DIFFUSION DE LA LUMIÈRE PAR UN GAZ POLYATOMIQUE

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DIFFUSION DE LA LUMIÈRE PAR UN GAZ POLYATOMIQUE

A. Cazabat-Longequeue, P. Lallemand

To cite this version:

A. Cazabat-Longequeue, P. Lallemand. DIFFUSION DE LA LUMIÈRE PAR UN GAZ POLYATOMIQUE. Journal de Physique Colloques, 1972, 33 (C1), pp.C1-57-C1-62.

�10.1051/jphyscol:1972111�. �jpa-00214901�

JOURNAL DE PHYSIQUE

Colloque Cl, supplément au ^no 2-3, Tome 33, Février-Mars 1972, page Cl-57

DIFFUSION DE LA LUMIÈRE PAR U N GAZ POLYATOMIQUE

A. M. CAZABAT-LONGEQUEUE et P. LALLEMAND Laboratoire de Spectroscopie Hertzienne de 1'Ecole Normale Supérieure

Université de Paris VI, 24, rue Lhomond, Paris 5e

Résumé. - On considère d'abord la diffusion de la lumière par un gaz monoatomique (Argon).

On montre que l'on améliore légèrement l'accord entre théorie et expérience lorsque I'on pousse le développement de Chapman-Enskog au troisième ordre. On passe ensuite au cas du gaz polya- tomique que l'on décrit en prenant la somme des effets dus

la relaxation rotationnelle (viscosité de volume dépendant de la fréquence) et des effets dus

la relaxation translationnelle (équation de Burnett). La comparaison entre théorie et expérience est très bonne dans le domaine de pression étudié. Elle conduit

une détermination des valeurs du nombre de collisions

On trouve

20 OC, Z

dans CH4,

3,8 dans Nz et

4 dans

Abstract.

- We first consider light scattering by a nlonoatomic gaz (Argon). We show that we get slightly better agreement between theory and experiment when we use the third order appro- ximation of Chapman-Enskog development. We then study polyatomic gases. We describe them taking the sum of the effects due to rotational relaxation (frequency dependent bulk viscosity) and of the effects due to translational relaxation (Burnett's equations). The comparaison between theory and experiment is very good in the pressure range that was studied. This Ieads to a deter- mination of the values of the collision number Z. We find at 20 OC, Z

8.5 in CH4, Z

3.8 in N2 and

4 in

On sait que l'on peut obtenir des renseignements sur les échanges d'énergie entre degrés de liberté internes et degrés de liberté de translation de molé- cules polyatomiques en mesurant la dispersion de la vitesse du son dans un fluide. Ce genre de mesures constitue l'un des sujets principaux de l'acoustique.

On peut également le réaliser en utilisant l'effet Bril- louin pour mesurer la vitesse du son dans les fluides.

Dans un gaz de faible densité, et dans l'approximation de l'état parfait, cette vitesse ne dépend que du rap- port co/P, où co

2

est la pulsation de l'onde acoustique de fréquence v considérée et P la pression.

L'apport de la méthode optique semble alors limité, mais comme nous le verrons l'étude du gaz par les méthodes acoustiques n'est pas équivalente à celle que permet la diffusion de la lumière. En effet, lorsque l'on s'intéresse aux échanges d'énergie de rotation, le régime où la dispersion se produit est aussi celui où la description hydrodynamique du milieu pose des problèmes, le libre parcours moyen 1 des molé- cules n'étant pas très petit devant la longueur d'onde acoustique. Il n'est pas alors indifférent de travailler à vecteur d'onde donné, ou à fréquence donnée.

Nous allons d'abord rappeler quelques expériences réalisées dans l'Argon, que nous comparerons à des modèles théoriques déduits du développement de Chapman-Enskog. Nous présenterons ensuite une méthode de description du gaz polyatomique, tente- rons de la justifier, puis confronterons ses résutats aux spectres expérimentaux.

