La récurrence - MONTAIGNE. Cours de Mathématiques MPSI P 1 P 2. Fradin Patrick Lycée Montaigne

SoitP(𝑛)un prédicat portant sur une variable𝑛 ∈ ℕ.

Si on aP(0)(initialisation) et si∀𝑛 ∈ ℕ, P(𝑛) ⟹ P(𝑛 + 1)(hérédité), alors nécessairement

∀𝑛 ∈ ℕ, P(𝑛).

À retenir: rappel du principe de récurrence

Remarque 1.5 :

– L’initialisation est juste une vérification, mais elle est indispensable.

Par exemple, soit le prédicatP(𝑛):«𝑛 = 𝑛 + 1», celui-ci vérifie bien l’hérédité (𝑛 = 𝑛 + 1 ⟹ 𝑛 + 1 = 𝑛 + 2), mais pour tout𝑛,P(𝑛)est fausse.

– Démontrer l’hérédité c’est démontrer une implication. En général on le fait par la méthode directe, on fait donc l’hypothèseP(𝑛), c’est ce que l’on appellel’hypothèse de récurrence, et on essaie d’en déduireP(𝑛 + 1).

Soit𝑎 ∈ ℤetP(𝑛)un prédicat portant sur une variable𝑛 ∈ ℤ.

•Si on aP(𝑎)et si∀𝑛 ⩾ 𝑎, P(𝑛) ⟹ P(𝑛 + 1), alors on peut conclure que∀𝑛 ∈ ℤ, 𝑛 ⩾ 𝑎 ⟹ P(𝑛).

•Si on aP(𝑎)et si∀𝑛 ⩽ 𝑎, P(𝑛) ⟹ P(𝑛 − 1), alors on peut conclure que∀𝑛 ∈ ℤ, 𝑛 ⩽ 𝑎 ⟹ P(𝑛) (récurrence descendante).

Théorème 1.5(variantes)

Preuve: Pour le premier point, on applique le principe de récurrence au prédicatQ(𝑛) = P(𝑛 + 𝑎)avec𝑛 ∈ ℕ.

Pour le deuxième, on applique le principe de récurrence au prédicatQ(𝑛) = P(𝑎 − 𝑛)avec𝑛 ∈ ℕ. □

★Exercice 1.5

1/Montrer que∀𝑛 ∈ ℕ^∗,∑𝑛

𝑘=1𝑘 = ^𝑛(𝑛+1)₂ . 2/Montrer que∀𝑛 ∈ ℕ^∗,∑𝑛

𝑘=1𝑘²= (2𝑛+1)𝑛(𝑛+1)

6 .

3/Montrer que∀𝑛 ∈ ℕ^∗,∑_𝑛

𝑘=1𝑘³=(_𝑛(𝑛+1)

6. Cette méthode n’est pas toujours applicable, mais c’est celle que l’on utilise dans la mesure du possible pour résoudre une équation ou une inéquation.

MPSI3 (2020-21) Lycée Montaigne – 9 – ©Fradin Patrick –https://mpsi.tuxfamily.org

MONT

AIGNE

Le raisonnement Chapitre 1 : Éléments de logique

SoitP(𝑛)un prédicat portant sur une variable𝑛 ∈ ℕ.

Si on aP(0)(initialisation) et si∀ ∈ ℕ, (P(0) ∧ P(1) ∧ ⋯ ∧ P(𝑛)) ⟹ P(𝑛 + 1)(hérédité), alors nécessairement∀𝑛 ∈ ℕ, P(𝑛).

Théorème 1.6(récurrence forte)

Preuve: Appliquer la principe de récurrence au prédicatQ(𝑛) = P(0) ∧ P(1) ∧ ⋯ ∧ P(𝑛). □

La récurrence forte est utile lorsque le seul fait queP(𝑛)soit vraie ne suffit pas à en déduire P(𝑛 + 1). L’hypothèse de récurrence peut alors s’écrire : « supposons la propriété vraiejusqu’au rang𝑛».

À retenir

★Exercice 1.6 Soit(𝑢𝑛)la suite définie par𝑢0= 𝑢1= 1et∀ 𝑛 ∈ ℕ, 𝑢𝑛+2= 𝑢𝑛+1+ 𝑢𝑛(suite de Fibonacci), montrer par récurrence que pour tout n :

𝑢𝑛= 5 +√ 5 10

(1 +√ 5 2

)𝑛

+5 −√ 5 10

(1 −√ 5 2

)𝑛

MPSI3 (2020-21) Lycée Montaigne – 10 – ©Fradin Patrick –https://mpsi.tuxfamily.org

MONT

AIGNE

Chapitre 2

Nombres complexes

Sommaire

I Écriture algébrique . . . 11

1) L’ensemble des complexes . . . 11

2) Partie réelle, partie imaginaire. . . 12

3) Conjugué d’un nombre complexe . . . 12

II Module d’un nombre complexe . . . 13

1) Définition . . . 13

2) Équation du second degré . . . 13

III Forme trigonométrique . . . 14

1) Le groupe unité . . . 14

2) Exponentielle d’un imaginaire pur . . . 14

3) Argument d’un nombre complexe . . . 15

4) Racines n^esd’un nombre complexe . . . 16

IV Exponentielle complexe . . . 17

1) Définition . . . 17

2) Formules d’Euler et de Moivre. . . 18

V Représentation géométrique des complexes, applications . . . 18

1) Affixe . . . 18

2) Distances. . . 18

3) Angles orientés . . . 19

4) Similitudes directes . . . 19

VI Formulaire de trigonométrie . . . 20 On suppose connu l’ensembleℝdes réels, les propriétés de ses deux opérations que sont l’addition et la multiplication, et la notion de valeur absolue d’un réel.

I ÉCRITURE ALGÉBRIQUE

1) L’ensemble des complexes

On admet l’existence d’un ensemble, que l’on noteraℂ, contenantℝet tel que :

– ℂpossède une addition et une multiplication,prolongeant celles deℝet vérifiant les mêmes propriétés, c’est à dire :

• L’addition est interne (∀𝑧, 𝑧^′∈ ℂ, 𝑧 + 𝑧^′ ∈ ℂ), commutative (∀𝑧, 𝑧^′ ∈ ℂ, 𝑧 + 𝑧^′= 𝑧^′+ 𝑧), associative (∀𝑧, 𝑧^′, 𝑧^′′ ∈ ℂ, (𝑧 + 𝑧^′) + 𝑧^′′ = 𝑧 + (𝑧^′+ 𝑧^′′)),0est élément neutre (∀𝑧 ∈ ℂ, 𝑧 + 0 = 0 + 𝑧 = 𝑧), chaque complexe admet un opposé dansℂ(l’opposé de𝑧 ∈ ℂest noté−𝑧).

• La multiplication est interne (∀𝑧, 𝑧^′∈ ℂ, 𝑧𝑧^′∈ ℂ), commutative (∀𝑧, 𝑧^′∈ ℂ, 𝑧𝑧^′= 𝑧^′𝑧), associa-tive (∀𝑧, 𝑧^′, 𝑧^′′ ∈ ℂ, (𝑧𝑧^′)𝑧^′′ = 𝑧(𝑧^′𝑧^′′)),1est élément neutre (∀𝑧 ∈ ℂ, 𝑧 × 1 = 1 × 𝑧 = 𝑧), chaque complexeautre que0admet un inverse dansℂ(l’inverse de𝑧 ∈ ℂest noté𝑧⁻¹ou ¹_𝑧).

