑖𝑏𝑛etℓ = α + 𝑖β, (formes algébriques). Supposons que𝑎𝑛 → αet𝑏𝑛 → β, alors
|𝑢𝑛− ℓ| =√
(𝑎𝑛− α)2+ (𝑏𝑛− β)2qui tend donc vers0, donc𝑢converge versℓ.
Réciproquement, si𝑢converge versℓ, on a|𝑎𝑛− α| ⩽ |𝑢𝑛− ℓ|et|𝑏𝑛− β| ⩽ |𝑢𝑛− ℓ|, or|𝑢𝑛− ℓ|tend vers0, par
conséquent𝑎𝑛→ αet𝑏𝑛→ β. □
Connaissant les propriétés de suites réelles convergentes, on peut en déduire celles des suites complexes convergentes en raisonnant sur les parties réelles et imaginaires :
– Toute suite convergente est bornée.
– Si𝑢converge versℓ ∈ ℂ, alors toute suite extraite de𝑢converge versℓ.
– Si𝑢converge versℓ ∈ ℂet𝑣converge versℓ′ ∈ ℂ, alors𝑢+𝑣 → ℓ +ℓ′,𝑢𝑣 → ℓℓ′et∀λ ∈ ℂ, λ𝑢 → λℓ.
– Si𝑢 → ℓ ∈ ℂ∗, alors à partir d’un certain rang𝑢𝑛 ≠ 0et1𝑢 → 1ℓ.
– Si𝑢converge versℓ ∈ ℂ, alors la suite𝑢converge versℓet la suite|𝑢|converge vers|ℓ|.
– Si𝑢est bornée alors on peut en extraire une suite convergente (Bolzano - Weierstrass).
Remarque 9.9 – Si𝑢𝑛 → ℓdansℂ, et si𝑢est à valeurs réelles, alors la suite(𝑏𝑛)est la suite nulle, or 𝑏𝑛 →Im(ℓ), doncIm(ℓ) = 0, c’est à direℓ ∈ ℝ.
★Exercice 9.2 Étude de la suite(𝑢𝑛= 𝑒𝑖𝑛θ).
MPSI3 (2020-21) Lycée Montaigne – 92 – ©Fradin Patrick –https://mpsi.tuxfamily.org
MONT
AIGNE
Chapitre 10
Arithmétique
Sommaire
I Divisibilité. . . 86 1) La propriété fondamentale . . . 86 2) La division euclidienne. . . 86 3) Congruences . . . 87 4) Diviseurs communs. . . 87 II Éléments premiers entre eux . . . 88 1) Théorème de Bézout . . . 88 2) Conséquences . . . 89 III Le plus grand diviseur commun . . . 89 1) Définition . . . 89 2) Propriétés . . . 90 3) Généralisation . . . 90 IV Le plus petit multiple commun . . . 91 1) Définition . . . 91 2) Propriétés . . . 91 V Nombres premiers, décomposition . . . 91 1) Définition . . . 91 2) Décomposition en facteurs premiers . . . 92 3) Notion de valuation𝑝-adique . . . 93 4) Applications . . . 93
I DIVISIBILITÉ
1) La propriété fondamentale
Toute partie deℤnon vide et minorée admet un plus petit élément.
Théorème 10.1
Preuve: SoitAune partie deℤnon vide et minorée par un entier𝑛0. SoitMl’ensemble des minorants deA, on a 𝑛0∈ M, supposons que𝑛 ∈ M ⟹ 𝑛 +1 ∈ M, alors d’après le principe de récurrence,∀ 𝑛 ∈ ℤ, 𝑛 ⩾ 𝑛0 ⟹ 𝑛 ∈ M.
Soit𝑝 ∈ A,𝑝 ⩾ 𝑛0, donc𝑝 + 1 ∈ Mce qui entraîne que𝑝 + 1 ⩽ 𝑝: absurde, donc il existe un entier𝑛1tel que 𝑛1∈ Met𝑛1+ 1 ∉ M, mais alors il existe un élément𝑝1deAtel que𝑝1< 𝑛1+ 1, d’où𝑛1⩽ 𝑝1< 𝑛1+ 1, ce qui entraîne𝑝1= 𝑛1, et donc𝑛1∈ A, nécessairement𝑛1est le plus petit élément deA. □
•Toute partie non vide et majorée deℤadmet un plus grand élément. En effet, siAest non vide majorée, alors−A = {−𝑎 / 𝑎 ∈ A}est non vide minorée, donc−Aadmet un plus petit élément
−𝑛0, ce qui signifie que𝑛0est le plus grand élément deA.
•Toute partie non vide deℕadmet un plus petit élément (propriété fondamentale deℕ).
À retenir
MPSI3 (2020-21) Lycée Montaigne – 93 – ©Fradin Patrick –https://mpsi.tuxfamily.org
MONT
AIGNE
Divisibilité Chapitre 10 : Arithmétique
2) La division euclidienne
Soient𝑎 ∈ ℤet𝑏 ∈ ℤ∗, il existe un unique couple d’entiers(𝑞, 𝑟)tel que𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟avec0 ⩽ 𝑟 < |𝑏|, 𝑞est appelé le quotient, et𝑟le reste.