1. Cas de l'Argon.

Rappelons brièvement que la diffusion dans la direction 8 d'un faisceau laser de vecteur d'onde k permet d'étudier les fluctuations de densité de vecteur q donné par la relation de Bragg

q

2 nk sin- 8 2

n indice de réfraction du milieu.

Le spectre de la lumière diffusée traduit exactement celui des fluctuations

de la densité. On aura donc à calculer

Utjlisant le théorème de la réponse linéaire, on peut écrire

où xi est une variable thermodynamique représentant le gaz, et f;,(q,

une fonction de q et de

calculable

partir des équations macroscopiques classiques décrivant l'évolution du gaz. Le seul terme intervenant ici est xi =

car les autres variables ne sont pas corrélées avec

à un instant donné. Il existe plu- sieurs types d'équations macroscopiques mais nous nous limiterons au développement de Chapman- Enskog : soient

t ) , u(x,

T(x, t ) les écarts sup- posés faibles de la densité, de la vitesse et de la tempé- rature du gaz par rapport à leur valeur d'équilibre

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1972111

Cl-58

A. M. CAZABAT-LONGEQUEUE ET P. LALLEMAND p,, O, To (problème à une dimension). On peut écrire

après linéarisation [3]

Vo représente la vitesse basse fréquence du son, le coefficient de dilatation thermique, Cu la chaleur spécifique à volume constant, et y le rapport des cha- leurs spécifiques. Px, et Q , représentent les composantes du tenseur des contraintes et du flux de chaleur dans la direction x.

Nous ne nous étendrons pas sur le problème des valeurs initiales et la déduction de f (q,

Notons seulement que, pour un développement à ordre élevé, les calculs que nous faisons correspondent à une classe restreinte de conditions initiales. La méthode de Chapman-Enskog conduit pour Px, et Q, aux expres- sions successives suivantes, dont nous avons retenu les termes linéaires [4].

Ordre O

Ordre 1

Ordre 2

Ordre 3

où y est la viscosité, R la conductibilité thermique et oz, a , , Oz, 84, o,, os, O,, 8, des nombres sans dimensions. Pour des molécules de Maxwell, on a

=

2, = 3, O2

4518, O4

3,

- ^413,

o8

513, 8, = - 518, 8, = 21/16.

On a représenté sur la figure 1 la partie imaginaire de la racine de l'équation de dispersion associée aux modes qui se propagent, ainsi que les valeurs expé- rimentales [7] de cette quantité. 11 apparaît que le deuxième ordre est indispensable pour décrire le gaz entre 4 et 10 atmosphères 171 (0,13 < ql < 0,31).

D'autre part, il y a avantage à pousser au 3e ordre entre 2 et 4 atmosphères (0,31 < ql < 0,62).

l

FE. 1.

Variation avec la pression de la partie imaginaire de la racine de i'équation de dispersion correspondant aux modes qui se propagent dans l'argon pour diverses approximations du tenseur des contraintes et du flux de cllaleur.

ordre

1 ordre 1 (Navier-Stokes)

ordre 2 (Burnett)

3 ordre 3.

détermina-

nations expérimentales.

Les figures 2 et 3 représentent les résultats expéri- mentaux (croix) obtenus à 2 et 3 atmosphères respec- tivement ( T = 23 OC,8 = 1700,Â.

6 328 A) ainsi que les courbes théoriques calculées au 2e ordre (équations de Burnett) ou au troisième. On constate une amé- lioration très sensible de l'accord entre courbes théori- ques et expérimentales par introduction du 3e ordre.

