Cours de Mathématiques MP

Cours de Mathématiques MP

d'après le programme 2014

Michel Quercia

I — Groupes

1) Définitions

Loi de composition interne. Associativité. Élément neutre ; il est unique. Inverse, unicité.

Commutativité, groupe abélien, groupe additif. Soustraction dans un groupe additif.

Exemples : (R; +), (R⁺; ), groupe symétrique, produit de deux groupes.

Régularité d'un élément.

2) Puissances et multiples

Notation aⁿdans un groupe multiplicatif.

a^n+p= aⁿ a^p, a^np= (aⁿ)^p= (a^p)ⁿ, (ab) ¹= b ¹ a ¹, (ab)ⁿ= aⁿ bⁿsi ab = ba.

Notation na dans un groupe additif.

(n p)a = na pa, n(a b) = na nb, (np)a = n(pa) = p(na).

3) Sous-groupes

Partie stable par la loi de composition, l'inversion, et contenant l'élément neutre du groupe.

Sous-groupe engendré

L'intersection d'une famille de sous-groupes est un sous-groupe. L'intersection de tous les sous-groupes contenant une partie X est le plus petit sous-groupe contenant X, noté hXi. C'est l'ensemble des mots nis construits sur X [ X ¹.

Exemples : hai = a^Z ou Za. Le sous-groupe de SE engendré par les transpositions est l'ensemble des permutations ayant un nombre ni de points non xes ; c'est S_E si et seulement si E est ni.

Si H; K sont des sous-groupes d'un groupe additif alors hH [ Ki = H + K.

En particulier dans un groupe additif, ha; bi = fua + vb; u; v 2 Zg.

Théorème : les sous-groupes de (Z; +) sont les ensembles nZ, n 2 N.

Conséquence : pgcd et ppcm dans Z, relation hmdi = habi.

Théorème de Lagrange : soient G un groupe ni et H un sous-groupe. Alors card H divise card G.

4) Morphismes

Application transportant l'opération du groupe de départ sur celle du groupe d'arrivée.

Exemples : n 7! aⁿou n 7! na, signe et valeur absolue dans R, signature d'une permutation à support ni, conjugaison dans un groupe multiplicatif.

Démonstration pour la signature : résulte du lemme : si 1; : : : ; n sont des transpositions telles que 1: : :n= id alors n est pair. En eet, on choisit un élément a aecté par l'une des transpositions et on réécrit le produit 1 : : : n = ₁⁰ : : : _p⁰ où p a même parité que n en déplaçant tous les a vers la gauche. S'il reste un a, c'est uniquement dans ₁⁰ mais dans ce cas la composée ne peut être égale à id. Donc a a disparu, et on termine par récurrence forte sur le nombre d'éléments aectés par une transposition. Remarque : la signature ne peut pas être prolongée en un morphisme de S_E sur f 1; 1g lorsque E est inni, voir contre-exemple avec E = Z.

Propriétés : f(e) = e⁰, f(aⁿ) = f(a)ⁿ. Image directe et image réciproque d'un sous-groupe. Noyau et image d'un morphisme. Composée de morphismes, réciproque d'un isomorphisme.

Théorème : l'équation f(x) = a admet au moins une solution si et seulement si a 2 Im f. Dans ce cas, l'ensemble des solutions est fx₀u; u 2 Ker fg = fvx₀; v 2 Ker fg où x₀ est une solution particulière.

Son cardinal est celui de Ker f.

page 2 I Groupes

Conséquences

f est injectif si et seulement si Ker f = feg.

Si a ^ b = d 6= 0 alors l'équation ax + by = c a des solutions dans Z si et seulement si d j c. Dans ce cas, les solutions dièrent entre elles d'un multiple de (b=d; a=d).

5) Le groupe Z=nZ

Soit n 2 N. La relation de congruence modulo n est compatible avec l'addition, la soustraction et la multiplication. Tout x 2 Z est congru modulo n à un unique élément de [[0; n[[ noté x mod n.