• La multiplication est distributive sur l’addition à gauche et à droite (∀𝑧, 𝑧^′, 𝑧^′′ ∈ ℂ, 𝑧(𝑧^′+ 𝑧^′′) = 𝑧𝑧^′+ 𝑧𝑧^′′, et(𝑧^′+ 𝑧^′′)𝑧 = 𝑧^′𝑧 + 𝑧^′′𝑧).

On résume toutes ses propriétés en disant que(ℂ, +, ×)est un corps commutatif.

– Il existe un complexe, que l’on notera𝑖, qui vérifie𝑖²= −1.

MPSI3 (2020-21) Lycée Montaigne – 11 – ©Fradin Patrick –https://mpsi.tuxfamily.org

MONT

AIGNE

Écriture algébrique Chapitre 2 : Nombres complexes

– Pour tout complexe𝑧, il existe deux réels𝑎et𝑏uniquestels que𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏.

★Exercice 2.1

1/Montrer que si𝑧 ∈ ℂ, alors𝑧 × 0 = 0 × 𝑧 = 0.

2/Soient𝑧, 𝑧^′∈ ℂtels que𝑧𝑧^′= 0, montrer que𝑧 = 0ou𝑧^′= 0.

2) Partie réelle, partie imaginaire

Soit𝑧 ∈ ℂ, on sait qu’il existe un réel𝑎unique et un réel𝑏unique tel que𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏. Le réel𝑎est appelépartie réellede𝑧, notée𝑎 =Re(𝑧), et𝑏la partie imaginairede𝑧, notée𝑏 =Im(𝑧). L’écriture 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏est appeléeforme algébriquede𝑧. L’ensemble des complexes dont la partie réelle est nulle, est appeléensemble des imaginaires purset noté𝑖ℝ ={

𝑧 ∈ ℂ ∣Re(𝑧) = 0}

𝑖𝑦 ∣ 𝑦 ∈ ℝ} . Définition 2.1

a) 𝑧 = 𝑧^′ ⟺

⎧⎪

⎨⎪

⎩

Re(𝑧) =Re(𝑧^′) Im(𝑧) =Im(𝑧^′) . b) 𝑧 ∈ ℝ ⟺ Im(𝑧) = 0.

c) 𝑧 ∈ 𝑖ℝ ⟺ Re(𝑧) = 0.

d) Re(𝑧 + 𝑧^′) =Re(𝑧) +Re(𝑧^′)et Im(𝑧 + 𝑧^′) =Im(𝑧) +Im(𝑧^′).

e) Siαest unréel, alors Re(α𝑧) = αRe(𝑧), et Im(α𝑧) = αIm(𝑧).

À retenir: quelques propriétés

★Exercice 2.2

1/Démontrer les propriétés ci-dessus.

2/Déterminer la forme algébrique du produit𝑧𝑧^′.

La dernière propriété est fausse lorsqueαn’est pas réel.

Attention !

3) Conjugué d’un nombre complexe

Soit𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦un complexe sous forme algébrique, on appelleconjuguéde𝑧, le complexe noté 𝑧et défini par𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦. On a donc Re(𝑧) =Re(𝑧)et Im(𝑧) = −Im(𝑧).

Définition 2.2

Soient𝑧, 𝑧^′ ∈ ℂ, on a :

•𝑧 + 𝑧^′= 𝑧 + 𝑧^′

•𝑧𝑧^′= 𝑧𝑧^′

•𝑧 = 𝑧.

Théorème 2.1(propriétés de la conjugaison)

Preuve: Celle-ci est simple et laissée en exercice. □

•𝑧 + 𝑧 = 2Re(𝑧)et𝑧 − 𝑧 = 2𝑖Im(𝑧);

•𝑧 ∈ ℝ ⟺ 𝑧 = 𝑧;

•𝑧est un imaginaire pur si et seulement si𝑧 = −𝑧.

À retenir

★Exercice 2.3 Montrer que si𝑧est non nul, alors ¹_𝑧 = ¹_𝑧.

MPSI3 (2020-21) Lycée Montaigne – 12 – ©Fradin Patrick –https://mpsi.tuxfamily.org

MONT

AIGNE

Module d’un nombre complexe Chapitre 2 : Nombres complexes

II MODULE D’UN NOMBRE COMPLEXE

1) Définition

Soit𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦un complexe sous forme algébrique, on a𝑧 × 𝑧 = 𝑥²+ 𝑦² et cette quantité est unréel positif.

Soit𝑧 ∈ ℂ, on appellemodulede𝑧, le réel positif noté|𝑧|et défini par :|𝑧| =√ 𝑧𝑧.

Définition 2.3

a) |𝑧|²= 𝑧𝑧.

b) |𝑧| = 0 ⟺ 𝑧 = 0.

c) |Re(𝑧)| ⩽ |𝑧|et|Im(𝑧)| ⩽ |𝑧|.

d) Si𝑧est réel, alors son module coïncide avec sa valeur absolue.

e) |𝑧𝑧^′| = |𝑧||𝑧^′|, en particulier,∀𝑛 ∈ ℕ, |𝑧^𝑛| = |𝑧|^𝑛(ceci reste valable pour𝑛 ∈ ℤsi𝑧 ≠ 0).

f) |𝑧| = |𝑧|et| − 𝑧| = |𝑧|.

g) Pour mettre le complexe _𝑧^𝑧′ sous forme algébrique, il suffit de multiplier en haut et en bas par𝑧^′: _𝑧^𝑧′ = _|𝑧^𝑧𝑧′|^′² = ^Re(𝑧𝑧_|𝑧′|²^′⁾ + 𝑖^Im(𝑧𝑧_|𝑧′|²^′⁾.

À retenir: propriétés du module

Soient𝑧et𝑧^′deux complexes :|

||𝑧| − |𝑧^′||

| ⩽ |𝑧 + 𝑧^′| ⩽ |𝑧| + |𝑧^′|.

Théorème 2.2(inégalité triangulaire)

Preuve: Pour l’inégalité de droite :

|𝑧 + 𝑧^′|²= (𝑧 + 𝑧^′)(𝑧 + 𝑧^′)

= |𝑧|²+ |𝑧^′|²+ 2Re(𝑧𝑧^′)

⩽ |𝑧|²+ |𝑧^′|²+ 2|Re(𝑧𝑧^′)|

⩽ |𝑧|²+ |𝑧^′|²+ 2|𝑧𝑧^′| = |𝑧|²+ |𝑧^′|²+ 2|𝑧||𝑧^′|

⩽(

|𝑧| + |𝑧^′|)2

d’où le résultat puisque les deux expressions sont des réels positifs.

Pour l’inégalité de gauche, on écrit|𝑧| = |𝑧 + 𝑧^′− 𝑧^′| ⩽ |𝑧 + 𝑧^′| + |𝑧^′|d’où|𝑧| − |𝑧^′| ⩽ |𝑧 + 𝑧^′|, en inversant les rôles on a|𝑧^′| − |𝑧| ⩽ |𝑧 + 𝑧^′|, ce qui entraîne la première inégalité. □ Remarque 2.1 – En remplaçant𝑧^′par−𝑧^′, on a||𝑧| − |𝑧^′|| ⩽ |𝑧 − 𝑧^′| ⩽ |𝑧| + |𝑧^′|.

Soient𝑧et𝑧^′deux complexes non nuls,|𝑧 + 𝑧^′| = |𝑧| + |𝑧^′|si et seulement si il existe unréelα strictement positiftel que𝑧 = α𝑧^′.