Récemment Cha et Mac Coy [8] ont obtenu un développement des termes Px, et

en appliquant à l'équation de Krook la méthode de Chapman-Ens- kog, un paramètre étant ajusttS pour donner au fac- teur d'Eucken la valeur 5/2, ils obtiennent les mêmes

FIG. 2. - Comparaison du spectre de la lumière diffusée par l'argon

partir des équations de Burnett

-

et des équations du troisième

ordre

DIFFUSION DE LA LUMIÈRE PAR

GAZ POLYATOMIQUE

ARGON

2

D

O

FIG. 3. - Comparaison du spectre de la lumière diffusée par i'argon à 2 atmosphères et des spectres calculés à partir des équations de Burnett (

- -

ordre (-).

coefficients que ci-dessus jusqu'au 2e ordre, mais distincts au troisième. A savoir :

- 4, o8

413, 8, = - 518 et 8,

- 111/16.

Ceci conduit à des valeurs très différentes pour les racines de l'équation de dispersion incompatibles avec nos données expérimentales. A 3 atmosphères par exemple le déplacement Brillouin prend les valeurs

1 023 MHz au 2e ordre

1 016 MHz au 3e ordre (0, = - 413 ...) 1 045 MHz avec o,

- 4.'.

Nos résultats expérimentaux mettent donc en doute la valeur des coefficients déterminés par Cha et Mac Coy.

A partir de ces résultats qui complètent ceux que nous avions déjà obtenus [7], nous pouvons dire que nous disposons d'une bonne description de l'hydro- dynamique d'un gaz monoatomique pour des valeurs de ql inférieures à 0,4 environ. On peut critiquer l'utili- sation des équations du type Burnett, mais dans la région considérée ql < 0,4, on peut montrer [3] que ce type d'équations est équivalent à celles que l'on obtient en linéarisant l'équation de Boltzmann. Nous passons maintenant au cas des gaz polyatomiques où la des- cription théorique est beaucoup moins avancée.

II. Etude des gaz polyatomiques.

Nous avons étudié dans les mêmes conditions expérimentales (22 OC, 8

1700) la lumière diffusée par divers gaz polyatomiques. En première approximation le dépla- cement Brillouin est donc o,

2 kV, V étant la vitesse du son à la fréquence oB/2 n. Les expériences ont été réalisées entre 5 et 8 atmosphères. II est utile

de préciser le domaine exploré en indiquant quelques ordres de grandeur, et notamment la valeur de

où

est le temps moyen entre collisions.

a) MÉTHANE. - A 220C,

est de l'ordre de IO-" s [9] à 1 atmosphère et la vitesse du son de l'ordre de 450 m/s. Ce qui correspond aux valeurs

v,

1 400 MHz , o, z,

0,88 à 1 atm soit

0,11 < o , z c < 0 , 1 7 pour 8 a t m G p 6 5 a t m Nous pourrons donc utiliser une description de la translation du gaz analogue à celle que nous avons utilisée dans l'argon. Le méthane possède 3 degrés de liberté de rotation et 9 degrés de liberté de vibra- tion. Aux fréquences considérées

1 400 MHz) la vibration est bloquée et ne contribue pas à la cha- leur spécifique. En revanche, nous nous trouvons dans le domaine de relaxation de la rotation. Soit zR le temps de relaxation de l'énergie de rotation et Z le rapport z,/z,. Le mode de description de la relaxation dépend de la quantité o, zR soit Zo, 2,. De nom- breuses méthodes permettent la détermination expé- rimentale de Z [IO] et conduisent à la valeur Z = 9 soit

1 < ^{o B z R} < 1,4.

b) AZOTE. - Les valeurs numériques sont alors les suivantes

z c = 1 , 4 x 1 0 - l o s 20OC l a t m V = 350 m/s

= 1 100 MHz

0,12 < o B z c < 0,19 si 5 atm < p < 8 atm.

la description précédente de la translation sera valable.

Les déterminations de Z [IO] conduisent à Z = 4 soit

les conclusions seront identiques dans le cas de l'oxy- gène (2,

1,6 x s, V

330 m/s, Z

4).