Conséquence : on note Z=nZ = f0 mod n; : : : ; (n 1) mod ng l'ensemble des classes de de congruence modulo n et on dénit dans Z=nZ les opérations d'addition, de soustraction et de multiplication par :

(x mod n) + (y mod n) = (x + y) mod n;

(x mod n) (y mod n) = (x y) mod n;

(x mod n) (y mod n) = (x y) mod n:

Les résultats ne dépendent pas des représentants x; y choisis.

Proposition : (Z=nZ; +) est un groupe additif et l'application x ! x mod n est un morphisme surjectif de Z sur Z=nZ. Son noyau est le sous-groupe nZ.

Propriété universelle : soit f : (Z; +) ! (G; :) un morphisme de groupes dont le noyau contient nZ.

Alors il existe une unique application f : Z=nZ ! G vériant : 8 x 2 Z; f(x mod n) = f(x). De plus, f est un morphisme de groupes et Im f = Im f. Enn, f est injectif si et seulement si Ker f = nZ.

Théorème chinois, version groupes : soient n; p 2 N tels que n ^ p = 1.

L'application (x mod np) 7! (x mod n; x mod p) est bien dénie et est un isomorphisme entre les groupes additifs Z=npZ et (Z=nZ) (Z=pZ). En particulier, pour tous a; b 2 Z, il existe x 2 Z unique modulo np vériant x a (mod n) et x b (mod p). Si nu+pv = 1 est une relation de Bézout, alors x = nub+pva est une solution du système précédent.

Générateurs : soit x 2 Z. La classe de congruence x mod n engendre le groupe Z=nZ si et seulement si x ^ n = 1. On note '(n) = cardfx 2 [[0; n[[ tq x ^ n = 1g le nombre de générateurs de Z=nZ.

Sous-groupes : soient x 2 Z et d = x ^ n. Alors hx mod ni = hd mod ni = f(kd) mod n; 0 6 k < n=dg:

Le cardinal de ce sous-groupe est égal à n=d. Réciproquement, si H est un sous-groupe quelconque de Z=nZ alors H = hd mod ni avec d = n= card(H).

Démonstration : les relations x = dy et d = ux + vn donnent hx mod ni = hd mod ni par double inclusion. La description de hd mod ni et son dénombrement sont immédiats. Si H est un sous-groupe de Z=nZ et f = x 7! x mod n alors f ¹(H) est un sous-groupe de Z contenant nZ, donc de la forme dZ avec n j d. Et f est surjectif, d'où H = f(f ¹(H)) = f(dZ) = hd mod ni.

6) Groupes monogènes

Ordre d'un élément. Exemples dans C, dans Z=nZ et dans S_E. O(a) = 1 () a = e. O(a) = 1 ou 2 () a²= e () a = a ¹. Caractérisations

a est d'ordre ni n () (a^p= e () n j p) () (a^p= a^q() p q (mod n)) () cardhai = n:

a est d'ordre inni () (a^p= e () p = 0) () (a^p= a^q() p = q) () cardhai = 1:

Théorème de Lagrange : soient G un groupe ni de cardinal n et a 2 G. Alors aⁿ= e.

Groupe monogène, groupe cyclique. Exemples Z, Z=nZ, U_n. Contre-exemple Q.

Théorème : soit G un groupe monogène. Si G est ni de cardinal n alors G est isomorphe à (Z=nZ; +).

Sinon, G est isomorphe à (Z; +).

Conséquences : soit G est un groupe cyclique de cardinal n engendré par un élément a.

Les générateurs de G sont les éléments de la forme a^k avec k ^ n = 1. Leur nombre est égal à '(n).

Les sous-groupes de G sont monogènes et pour tout d j n, G admet exactement un sous-groupe de cardinal n=d, à savoir ha^di.

Tout groupe ni dont le cardinal n est un nombre premier est cyclique, isomorphe à Z=nZ et à U_n. Proposition : pour tout n 2 N, le groupe multiplicatif C admet exactement un sous-groupe de cardinal n, à savoir U_n.

Formule de récurrence : P

djn'(d) = n.