Théorème 2.3(cas d’égalité)

Preuve: Si on a𝑧 = α𝑧^′, alors|𝑧 + 𝑧^′| = |α𝑧^′+ 𝑧^′| = (1 + α)|𝑧^′| = |𝑧^′| + α|𝑧^′| = |𝑧^′| + |𝑧|. Réciproquement, si

|𝑧 + 𝑧^′| = |𝑧| + |𝑧^′|, alors|𝑧 + 𝑧^′|²= (|𝑧| + |𝑧^′|)², ce qui donne en développant,|𝑧|²+ |𝑧^′|²+ 2Re(𝑧𝑧^′) = |𝑧|²+ |𝑧^′|²+ 2|𝑧||𝑧^′|, on en déduit que Re(𝑧𝑧^′) = |𝑧𝑧^′|ce qui prouve que𝑧𝑧^′est un réel positif. Il suffit alors de prendreα = _|𝑧^𝑧𝑧′|^′², c’est

bien un réel strictement positif, et on a la relation voulue. □

2) Équation du second degré

MPSI3 (2020-21) Lycée Montaigne – 13 – ©Fradin Patrick –https://mpsi.tuxfamily.org

MONT

AIGNE

Forme trigonométrique Chapitre 2 : Nombres complexes

Soit𝑎 ∈ ℂ, l’équation𝑧² = 𝑎admet dansℂdeux solutions opposées (toutes deux nulles lorsque 𝑎 = 0).

Théorème 2.4

Preuve: Soit𝑧0une solution, alors l’équation𝑧²= 𝑎équivaut à𝑧²= 𝑧0², c’est à dire à(𝑧 − 𝑧0)(𝑧 + 𝑧0) = 0, d’où 𝑧 = ±𝑧₀, il reste à montrer l’existence d’une solution𝑧₀. Posons𝑎 = 𝑢 + 𝑖𝑣et𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, l’équation𝑧²= 𝑎est équivalente à𝑥²− 𝑦²= 𝑢et2𝑥𝑦 = 𝑣. On doit avoir également|𝑧|²= |𝑎|, c’est à dire𝑥²+ 𝑦²= |𝑎|, par conséquent on a :𝑥²= ^𝑢+|𝑎|₂ ,𝑦²= ^{|𝑎|−𝑢}₂ et2𝑥𝑦 = 𝑣.Unesolution𝑧₀= 𝑥₀+ 𝑖𝑦₀s’obtient en prenant :𝑥₀=

√

|𝑎|+𝑢

2 , et𝑦₀= ε

√

|𝑎|−𝑢 2

avecε = 1si𝑣 ⩾ 0etε = −1si𝑣 < 0, car on a2𝑥0𝑦0= ε|𝑣| = 𝑣. □ ZExemples:

– Si𝑎est un réel strictement positif, alors𝑣 = 0et𝑢 > 0d’où|𝑎| = 𝑢et donc𝑥₀ =√

𝑎et𝑦₀= 0, les deux solutions sont±√

𝑎, elles sont réelles.

– Si𝑎est un réel strictement négatif, alors𝑣 = 0et𝑢 < 0d’où|𝑎| = −𝑢et donc𝑥₀ = 0et𝑦₀=√

−𝑎, les deux solutions sont±𝑖√

−𝑎, ce sont desimaginaires purs.

Soient𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℂavec𝑎 ≠ 0, l’équation𝑎𝑧²+ 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0admet deux solutions complexes qui sont𝑧₁= ^−𝑏+δ_2𝑎 et𝑧₂= ^−𝑏−δ_2𝑎 avecδ ∈ ℂtel queδ² = Δ = 𝑏²− 4𝑎𝑐(discriminant). De plus, lorsque les coefficients𝑎, 𝑏, 𝑐sont réels et que le discriminant𝑏²− 4𝑎𝑐est strictement négatif, ces deux solutions sont complexesnon réelles et conjuguées.

Théorème 2.5

Preuve: L’équation est équivalente à :(𝑧 + _2𝑎^𝑏)²−^𝑏²_4𝑎^−4𝑎𝑐2 = 0.PosonsZ = 𝑧 + _2𝑎^𝑏 etΔ = 𝑏²− 4𝑎𝑐, on sait queΔ admet deux racines carrées dansℂ, soitδl’une d’elles (δ²= Δ), l’équation est équivalente à :Z²= _4𝑎^δ²2, on en déduit queZ = ±_2𝑎^δ et donc𝑧 = ^−𝑏±δ_2𝑎 .Lorsque les trois coefficients sont réels, le discriminantΔest lui aussi un réel, s’il est strictement négatif, alors on peut prendreδ = 𝑖√

−Δet les solutions sont dans ce cas𝑧 = ^{−𝑏±𝑖}

√−Δ 2𝑎 , on

voit que celles - ci sont complexes non réelles et conjuguées. □

• Si𝑧₁et𝑧₂sont racines de l’équation𝑎𝑧²+ 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0, alors on a les relations :𝑧₁+ 𝑧₂ = S = −^𝑏_𝑎 et𝑧₁𝑧₂= P = _𝑎^𝑐.

• De plus on a la factorisation :

∀𝑧 ∈ ℂ, 𝑎𝑧²+ 𝑏𝑧 + 𝑐 = 𝑎(𝑧 − 𝑧₁)(𝑧 − 𝑧₂).

À retenir: somme et produit de racines d’une équation du second degré

III FORME TRIGONOMÉTRIQUE 1) Le groupe unité

On note𝕌l’ensemble des complexes de module1:𝕌 = {𝑧 ∈ ℂ / |𝑧| = 1}, c’est une partie deℂ^∗. Définition 2.4

Il est facile de vérifier que l’ensemble𝕌:

– eststable pour la multiplication:∀𝑧, 𝑧^′∈ 𝕌, 𝑧𝑧^′∈ 𝕌.

– eststable pour le passage à l’inverse:∀𝑧 ∈ 𝕌,𝑧 ≠ 0et𝑧⁻¹∈ 𝕌.

– contient1.

De plus, la multiplication dans𝕌est associative (car elle l’est dansℂ), on dit alors que(𝕌, ×)est ungroupe multiplicatif. Comme la multiplication est en plus commutative, on dit que(𝕌, ×)est un groupe abélien(ou commutatif), ce groupe est parfois appelégroupe unitédeℂ.

Tout complexe de module1peut se mettre sous la forme cos(θ) + 𝑖sin(θ)avecθun réel, plus précisément :

𝕌 = {cos(θ) + 𝑖sin(θ) / θ ∈ ℝ}.

Théorème 2.6

Preuve: Soit𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦un complexe de module1, on a𝑥²+ 𝑦²= 1, donc il existe un réelθ(unique à2πprès) tel que𝑥 =cos(θ)et𝑦 =sin(θ), c’est à dire𝑧 =cos(θ) + 𝑖sin(θ). La réciproque est immédiate. □

MPSI3 (2020-21) Lycée Montaigne – 14 – ©Fradin Patrick –https://mpsi.tuxfamily.org

MONT

AIGNE

Forme trigonométrique Chapitre 2 : Nombres complexes

2) Exponentielle d’un imaginaire pur

Pour toutréel𝑥, on pose𝑒^𝑖𝑥=cos(𝑥) + 𝑖sin(𝑥). On a les propriétés suivantes : – ∀θ ∈ ℝ, Re(𝑒^𝑖θ) =cos(θ)et Im(𝑒^𝑖θ) =sin(θ).

– ∀θ ∈ ℝ, 𝑒^−𝑖θ=cos(−θ) + 𝑖sin(−θ) =cos(θ) − 𝑖sin(θ) = 𝑒^𝑖θ. – ∀θ ∈ ℝ, |𝑒^𝑖θ| =√

cos(θ)²+sin(θ)²= 1, donc𝑒^𝑖θ∈ 𝕌.