Théorème 10.2
Preuve: Supposons𝑏 > 0: soitB = {𝑏(𝑛 + 1) / 𝑛 ∈ ℤ}, alorsBest non majoré et non minoré, donc il existe un entier𝑛1tel que𝑎 < 𝑏(𝑛1+ 1)et il existe un entier𝑛2tel que𝑏(𝑛2+ 1) < 𝑎. SoitA = {𝑛 ∈ ℤ / 𝑎 < 𝑏(𝑛 + 1)}, alorsA est non vide (𝑛1∈ A) et minoré par𝑛2, doncAadmet un plus petit élément𝑞, d’où𝑏𝑞 ⩽ 𝑎 < 𝑏(𝑞 + 1), en posant 𝑟 = 𝑎 − 𝑏𝑞, on a𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟et0 ⩽ 𝑟 < 𝑏 = |𝑏|.
Supposons 𝑏 < 0 : on applique ce qui précède à−𝑏 > 0, il existe un entier 𝑞 et un entier 𝑟tels que 𝑎 = (−𝑏)𝑞 + 𝑟 = 𝑏(−𝑞) + 𝑟avec0 ⩽ 𝑟 < −𝑏 = |𝑏|.
Montrons l’unicité : si𝑎 = 𝑏𝑞 +𝑟 = 𝑏𝑞′+𝑟′avec0 ⩽ 𝑟 < |𝑏|et0 ⩽ 𝑟′< |𝑏|, alors|𝑟 −𝑟′| = |𝑏𝑞′−𝑏𝑞| = |𝑏||𝑞′−𝑞| < |𝑏|,
d’où𝑞′= 𝑞(ce sont des entiers) et donc𝑟′= 𝑟. □
Soient𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, on dit que𝑏divise𝑎lorsqu’il existe𝑘 ∈ ℤtel que𝑎 = 𝑏𝑘. Notation :𝑏|𝑎.
Définition 10.1
Remarque 10.1 – On a ainsi défini une relation dansℤ, elle est réflexive, non symétrique, non antisymétrique, et transitive.
★Exercice 10.1 Soient𝑎, 𝑏 ∈ ℤet𝑛 ∈ ℕ, montrer que𝑎 − 𝑏 ∣ 𝑎𝑛− 𝑏𝑛.
Soient𝑎, 𝑏 ∈ ℤavec𝑏 ≠ 0, alors𝑏|𝑎ssi le reste dans la division euclidienne de𝑎par𝑏est nul.
Théorème 10.3
Preuve: Celle-ci est simple et laissée en exercice. □
Notation: Soit𝑛 ∈ ℤ, on note𝑛ℤl’ensemble des multiples de𝑛,𝑛ℤ = {𝑘𝑛 / 𝑘 ∈ ℤ}.
• 𝑏 ∣ 𝑎 ⟺ 𝑎 ∈ 𝑏ℤ.
•Si𝑎 ≠ 0, alors𝑏 ∣ 𝑎 ⟹ |𝑏| ⩽ |𝑎|.
•(𝑎 ∣ 𝑏et𝑏 ∣ 𝑎) ⟺ 𝑎ℤ = 𝑏ℤ ⟺ 𝑎 = λ𝑏avecλ = ±1[on dit que𝑎et𝑏sont associés].
•Si𝑏 ∣ 𝑎et𝑏 ∣ 𝑐alors∀ 𝑢, 𝑣 ∈ ℤ, 𝑏 ∣ 𝑎𝑢 + 𝑐𝑣.
•Si𝑛𝑏 ∣ 𝑛𝑎et si𝑛 ≠ 0, alors𝑏 ∣ 𝑎.
Théorème 10.4
3) Congruences
Soient𝑎, 𝑏, 𝑛 ∈ ℤ, on dit que𝑎est congru à 𝑏modulo𝑛 lorsque𝑛 ∣ 𝑎 − 𝑏. Notation :𝑎 ≡ 𝑏 (mod𝑛).
Définition 10.2(congruences)
•La relation de congruence modulo𝑛est une relation d’équivalence.
•Soient𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑛 ∈ ℤ, si𝑎 ≡ 𝑏 (mod𝑛)et𝑐 ≡ 𝑑 (mod𝑛)alors : 𝑎𝑐 ≡ 𝑏𝑑 (mod𝑛)et𝑎 + 𝑐 ≡ 𝑏 + 𝑑 (mod𝑛).
On dit que la relation de congruence est compatible avec les opérations.
Théorème 10.5
Preuve: Celle-ci est simple et laissée en exercice. □
Remarque 10.2 – Soit𝑎, 𝑛 ∈ ℤavec𝑛 ≠ 0,𝑎 ≡ 𝑟 (mod𝑛)et0 ⩽ 𝑟 < |𝑛|si et seulement si𝑟est le reste de la division de𝑎par𝑛.