Démonstration : '(d) = cardfgénérateurs de Udg = cardféléments de Und'ordre dg.

page 4 I Groupes

II — Anneaux

1) Définitions

Addition et multiplication, distributivité, zéro et unité. Ils sont diérents si et seulement si A 6= f0g.

Relations 0 x = x 0 = 0, (nx) y = n(x y) = x (ny), (n1) (p1) = (np)1.

Développement de (a + b)ⁿ et factorisation de aⁿ bⁿquand ab = ba.

Régularité, inversibilité pour la multiplication. Groupe A des unités de A.

Anneau commutatif, intègre, corps.

Exemples : Z, Z=nZ, Q, R, C, A^X, A[X] et A[X; Y ] pour A anneau quelconque, K(X), produit de deux anneaux.

Algèbre = anneau + K-ev avec l'associativité mixte : (x) y = (x y) = x (y).

Sous-anneau, sous-corps, sous-algèbre, exemples précédents.

Morphismes

Morphisme d'anneaux = application transportant l'addition, la multiplication et les deux éléments neu- tres. Le transport du zéro n'est pas à vérier, il résulte du transport de l'addition.

Morphisme d'algèbre = transporte en plus la multiplication externe.

Image directe et image réciproque d'un sous-anneau ou d'une sous-algèbre. Composée de morphismes, réciproque d'un isomorphisme.

Exemples : conjugaison dans C, conjugaison dans A, restriction dans A^X, évaluation ou substitution dans A[X] et A[X; Y ] lorsque A est commutatif, k 7! k1 de Z dans A, x 7! x mod n de Z sur Z=nZ.

Morphismes de Q; R; C : Q et R admettent id comme seul automorphisme de corps. C admet une innité d'automorphismes (admis) ; id et z 7! z sont les seuls automorphismes du corps C conservant R.

2) Idéaux et divisibilité dans un anneau commutatif

Idéal = sous-groupe additif absorbant pour la multiplication. Soit : 0 2 I, I + I I, AI I.

L'image réciproque d'un idéal par un morphisme d'anneaux est un idéal. En particulier le noyau d'un morphisme d'anneaux est un idéal de l'anneau de départ (l'image est un sous-anneau de l'anneau d'ar- rivée).

Idéal engendré

L'intersection d'une famille d'idéaux est un idéal. L'intersection de tous les idéaux contenant une par- tie X est le plus petit idéal contenant X, noté (X). C'est l'ensemble des combinaisons linéaires nies à coecients dans A des éléments de X.

Exemples : (a) = aA (idéal monogène engendré par a), (I [ J) = I + J, éléments de A^X s'annulant sur une partie Y X xée.

Un idéal contenant l'unité ou une unité est égal à A.

Divisibilité : a j b () 9 c 2 A tq b = ac () b 2 (a) ()(b) (a). Lorsque A est intègre et a 6= 0, il y a unicité de c qui est alors noté b=a.

a et b sont dits associés lorsqu'ils engendrent le même idéal, soit a j b et b j a. Si A est intègre, a et b sont associés si et seulement s'il existe u 2 A tel que b = ua. Pour A = Z, a et b sont associés si et seulement si b = a. Pour A = K[X], a et b sont associés si et seulement s'ils sont proportionnels. Tout polynôme non nul est associé à un unique polynôme unitaire.

Théorèmes : les idéaux de Z sont ses sous-groupes additifs, soit les ensembles (n) = hni = nZ, n 2 N.

Les idéaux de K[X] sont les idéaux monogènes, soit les ensembles (P ) avec P = 0 ou P unitaire, entièrement déterminé par l'idéal considéré.

Dans l'anneau K[X; Y ], l'ensemble des polynômes nuls en (0; 0) est un idéal non monogène.

Un anneau principal est un anneau commutatif intègre dans lequel tous les idéaux sont monogènes.

Pgcd, ppcm dans un anneau principal

d = a ^ b est l'un des générateurs de l'idéal (a) + (b) = fua + vb; u; v 2 Ag.

m = a _ b est l'un des générateurs de l'idéal (a) \ (b) = fmultiples communs à a et bg.

d et m sont uniques à association près ; on les rend uniques dans Z en imposant d; m 2 N. On les rend uniques dans K[X] en imposant qu'ils soient nuls ou unitaires.