– ∀𝑧 ∈ 𝕌, ∃θ ∈ ℝ, 𝑒^𝑖θ= 𝑧.

0 0

1 1

⃗⃗

𝑢

⃗⃗𝑣

M(𝑥 + 𝑖𝑦 = 𝑒^𝑖θ)

𝑥 =cos(θ) 𝑦 =sin(θ)

θ =(⃗⃗̂𝑢 , ⃗⃗⃗⃗⃗OM) (mod2π)

– Soitθ, θ^′∈ ℝ, 𝑒^𝑖θ= 𝑒^𝑖θ^′ ⟺

⎧⎪

⎨⎪

⎩

cos(θ) =cos(θ^′)

sin(θ) =sin(θ^′) ⟺ θ = θ^′(2π).

∀θ, θ^′∈ ℝ, 𝑒^𝑖θ× 𝑒^𝑖θ^′= 𝑒^𝑖(θ+θ^′⁾. Théorème 2.7

Preuve:𝑒^𝑖θ𝑒^𝑖θ^′= [cos(θ)+𝑖sin(θ)][cos(θ^′)+𝑖sin(θ^′)] = [cos(θ)cos(θ^′)−sin(θ)sin(θ^′)]+𝑖[cos(θ)sin(θ^′)+sin(θ)cos(θ^′)] = cos(θ + θ^′) + 𝑖sin(θ + θ^′) = 𝑒^𝑖(θ+θ^′⁾d’après les formules d’addition du sinus et du cosinus. □

Ce théorème permet de retrouver les formules trigonométriques.

Pour tous réels𝑥et𝑦:

– cos(𝑥 + 𝑦) =Re(𝑒^{𝑖(𝑥+𝑦)}) =Re(𝑒^𝑖𝑥𝑒^𝑖𝑦) =cos(𝑥)cos(𝑦) −sin(𝑥)sin(𝑦).

– sin(𝑥 + 𝑦) =Im(𝑒^{𝑖(𝑥+𝑦)}) =Im(𝑒^𝑖𝑥𝑒^𝑖𝑦) =cos(𝑥)sin(𝑦) +sin(𝑥)cos(𝑦).

– On en déduit : cos(2𝑥) = 2cos²(𝑥) − 1 = 1 − 2sin²(𝑥) =et sin(2𝑥) = 2sin(𝑥)cos(𝑥).

En posant𝑎 = 𝑥 + 𝑦

2 et𝑏 = 𝑥 − 𝑦

2 on obtient : – cos(𝑥) +cos(𝑦) =cos(𝑎 + 𝑏) +cos(𝑎 − 𝑏) = 2cos(𝑎)cos(𝑏), donc

cos(𝑥) +cos(𝑦) = 2cos(^𝑥+𝑦₂ )cos(^𝑥−𝑦₂ ).

– cos(𝑥) −cos(𝑦) =cos(𝑎 + 𝑏) −cos(𝑎 − 𝑏) = −2sin(𝑎)sin(𝑏), donc cos(𝑥) −cos(𝑦) = −2sin(^𝑥+𝑦₂ )sin(^𝑥−𝑦₂ ).

– sin(𝑥) +sin(𝑦) =sin(𝑎 + 𝑏) +sin(𝑎 − 𝑏) = 2sin(𝑎)cos(𝑏), donc sin(𝑥) +sin(𝑦) = 2sin(^𝑥+𝑦₂ )cos(^𝑥−𝑦₂ ) – etc

À retenir

3) Argument d’un nombre complexe

Soit 𝑧 ∈ 𝕌, on sait qu’il existe un réelθ(unique à2πprès) tel que𝑧 = 𝑒^𝑖θ. Si maintenant𝑧est un complexe non nul quelconque alors _|𝑧|^𝑧 ∈ 𝕌et donc il existe un réelθ(unique à2πprès) tel que

𝑧

|𝑧| = 𝑒^𝑖θ, c’est à dire𝑧 = |𝑧|𝑒^𝑖θ.

MPSI3 (2020-21) Lycée Montaigne – 15 – ©Fradin Patrick –https://mpsi.tuxfamily.org

MONT

AIGNE

Forme trigonométrique Chapitre 2 : Nombres complexes

Soit𝑧un complexe non nul, on appelleargumentde𝑧tout réelθtel que𝑧 = |𝑧|𝑒^𝑖θ, cette égalité est appeléeforme trigonométriquede𝑧. L’ensemble des arguments de𝑧est noté arg(𝑧), on a donc arg(𝑧)={θ ∈ ℝ/ 𝑧 = |𝑧|𝑒^𝑖θ}, et siθ₀est un argument de𝑧, alors arg(𝑧)={θ0+ 2𝑘π/ 𝑘 ∈ ℤ }.

Définition 2.5

0 1 2

−1 0 1 2

−1

A(𝑧)

B(_|𝑧|^𝑧)

Soit𝑧 ∈ ℂ^∗,𝑧possède un unique argument dans l’intervalle] − π; π], par définition cet argument est appeléargument principalde𝑧et noté Arg(𝑧).

Définition 2.6

ZExemples:

– Arg(𝑖) = ^π₂, Arg(𝑗) = ^2π₃ .

– si𝑥 ∈ ℝ^∗+alors Arg(𝑥) = 0et si𝑥 ∈ ℝ^∗− alors Arg(𝑥) = π.

Si𝑧 = 𝑟e^𝑖θavec𝑟etθréels, alors c’est la forme trigonométrique de𝑧lorsque𝑟 > 0. Mais lorsque𝑟 < 0, la forme trigonométrique de𝑧est𝑧 = −𝑟𝑒^𝑖(θ+π).

Attention !

• Si𝑧 = 𝑒^𝑖𝑥+ 𝑒^𝑖𝑦, alors𝑧 = 𝑒^𝑖^𝑥+𝑦² [𝑒^𝑖^𝑥−𝑦² + 𝑒^−𝑖^𝑥−𝑦² ] = 2cos(^𝑥−𝑦₂ )𝑒^𝑖^𝑥+𝑦² . D’où|𝑧| = 2|cos(^𝑥−𝑦₂ )|et Arg(𝑧) =

𝑥+𝑦 2 (π).

• Si𝑧 = 𝑒^𝑖𝑥− 𝑒^𝑖𝑦, alors𝑧 = 𝑒^𝑖^𝑥+𝑦² [𝑒^𝑖^𝑥−𝑦² − 𝑒^−𝑖^𝑥−𝑦² ] = 2𝑖sin(^𝑥−𝑦₂ )𝑒^𝑖^𝑥+𝑦² . D’où|𝑧| = 2|sin(^𝑥−𝑦₂ )|et Arg(𝑧) =

𝑥+𝑦+π 2 (π).

À retenir: factorisation par l’arc moitié

Soient𝑧, 𝑧^′ ∈ ℂ^∗ avecθ =Arg(𝑧)etθ^′=Arg(𝑧^′): – 𝑧 = 𝑧^′ ⟺

{ |𝑧| = |𝑧^′| θ = θ^′(2π) . – 𝑧 ∈ ℝ^∗ ⟺ θ = 0 (π).

– 𝑧 = |𝑧|𝑒^−𝑖θdonc Arg(𝑧) = −θ (2π).

– −𝑧 = |𝑧|𝑒^𝑖(θ+π)donc Arg(−𝑧) = θ + π (2π).