Nous allons maintenant proposer des équations permettant de décrire l'évolution du gaz au cours du temps. Nous supposerons que l'on peut utiliser les équations de Burnett pour décrire la translation des molécules, et que l'on peut rendre compte de la rela- xation rotationnelle en ajoutant un terme de viscosité de volume dépendant de la fréquence au tenseur des contraintes soit :

Pour tenir compte du fait que le facteur d'Eucken du

gaz polyatomique n'est pas égal à 512, nous écrivons

les termes PX:) et QX) sous la forme [ I I ]

Cl-60 A. M. CAZABAT-LONGEQUEUE ET P. LALLEMAND

où

e3 sont des nombres égaux à l'unité pour des

molécules de Maxwell. Dans l'hypothèse d'un seul temps de relaxation, la viscosité de colume y' a pour expression [12]

Cl chaleur spécifique interne de rotation. On peut montrer que

et zR sont liés par :

Dans la suite des calculs nous avons posé

(molécules de Maxwell). Nous ne reprenons pas ici le calcui du spectre S(k, a ) de la lumière diffusée par le gaz [7]. On le compare aux spectres expérimen- taux après convolution par la fonction d'appareil expérimentale.

Nous allons

présent tenter de justifier l'utilisation de ces équations et comparer leur domaine de validité à celui des équations obtenues par d'autres méthodes.

Dahler et Coll. [13] ont généralisé le développement de Chapman-Enskog à divers modèles de gaz polya- tomiques. Les termes PL:), ^{Q$" et} QX' ne diffèrent des précédents que par des valeurs différentes des ei.

En revanche, il apparaît dans PX:' une contribution additive de viscosité de volume traduisant la contri- bution des degrés de liberté internes du gaz.

Ces calculs ont été faits en limite basse fréquence pour la rotation (ou plus généralement pour le degré interne considéré) et conduisent à des équations dans lesquelles les coefficients de transport ne dépendent pas de la fréquence. Nous disposons donc d'équations décrivant correctement le comportement du gaz en limite basse fréquence. Nous admettons que, dans le domaine de fréquences qui nous intéresse, il est cor- rect d'introduire dans y' une dépendance temporelle.

Pour essayer de justifier cette hypothèse, nous avons repris l'analyse du terme y' présentée par Chapman et Cowling [4] sans introduire dans le raisonnement le passage à la limite basse fréquence.

Le gaz est supposé parfait. Soit Tl la température instantanée de translation, T , la température interne instantanée et To la valeur constante de la température d'équilibre. El et E, sont les énergies associées à T l et T,. Avec les notations de [4] nous pouvons écrire, après linéarisation, la variation des valeurs moyennes El et E, au cours d'une collision

Appelons Tla température définie par NT

L'expression des premiers membres N - 3

n BE1

- n AE,

-- 2.

kn(T, - T,) ;

fait apparaître un temps de irelaxation z, l'équation de relaxation étant obtenue par combinaison linéaire des précédentes. Négligeons q, et q, ; il vient, en uti- lisant la relation p

nkTl (gaz, parfait)

Tl est proche de la valeur constante To ; Tl - T est faible. En première approximation, on obtient, après transformation de Fourier :

Ceci correspond à un terme correctif dans la pression.

Il n'intervient pas à l'ordre O (équation d'Euler) car à cet ordre Tl

T mais à l'ordre suivant où l'on peut écrire

Nous retrouvons donc le terme supplémentaire déjà noté mais cette fois avec la dépendance correcte en fréquence. 11 est inutile de faire intervenir ce terme dans l'équation de la chaleur car il disparaît dans la linéarisation. En revanche, il intervient dans l'équation du moment où il modifie l'express40n de PX.. On vérifie aisément qu'il est identique au terme y' de Mountain.

Cette démonstration justifie l'introduction de yt(o) lorsque les flux de chaleur

et q, sont négligés.