ZExemple: Dansℤ, si𝑛 = 𝑎0+ 10𝑎1+ ⋯ + 10𝑝𝑎𝑝(écriture décimale) alors𝑛 ≡ 𝑎0+ ⋯ + 𝑎𝑝 (mod3)car 10𝑘 ≡ 1 (mod3)
MPSI3 (2020-21) Lycée Montaigne – 94 – ©Fradin Patrick –https://mpsi.tuxfamily.org
MONT
AIGNE
Éléments premiers entre eux Chapitre 10 : Arithmétique
4) Diviseurs communs
Pour𝑎 ∈ ℤ, on noteD𝑎l’ensemble des diviseurs de𝑎. Si𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, on noteD𝑎,𝑏l’ensemble des diviseurs communs à𝑎et𝑏, on a doncD𝑎,𝑏= D𝑎∩ D𝑏, cet ensemble contient toujours±1.
Définition 10.3(diviseurs communs)
Remarque 10.3 –
– Pour tout élément𝑎 ∈ ℤ,±1 ∣ 𝑎.
– Si𝑎 ≠ 0, alorsD𝑎est un ensemble fini, plus précisémentD𝑎 ⊂J−|𝑎| ; |𝑎|K. – D0= ℤ,D±1= {±1}.
– Si𝑎et𝑏sont dansℤ:D𝑎= D|𝑎|(on en déduit queD𝑎,𝑏 = D|𝑎|,|𝑏|).
Soient𝑎, 𝑏, 𝑞, 𝑟 ∈ ℤ, si𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟, alorsD𝑎,𝑏= D𝑏,𝑟. Théorème 10.6
Preuve: Si𝑑 ∈ D𝑎,𝑏, alors𝑑 ∣ 𝑎et𝑑 ∣ 𝑏donc𝑑 ∣ 𝑎 − 𝑏𝑞i.e.𝑑 ∣ 𝑟, donc𝑑 ∈ D𝑏,𝑟.
Réciproquement, si𝑑 ∈ D𝑏,𝑟, alors𝑑 ∣ 𝑏et𝑑 ∣ 𝑟donc𝑑 ∣ 𝑏𝑞 + 𝑟i.e.𝑑 ∣ 𝑎, d’où𝑑 ∈ D𝑎,𝑏. □ Application –Le théorème ci-dessus fournit un algorithme pour la recherche des diviseurs communs à𝑎et𝑏 (entiers naturels) basé sur la division euclidienne : c’estl’algorithme d’Euclide1, voici son principe :
On remarque que si𝑏 = 0alorsD𝑎,𝑏 = D𝑎. On peut supposer désormais que𝑏 ≠ 0et on cherche à calculerD = D𝑎,𝑏:
Étape 1: on effectue la division euclidienne de𝑎par𝑏,𝑎 = 𝑏𝑞1+ 𝑟1avec0 ⩽ 𝑟1 < 𝑏. On aD = D𝑏,𝑟1, donc si𝑟1= 0alorsD = D𝑏, sinon on passe :
Étape 2: on effectue la division euclidienne de𝑏par𝑟1,𝑏 = 𝑟1𝑞2+ 𝑟2avec0 ⩽ 𝑟2< 𝑟1. On aD = D𝑟1,𝑟2, donc si𝑟2= 0alorsD = D𝑟1, sinon on passe :
Étape 3: on effectue la division euclidienne de 𝑟1 par𝑟2; 𝑟1 = 𝑟2𝑞3+ 𝑟3 avec 0 ⩽ 𝑟3 < 𝑟2. On a D = D𝑟2,𝑟3, donc si𝑟3 = 0alorsD = D𝑟2, sinon on passe à l’étape 4...
La suite des restes obtenus est une suite strictement décroissante d’entiers positifs, elle est donc nécessairement finie,i.e.il existe un entier𝑛 ⩾ 1tel que𝑟𝑛 = 0, l’ensemble cherché est doncD = D𝑟𝑛−1 (avec la convention𝑟0= 𝑏).
D𝑎,𝑏= D𝑟 où𝑟est le dernier reste non nul dans l’algorithme d’Euclide.
À retenir
ZExemple: Cherchons les diviseurs communs à𝑎 = 336et𝑏 = 210
– on effectue la division de𝑎par𝑏:336 = 1 × 210 + 126, doncD𝑎,𝑏 = D210,126.
– on effectue la division de210par126:210 = 1 × 126 + 84, doncD𝑎,𝑏= D210,126 = D126,84. – on effectue la division de126par84:126 = 1 × 84 + 42, doncD𝑎,𝑏= D84,42.
– on effectue la division de84par42:84 = 2 × 42 + 0, doncD𝑎,𝑏 = D42,0= D42, c’est à dire : D336,210 = {±1, ±2, ±3, ±6, ±7, ±14, ±21, ±42}.
II ÉLÉMENTS PREMIERS ENTRE EUX 1) Théorème de Bézout
1. EUCLIDE (300 av. J.C. – 275 av. J.C. environ) : on ne sait pratiquement rien de sa vie, il était vraisemblablement grec.
Son œuvre est colossale et son ouvrage fondamental « Les éléments » regroupe toutes les connaissances de l’époque, il faudra
Son œuvre est colossale et son ouvrage fondamental « Les éléments » regroupe toutes les connaissances de l’époque, il faudra