– 𝑧𝑧^′ = |𝑧𝑧^′|𝑒^𝑖(θ+θ^′⁾donc Arg(𝑧𝑧^′) = θ + θ^′(2π).

– _𝑧^𝑧′ = _|𝑧^|𝑧|′|𝑒^𝑖(θ−θ^′⁾donc Arg(_𝑧^𝑧′) = θ − θ^′(2π).

– ∀𝑛 ∈ ℤ, 𝑧^𝑛 = |𝑧^𝑛|𝑒^𝑖𝑛θ donc Arg(𝑧^𝑛) = 𝑛θ (2π).

Théorème 2.8(propriétés)

Preuve: Celle-ci est simple et laissée en exercice. □

MPSI3 (2020-21) Lycée Montaigne – 16 – ©Fradin Patrick –https://mpsi.tuxfamily.org

MONT

AIGNE

Forme trigonométrique Chapitre 2 : Nombres complexes

Soient𝑎,𝑏deux réels non tous deux nuls et soit𝑥 ∈ ℝ, en posant 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 = |𝑧|𝑒^𝑖θon obtient :

𝑎cos(𝑥) + 𝑏sin(𝑥) =Re(𝑧𝑒^𝑖𝑥) = |𝑧|cos(𝑥 − θ) =√

𝑎²+ 𝑏²cos(𝑥 − θ).

À retenir

4) Racines n^esd’un nombre complexe

Soit𝑎, 𝑧deux complexes et𝑛 ∈ ℕ,𝑧est uneracine n^ede𝑎lorsque𝑧^𝑛= 𝑎.

Définition 2.7

Cas particuliers des racines n^esde l’unité

Soit𝑛un entier supérieur ou égal à deux, l’équation𝑧^𝑛= 1possède exactement𝑛solutions qui sont les complexes𝑒^{2𝑖𝑘π/𝑛}avec0 ⩽ 𝑘 ⩽ 𝑛 − 1. On note𝕌_𝑛 l’ensemble de ces solutions (appelées racines n^esde l’unité), on a donc :

𝕌_𝑛={

𝑧 ∈ 𝕌 / 𝑧^𝑛= 1}

𝑒^{2𝑖𝑘π/𝑛}/ 0 ⩽ 𝑘 ⩽ 𝑛 − 1} Théorème 2.9

Preuve: Résolution trigonométrique : on pose𝑧 = 𝑟𝑒^𝑖θavec𝑟réel positif etθ ∈ [0 ; 2π[, alors𝑧^𝑛= 𝑟^𝑛𝑒^𝑖𝑛θ, donc 𝑧^𝑛= 1si et seulement si𝑟^𝑛= 1(égalité des modules) et𝑛θ = 0 + 2𝑘π(égalité des arguments avec𝑘entier), ce qui équivaut encore à𝑟 = 1(𝑟étant réel positif) etθ = ^2𝑘π_𝑛 . Le choix de l’intervalle[0 ; 2π[pour l’argumentθ entraîne que l’entier𝑘est dans l’intervalleJ0 ; 𝑛 − 1K, donc𝑧^𝑛 = 1 ⟺ ∃𝑘 ∈J0 ; 𝑛 − 1K, 𝑧 = 𝑒^{2𝑖𝑘π/𝑛}, cela fait exactement𝑛solutions distinctes (car tout complexe non nul possède un unique argument dans l’intervalle

[0 ; 2π[). □

★Exercice 2.4

1/Décrire𝕌2,𝕌3,𝕌4.

2/Montrer que(𝕌𝑛, ×)est un groupe commutatif (résultat important à connaître).

Représentation géométrique des racines𝑛^esde l’unité (avec𝑛 = 7) :

0 0

M₂

M₅

−1

M𝑘est le point d’affixe𝑒^{2𝑖𝑘π/𝑛} (𝑛 = 7).

Cas général : résolution de l’équation𝑧^𝑛= 𝑎(𝑎 ≠ 0)

Considérons la forme trigonométrique de𝑎:𝑎 = |𝑎|𝑒^𝑖θ⁰, il est facile de voir alors que le complexe 𝑧₀ =√^𝑛

|𝑎|𝑒^𝑖θ⁰^/𝑛est une solution particulière de l’équation𝑧₀^𝑛= 𝑎, par conséquent, comme𝑧₀≠ 0, on a : 𝑧^𝑛 = 𝑎 ⟺ 𝑧^𝑛 = 𝑧₀^𝑛 ⟺

(𝑧 𝑧0

)𝑛

= 1 ⟺ 𝑧

𝑧0

∈ 𝕌_𝑛

On est ainsi ramené aux racines𝑛^esde l’unité, on en déduit que𝑧 = 𝑧₀𝑒^{𝑖2𝑘π/𝑛}avec0 ⩽ 𝑘 ⩽ 𝑛 − 1, d’où : 𝑧^𝑛 = 𝑎 ⟺ 𝑧 =√^𝑛

|𝑎|𝑒^𝑖^θ0+2𝑘π^𝑛 avec 0 ⩽ 𝑘 ⩽ 𝑛 − 1 et θ₀ =Arg(𝑎) (mod2π)

Tout complexe non nul a donc exactement𝑛racines𝑛^esdistinctes.

MPSI3 (2020-21) Lycée Montaigne – 17 – ©Fradin Patrick –https://mpsi.tuxfamily.org

MONT

AIGNE

Exponentielle complexe Chapitre 2 : Nombres complexes

IV EXPONENTIELLE COMPLEXE 1) Définition

Soit𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦un nombre complexe, on appelleexponentiellede𝑧le complexe noté exp(𝑧)et défini par : exp(𝑧) = 𝑒^𝑥[cos(𝑦) + 𝑖sin(𝑦)], c’est à dire exp(𝑧) = 𝑒^𝑥𝑒^𝑖𝑦(forme trigonométrique).

Définition 2.8

Remarque 2.2 :

– Si𝑧est réel (ie𝑦 = 0), alors l’exponentielle de𝑧correspond à l’exponentielleréellede𝑧. De même, si𝑧 est imaginaire pur (𝑥 = 0), alorsexp(𝑧) =exp(𝑖𝑦) =cos(𝑦) + 𝑖sin(𝑦).

– exp(0) = 1.

– Re(exp(𝑧)) = 𝑒^Re(𝑧)cos(Im(𝑧))etIm(exp(𝑧)) = 𝑒^Re(𝑧)sin(Im(𝑧)).

– |exp(𝑧)| = 𝑒^Re(𝑧)etArg(exp(𝑧)) =Im(𝑧) (2π).

– exp(𝑧) =exp(𝑧).

La fonction exp∶ ℂ → ℂ^∗ est2𝑖π-périodique, vérifie :

∀𝑧, 𝑧^′∈ ℂ, exp(𝑧 + 𝑧^′) =exp(𝑧) ×exp(𝑧^′).

Et tout pour complexe non nul𝑎, il existe𝑧 ∈ ℂtel que𝑎 =exp(𝑧).