Lorsqu'ils interviennent, le terme de relaxation devient approché et une méthode à 2 températures paraît plus puissante [14], [15]. Notamment, le couplage entre flux de chaleur et relaxation n'est pas pris en considération, la relaxation de translation (qui se traduit par les termes successifs d'ordre croissant en ql dans le développement de Chapman-Enskog) étant traitée indépendamment de la relaxation de rotation, puis leurs effets ajoutés dans Px,. De nombreuses études montrent que cette approximation n'est pas toujours correcte [16], [17], notamment dans l'hydro- gène et le deutérium [18].

Dans ces conditions, c'est l'accord entre spectres calculés et spectres expérimentaux qui permet de 3 n k â T 1 a ô conclure de façon déterminante.

nAE - - - f d r . q l - p - . u

' - 2 r n d t dr Nous avons donc comparé nos spectres expérimen-

n(N - 3) k ûT, a taux avec les spectres théoriques calculés à partir n AE,

- + S . % des équations que nous avoas indiquées plus haut.

2 m d t Pour effectuer cette comparaiso~l, nous prenons

N étant le nombre total de degrés de liberté. d'abord un produit de convollution du spectre théori-

DIFFUSION DE LA LUMIÈRE PAR U N GAZ POLYATOMIQUE Cl-61

que avec la fonction d'appareil (finesse effective

comprise entre 25 et 30). Nous n'utilisons pas le centre du spectre car il y a une faible quantité de lumière parasite. La comparaison se fait de deux façons différentes

soit en étudiant [19] le rapport de i'inten-

EIG. 4.

Comparaison des spectres expérimentaux et théoriques pour le

et 8,4 atmosphères, pour

8,2.

sité au pic Brillouin à celle du minimum entre pic Rayleigh et pic Brillouin, soit en cherchant la valeur minimum de l'écart quadratique moyen entre les points expérimentaux et les valeurs théoriques.

On a comparé de ces deux façons les spectres expé- rimentaux aux spectres théoriques pour diverses valeurs de Z et en faisant légèrement varier de 601, la valeur de la partie imaginaire de la racine de I'équa- tion de dispersion correspondant aux modes qui se propagent.

On présente sur les figures 4 et 5 les spectres théori- ques et les points expérimentaux pour le méthane à 8,4 atmosphères et pour Z

8,2 et pour l'azote à 7 atmosphères et pour Z = 3'5. On voit que l'accord est très bon.

On peut résumer de la façon suivante, l'ensemble des résultats obtenus :

Quand on prend 60,

O, on arrive à un très bon accord entre spectres théoriques et expérimentaux pour le choix suivant des valeurs de Z.

Méthane.. ... 8 < 2 < 9 Azote.. ... 3'5 < Z < 4,2 Oxygène.. ...

4 Ces valeurs sont très comparables aux valeurs obte- nues par d'autres méthodes [IO].

Si l'on essaie de faire la comparaison expérience- théorie, mais en prenant seulement les équations de Navier-Stokes, on n'arrive pas à obtenir un accord satisfaisant même en prenant des valeurs de Z qui ne semblent pas raisonnables.

On peut donc conclure cette étude en disant que pour des valeurs de ql < 0,2 environ, on arrive à très bien décrire le spectre de la lumière diffusée par un gaz polyatomique en ajoutant les effets de la relaxation rotationnelle à ceux de la relaxation translationnelle, c'est-à-dire en négligeant les effets de couplage entre les deux types de relaxation.

Cette étude doit être poursuivie dans deux direc- tions

- amélioration de la résolution instrumentale pour avoir une comparaison plus sûre entre théorie

l r

et expérience ;

O 1 G H Z

- étude de pressions plus faibles correspondant

FIG.

5. - Comparaison des spectres expérimentaux et théoriques ^à des valeurs de ql plus grandes, pour voir dans quelles pour I'azote

et

atmosphères, pour

3,s. conditions notre modèle ne s'applique plus.

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