Théorème 2.10(propriété fondamentale)

Preuve: Il est clair d’après la définition que exp(𝑧)ne peut pas être nul, donc exp(𝑧) ∈ ℂ^∗. Posons𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, exp(𝑧 + 2𝑖π) = 𝑒^𝑥[cos(𝑦 + 2π) + 𝑖sin(𝑦 + 2π)] =exp(𝑧). Soit𝑎un complexe non nul, l’équation exp(𝑧) = 𝑎équivaut à|𝑎| = 𝑒^𝑥 et Arg(𝑎) = 𝑦 (mod2π) (résolution trigonométrique), donc les complexes𝑧 = ln(|𝑎|) + 𝑖(𝑦 + 2𝑘π) (où𝑘 parcourtℤ) sont les antécédents de𝑎, en particulier les solutions de l’équation exp(𝑧) = 1sont les complexes𝑧 = 2𝑖𝑘π, 𝑘 ∈ ℤ. Soit𝑧^′= 𝑥^′+ 𝑖𝑦^′un autre complexe, exp(𝑧 + 𝑧^′) = 𝑒^𝑥+𝑥^′[cos(𝑦 + 𝑦^′) + 𝑖sin(𝑦 + 𝑦^′)], et exp(𝑧)exp(𝑧^′) = 𝑒^𝑥+𝑥^′[cos(𝑦)cos(𝑦^′) −sin(𝑦)sin(𝑦^′)] = 𝑒^𝑥+𝑥^′[cos(𝑦 + 𝑦^′) + 𝑖sin(𝑦 + 𝑦^′)]. On peut déduire de cette propriété le calcul suivant :

exp(𝑧) =exp(𝑧^′) ⟺ exp(𝑧) exp(𝑧^′) = 1

⟺ exp(𝑧)exp(−𝑧^′) = 1

⟺ exp(𝑧 − 𝑧^′) = 1

⟺ ∃𝑘 ∈ ℤ, 𝑧 = 𝑧^′+ 2𝑖𝑘π.

□ Remarque 2.3 – La propriété fondamentale de l’exponentielle complexe :exp(𝑧 + 𝑧^′) =exp(𝑧)exp(𝑧^′), est la même que celle de l’exponentielle réelle. On convient alors de noterexp(𝑧) = 𝑒^𝑧. La propriété fondamentale devient :

𝑒^𝑧+𝑧^′= 𝑒^𝑧× 𝑒^𝑧^′ Il découle également de cette relation que : 𝑒^−𝑧= 1

𝑒^𝑧 .

★Exercice 2.5 Résoudre𝑒^𝑧= 1 + 𝑖.

2) Formules d’Euler et de Moivre

Formule de Moivre¹ :∀𝑛 ∈ ℤ, ∀𝑧 ∈ ℂ, 𝑒^𝑛𝑧 = [𝑒^𝑧]^𝑛. En particulier pour 𝑧 = 𝑖𝑥avec𝑥 réel, on a 𝑒^𝑖𝑛𝑥 = [cos(𝑥) + 𝑖sin(𝑥)]^𝑛. On en déduit que :

cos(𝑛𝑥) =Re([cos(𝑥) + 𝑖sin(𝑥)]^𝑛)et sin(𝑛𝑥) =Im([cos(𝑥) + 𝑖sin(𝑥)]^𝑛).

À l’aide du binôme deNewtonces formules permettent d’exprimer cos(𝑛𝑥)et sin(𝑛𝑥)sous forme d’un polynôme en cos(𝑥)et sin(𝑥).

ZExemples:

1. MOIVRE AbrahamDE (1667 – 1754) : mathématicien français, il s’expatria à Londres à l’age de dix-huit ans.

MPSI3 (2020-21) Lycée Montaigne – 18 – ©Fradin Patrick –https://mpsi.tuxfamily.org

MONT

AIGNE

Représentation géométrique des complexes, applications Chapitre 2 : Nombres complexes – cos(4𝑥) =Re([cos(𝑥) + 𝑖sin(𝑥)]⁴) =cos(𝑥)⁴− 6cos(𝑥)²sin(𝑥)²+sin(𝑥)⁴. En remplaçant sin(𝑥)²par

1 −cos(𝑥)², on pourrait obtenir cos(4𝑥)en fonction de cos(𝑥)uniquement.

– sin(4𝑥) =Im([cos(𝑥) + 𝑖sin(𝑥)]⁴) = 4cos(𝑥)³sin(𝑥) − 4cos(𝑥)sin(𝑥)³. Formules d’Euler²:∀𝑥 ∈ ℝ: cos(𝑥) = ^𝑒^𝑖𝑥^+𝑒₂^−𝑖𝑥 et sin(𝑥) = ^𝑒^𝑖𝑥^−𝑒_2𝑖^−𝑖𝑥.

Ces formules permettent lalinéarisationde cos(𝑥)^𝑝sin(𝑥)^𝑞. ZExemples:

– cos(𝑥)³= ^(𝑒^𝑖𝑥^+𝑒₈^−𝑖𝑥⁾³ = ^𝑒^𝑖3𝑥^+3𝑒^𝑖2𝑥^𝑒^−𝑖𝑥^+3𝑒₈ ^𝑖𝑥^𝑒^−𝑖2𝑥^+𝑒^−𝑖3𝑥 = cos(3𝑥)+3cos(𝑥)

4 .

– sin(𝑥)³ = ^(𝑒^𝑖𝑥^−𝑒_−8𝑖^−𝑖𝑥⁾³ = ^𝑒^𝑖3𝑥^−3𝑒^𝑖2𝑥^𝑒^−𝑖𝑥_−8𝑖^+3𝑒^𝑖𝑥^𝑒^−𝑖2𝑥^−𝑒^−𝑖3𝑥 = ³sin(𝑥)−sin(3𝑥)

4 .

V REPRÉSENTATION GÉOMÉTRIQUE DES COMPLEXES, APPLICATIONS

Le plan complexe est un plan𝒫muni d’un repère orthonormé direct que l’on noteℛ= (O, ⃗⃗𝑢 , ⃗⃗𝑣 ).

1) Affixe

Chaque pointMdu plan complexe est repéré par ses coordonnées : une abscisse𝑥et une ordonnée 𝑦, c’est à dire par le couple de réels(𝑥, 𝑦). Autant dire queMest repéré par lecomplexe𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦. Par définition, ce complexe estl’affixedu pointM.

M(𝑥, 𝑦)

⃗⃗

𝑢

⃗⃗

𝑣

𝑥 𝑦

Réciproquement, tout complexe𝑧est l’affixe d’un pointMdu plan que l’on appelleimagede𝑧.

Les axes(O, ⃗⃗𝑢 )et(O, ⃗⃗𝑣 )sont appelés respectivementaxes des réelsetaxe des imaginaires.

Par exemple, l’image de𝑧est le symétrique de l’image de𝑧par la réflexion d’axe(O, ⃗⃗𝑢 ).

De la même façon, chaque vecteur du plan a des coordonnées dans la base(⃗⃗𝑢 , ⃗⃗𝑣 ). Si⃗⃗⃗𝑤 a pour coordonnées(𝑥, 𝑦), cela signifie que⃗⃗⃗𝑤 = 𝑥⃗⃗𝑢 + 𝑦⃗⃗𝑣, là encore le vecteur⃗⃗⃗𝑤 peut être représenté par le complexe𝑥 + 𝑖𝑦, ce complexe est appeléaffixedu vecteur⃗⃗⃗𝑤. Réciproquement, tout complexe𝑧 est l’affixe d’un vecteur du plan. On remarquera que l’affixe d’un pointMn’est autre que l’affixe du vecteurOM⃗⃗⃗⃗⃗⃗.

∗) L’affixe de la somme de deux vecteurs est la somme des affixes. Siα ∈ ℝet si⃗⃗⃗𝑤 est le vecteur d’affixe𝑧, alors l’affixe du vecteurα⃗⃗⃗𝑤 estα𝑧.

∗) SoitMd’affixe𝑧etM^′d’affixe𝑧^′, l’affixe du vecteurMM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗^′ est𝑧^′− 𝑧.

2) Distances

Le module d’un complexe𝑧représente dans le plan complexe la distance de l’origineOau point Md’affixe𝑧, c’est à dire|𝑧| = OM = ‖⃗⃗⃗⃗⃗⃗OM ‖.

Si⃗⃗⃗𝑤 est un vecteur d’affixe𝑧, alors la norme de⃗⃗⃗𝑤 est‖⃗⃗⃗𝑤 ‖ = |𝑧|.

SoitMd’affixe𝑧etM^′d’affixe𝑧^′, la distance deMàM^′estMM^′ = ‖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗MM^′‖ = |𝑧^′− 𝑧|.

Soit𝑎 ∈ ℂetR > 0, on définit dans le plan complexe :

– le disque fermé de centre𝑎et de rayonR:{M ∈𝒫/ |𝑧 − 𝑎| ⩽ R}.

– le disque ouvert de centre𝑎et de rayonR:{M ∈𝒫/ |𝑧 − 𝑎| < R}.

– le cercle de centre𝑎et de rayonR:{M ∈𝒫/ |𝑧 − 𝑎| = R}.

Définition 2.9

ZExemples:

2. EULER Léonhard(1707 – 1783) : grand mathématicien suisse.

MONT

AIGNE

Représentation géométrique des complexes, applications Chapitre 2 : Nombres complexes – La représentation géométrique du groupe unité𝕌 = {𝑧 ∈ ℂ / |𝑧| = 1}est le cercle de centreOet

de rayon1: le cercletrigonométrique.

– Les points d’affixe les racines n^es de l’unité (𝑛 ⩾ 2) sont les sommets d’un polygone régulier inscrit dans le cercle unité. La longueur du coté est2sin(^π_𝑛), et la longueur du centre au milieu d’un coté (l’apothème) est cos(^π_𝑛).

3) Angles orientés

Soit 𝑧un complexe non nul etMle point du plan d’affixe𝑧, l’argument principal de𝑧est une mesure de l’angle orienté(⃗⃗𝑢 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗OM ), ce que l’on écrit(⃗⃗𝑢 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗OM ) =Arg(𝑧) (2π).

M(𝑥, 𝑦)

⃗⃗

𝑢

⃗⃗

𝑣

𝑥 𝑦

θ 𝑥 + 𝑖𝑦 = 𝑟𝑒^𝑖θavec 𝑟 =√

𝑥²+ 𝑦²= OM

r=OM

Soient⃗⃗⃗𝑤 et⃗⃗⃗⃗𝑤^′ deux vecteurs non nuls d’affixes respectifs𝑧et𝑧^′. Désignons parMetM^′les points d’affixes respectifs𝑧et𝑧^′, l’angle orienté entre les deux vecteurs⃗⃗⃗𝑤 et⃗⃗⃗⃗𝑤^′ est :

(⃗⃗⃗𝑤 , ⃗⃗⃗⃗𝑤^′) = (⃗⃗⃗⃗⃗⃗OM , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗OM^′)

= (⃗⃗⃗⃗⃗⃗OM , ⃗⃗𝑢 ) + (⃗⃗𝑢 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗OM^′)

= −(⃗⃗𝑢 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗OM ) + (⃗⃗𝑢 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗OM^′)

= −Arg(𝑧) +Arg(𝑧^′) (2π)

=Arg(𝑧^′ 𝑧) (2π)

Conséquence: SoientA, BetCtrois points distincts d’affixes respectifs𝑎,𝑏et𝑐. L’affixe du vecteur

⃗⃗⃗⃗⃗

AB est𝑏 − 𝑎et celui du vecteurAC⃗⃗⃗⃗⃗est𝑐 − 𝑎, par conséquent l’angle(⃗⃗⃗⃗⃗AB , ⃗⃗⃗⃗⃗AC )est donné par : (⃗⃗⃗⃗⃗AB , ⃗⃗⃗⃗⃗AC ) =Arg(𝑐 − 𝑎

𝑏 − 𝑎) (2π).

Et on a le rapport des distances ^AC_AB =|

|^𝑐−𝑎_𝑏−𝑎

Les trois pointsA,BetCsont alignés si et seulement si(⃗⃗⃗⃗⃗AB , ⃗⃗⃗⃗⃗AC ) = 0 (modπ)ce qui équivaut donc à ^𝑐−𝑎_𝑏−𝑎 ∈ ℝ.

Les vecteursAB⃗⃗⃗⃗⃗etAC⃗⃗⃗⃗⃗sont orthogonaux si et seulement si(⃗⃗⃗⃗⃗AB , ⃗⃗⃗⃗⃗AC ) = ^π₂ (mod π)ce qui équivaut donc à ^𝑐−𝑎_𝑏−𝑎 ∈ 𝑖ℝ.

4) Similitudes directes

Soient𝑎, 𝑏 ∈ ℂavec𝑎 ≠ 0, on noteS_𝑎,𝑏∶𝒫→𝒫l’application qui au point d’affixe𝑧faire correspondre le point d’affixe𝑧^′= 𝑎𝑧 + 𝑏, c’est la similitude directe de paramètres𝑎et𝑏. On vérifie en appliquant la définition, les propriétés suivantes :

– S_𝑎,𝑏est une bijection et sa réciproque est aussi une similitude directe, plus précisémentS⁻¹_𝑎,𝑏 = S¹

𝑎,^−𝑏_𝑎.

– La composée de deux similitudes directes est une similitude directe, plus précisément,S_𝑐,𝑑∘ S_𝑎,𝑏 = S_{𝑎𝑐,𝑐𝑏+𝑑}avec𝑐 ≠ 0.

– SoientA(𝑧_A),B(𝑧_B),C(𝑧_C)etD(𝑧_D)quatre points avecA ≠ BetC ≠ D, alors il existe une unique similitude directeS_𝑎,𝑏 qui transformeAenCetBenD, celle-ci se détermine en résolvant le système

{𝑎𝑧_A+ 𝑏 = 𝑧_C

𝑎𝑧_B+ 𝑏 = 𝑧_D pour déterminer𝑎et𝑏.

– Lorsque𝑎 = 1, la similitudeS_1,𝑏est la translation de vecteur𝑢⃗⃗d’affixe𝑏.

MONT

AIGNE

Formulaire de trigonométrie Chapitre 2 : Nombres complexes

Étude lorsque𝑎 ≠ 1

– Il existe un unique point fixeΩ(𝑧₀)avec𝑧₀ = _1−𝑎^𝑏 , on a alors pour tout𝑧:𝑎𝑧 + 𝑏 = 𝑎(𝑧 − 𝑧₀) + 𝑧₀. Ce point est appelécentrede la similitude.

– SoitM(𝑧)un point différent du centreΩ, et soitM^′(𝑧^′)son image parS_𝑎,𝑏, alors : ^𝑧_𝑧−𝑧^′^−𝑧⁰

0 = 𝑎, on en déduit que :||

|^𝑧

′−𝑧₀ 𝑧−𝑧₀

| = |𝑎|, c’est à direΩM^′= |𝑎|ΩM, et(⃗⃗⃗⃗⃗⃗ΩM , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ΩM^′) =Arg(𝑎) (mod2π), ce qui permet une construction géométrique deM^′partant deM:

M^′

θ =Arg(𝑎) (mod2π) ΩM^′= |𝑎|ΩM

– Cas particulier où Arg(𝑎) = 0 (mod2π): on a alors 𝑧^′ = |𝑎|(𝑧 − 𝑧₀) + 𝑧₀ d’oùΩM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗^′ = |𝑎|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ΩM, on dit que la similitude estl’homothétie de centreΩet de rapport|𝑎|, on la noteℎ_(Ω,|𝑎|).

– Cas particulier où Arg(𝑎) = π (mod 2π): on a alors 𝑧^′ = −|𝑎|(𝑧 − 𝑧₀) + 𝑧₀ d’oùΩM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗^′ = |𝑎|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ΩM, on dit que la similitude estl’homothétie de centreΩet de rapport−|𝑎|, on la noteℎ_{(Ω,−|𝑎|)}. – Cas particulier où |𝑎| = 1: on a alors 𝑧^′= 𝑒^𝑖θ(𝑧 − 𝑧₀) + 𝑧₀ d’oùΩM^′ = ΩMet(⃗⃗⃗⃗⃗⃗ΩM , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ΩM^′) =

Arg(𝑎) (mod2π), on dit que la similitude est larotation de centreΩet d’angleArg(𝑎), on la note𝑟_{(Ω,Arg(𝑎))}.

– Dans le cas général, on vérifie par le calcul queS_𝑎,𝑏et la composée commutative : S_𝑎,𝑏= ℎ_(Ω,|𝑎|)∘ 𝑟_{(Ω,Arg(𝑎))} = 𝑟_{(Ω,Arg(𝑎))}∘ ℎ_(Ω,|𝑎|)

On dit que S𝑎,𝑏est la similitude de centreΩ, de rapport|𝑎|et d’angle Arg(𝑎) . On remarquera que la bijection réciproque est la similitude de centre Ω, de rapport _|𝑎|¹ et d’angle −Arg(𝑎) (mod2π).

VI FORMULAIRE DE TRIGONOMÉTRIE

Les valeurs angulaires écrites autour du cercle peuvent être modifiées en leur ajoutant un multiple de2π.

MONT

AIGNE

Formulaire de trigonométrie Chapitre 2 : Nombres complexes

−π 0

– Formules découlant du cercle trigonométrique, pour tous réels𝑥et𝑦:

• cos(𝑥 + 2π) =cos(𝑥), sin(𝑥 + 2π) =sin(𝑥)(2πest une période).

• sin(2𝑥) = 2sin(𝑥)cos(𝑥)(formule de duplication).

À retenir

– Formules qui en découlent :

• cos(𝑥 +^π₂) = −sin(𝑥)(dérivée), sin(𝑥 + ^π₂) =cos(𝑥)(dérivée).

MONT

AIGNE

Chapitre 3

Calculs algébriques

Sommaire

I Sommes et produits. . . 22 1) Définition . . . 22 2) Changement d’indice . . . 23 3) Propriétés . . . 24 4) Sommes doubles. . . 24 II Binôme de Newton . . . 26 1) Factorielle . . . 26 2) Coefficients binomiaux . . . 26 3) Formule du binôme . . . 27 4) Une autre identité remarquable . . . 27 III Systèmes linéaires . . . 27 1) Définition . . . 27 2) Interprétation géométrique . . . 28 3) Méthode du pivot de Gauss . . . 28

I SOMMES ET PRODUITS

On se place dansℂ. Les sommes et les produits dont on va parler ne contiennent qu’un nombre fini de termes.

1) Définition

Soit A une partie finie de ℂ, la somme des éléments deA est notée ∑

𝑎∈A

𝑎et le produit des éléments deAest noté ∏

𝑎∈A

𝑎. Par convention, lorsqueAest vide, la somme est nulle et le produit vaut1.

Définition 3.1(somme et produit sur une partie finie)

Remarque 3.1 – Ces opérations étant commutatives dansℂ, l’ordre n’a pas d’importance. Comme elles sont également associatives, il est inutile de préciser un parenthésage pour la somme ou le produit.

ZExemple: La somme et le produit des racines𝑛^esde l’unité se notent ∑

ω∈𝕌_𝑛

ωet ∏

ω∈𝕌_𝑛

ω.

Soit(𝑎_𝑘)_𝑘∈Iune famille de complexes indexée par un ensemble finiI. La somme des éléments de la famille est notée ∑

𝑘∈I

𝑎_𝑘 et le produit des éléments de la famille est noté∏

𝑘∈I

𝑎_𝑘. Par convention, lorsqueIest vide, la somme est nulle et le produit vaut1.

Définition 3.2(somme et produit d’une famille finie)

ZExemple: La famille des racines𝑛^esde l’unité est(𝑒^{2𝑖𝑘π/𝑛})_𝑘∈

J0;𝑛−1K, on peut donc écrire la somme et le produit ainsi : ∑

𝑘∈J0;𝑛−1K

𝑒^{2𝑖𝑘π/𝑛}et ∏

𝑘∈J0;𝑛−1K

𝑒^{2𝑖𝑘π/𝑛}.

MONT

AIGNE

Sommes et produits Chapitre 3 : Calculs algébriques

Soit(𝑎_𝑘)_𝑘∈Iune famille de complexes indexée par un intervalle d’entiersI =J𝑛 ; 𝑚K. La somme des éléments de la famille est notée ∑^𝑚

𝑘=𝑛

𝑎_𝑘 et le produit des éléments de la famille est noté

∏𝑚 𝑘=𝑛

𝑎_𝑘. Par convention, lorsque𝑛 > 𝑚, la somme est nulle et le produit vaut1(car dans ce cas l’intervalleJ𝑛 ; 𝑚Kest vide).

Définition 3.3(lorsqueIest un intervalle d’entiers)

ZExemple: La famille des racines𝑛^esde l’unité est(𝑒^{2𝑖𝑘π/𝑛})_𝑘∈

𝑎𝑘, il est implicite quel’indice𝑘augmente de1lorsqu’on passe d’un terme au suivant (idem pour le produit). Par exemple, la somme des entiers impairs de1à15ne s’écrit pas

15∑

– Le terme𝑎_𝑘est appelé terme général de la somme (ou produit), la valeur𝑛est appelée valeur initiale de l’indice et𝑚la valeur finale.

– Dans les formules donnant la somme ou le produit, l’indice est une variable ditemuette, on peut lui donner le nom que l’on veut,le résultat ne dépend pas de l’indice.

Cas particuliers

J𝑛;𝑚+1Kune famille de complexes, alors :

∑𝑚

– Sommes géométriques: somme de termes consécutifs d’une suite𝑢géométrique de raison𝑞 ∈ ℂ (i.e.∀𝑘 ∈ ℕ,𝑢_𝑘+1 = 𝑢_𝑘× 𝑞) :

– Sommes arithmétiques: somme de termes consécutifs d’une suite𝑢arithmétique de raison 𝑟 ∈ ℂ(i.e.∀𝑘 ∈ ℕ,𝑢_𝑘+1 = 𝑢_𝑘+ 𝑟) :

2 où𝑝désigne le premier terme de la somme,𝑑le dernier et𝑛lenombre de termes.

★Exercice 3.1 Démontrer les deux formules ci-dessus.

2) Changement d’indice Cas particuliers

Lorsque l’ensemble des indices est un intervalle d’entiers, les changements qui reviennent le plus souvent dans les sommes ∑^𝑚

𝑘=𝑛

𝑎_𝑘(ou produits) sont les suivants (avec𝑛 ⩽ 𝑚) :

MONT

AIGNE

Sommes et produits Chapitre 3 : Calculs algébriques

– translation de l’indice: soit à calculer ∑^𝑚

𝑘=𝑛 – symétrie de l’indice: soit à calculer

∑𝑚

Le nouvel indice doit également varier de1en1. Considérons par exempleS =

Dans le document MONTAIGNE. Cours de Mathématiques MPSI P 1 P 2. Fradin Patrick Lycée Montaigne (Page 10-0)