Propriétés

x j d ()(x j a et x j b). d = 0 () a = b = 0.

m j x ()(a j x et b j x). m = 0 () a = 0 ou b = 0.

(md) = (ab).

Il existe u; v en général non uniques tels que d = ua + vb. Dans Z et dans K[X] l'algorithme d'Euclide étendu fournit un tel couple.

Associativité des opérations ^ et _.

Éléments premiers entre eux

a et b sont premiers entre eux ()(a ^ b) = (1) () 9 u; v 2 A tq ua + vb = 1.

Pour d 6= 0, a=d et b=d sont premiers entre eux.

(a ^ bc) = (1) ()(a ^ b) = (1) et (a ^ c) = (1).

Si (a ^ b) = (1) et a j bc alors a j c (Gauss).

Si (a ^ b) = (1) alors (ab j c) () (a j c et b j c).

3) Décomposition en facteurs irréductibles

a est premier () a 6= 0, a =2 A, (a j bc ) a j b ou a j c).

a est irréductible () a 6= 0, a =2 A, (a = bc ) b 2 A ou c 2 A).

Pour A commutatif intègre : premier ) irréductible. Pour A principal : premier () irréductible.

Dans lanneau Z[ip

3], 1 + ip

3 est irréductible mais non premier.

Théorème : soit A principal et a 2 A n f0g. Alors il existe u 2 A, n 2 N et b1; : : : ; bn premiers tels que a = ub1: : : bn. Une telle décomposition est unique à ordre et association près.

Démonstration

Existence par l'absurde : si a n'a pas de décomposition alors a n'est pas irréductible, a = bc avec b =2 A et c =2 A et l'un des facteurs, par exemple b n'a pas lui non plus de décomposition. On construit alors de proche en proche une suite (an)n2N telle que an+1 j an et an=j an+1. Soit I l'idéal engendré par fa_n; n 2 Ng et d un générateur de I : d = u₀a₀+ : : : + u_na_ndonc a_nj d j a_n+1: il y a contradiction.

Pour l'unicité, si ub₁: : : b_n = vc₁: : : c_p avec n > 0, alors b₁ divise vc₁: : : c_p et est premier donc divise l'un des facteurs. Ce ne peut être v car b1 =2 A d'où p > 0 et b1 divise ci. ci étant irréductible, b1 et ci

sont associés. On supprime ces deux facteurs, en modiant au besoin v, et on termine par élimination de proche en proche des facteurs premiers restants de l'un ou l'autre côté.

Lorsque A = Z, on impose, quitte à modier le facteur u, que les facteurs premiers soient dans N et en regroupant les facteurs premiers égaux on obtient a = p₁¹: : : p_k^k avec = 1, p₁; : : : ; p_k premiers positifs deux à deux distincts et ₁; : : : ; _k 2 N.

Lorsque A = K[X], on impose, quitte à modier le facteur u, que les facteurs premiers soient unitaires.

On regroupe de même les facteurs premiers égaux et on obtient a = p₁¹: : : p_k^k avec 2 K (c'est le coecient dominant de a), p1; : : : ; pk irréductibles deux à deux distincts et 1; : : : ; k 2 N.

Dans ces deux anneaux, en écrivant a = p₁¹: : : p_k^k, b = p₁¹: : : p_k^k avec les mêmes p_i, on obtient : a ^ b = p^min(₁ ^1;1): : : p^min(_k ^k;k)et a _ b = p^max(₁ ^1;1): : : p^max(_k ^k;k).

page 6 II Anneaux

Conséquences

L'ensemble des entiers naturels premiers est inni.

L'ensemble des polynômes unitaires irréductibles sur un corps K est inni.

Pour a; b 2 Z n f0g, il existe a⁰ diviseur de a et b⁰ diviseur de b tels que a⁰^ b⁰= 1 et a⁰b⁰= a _ b.

4) L’anneau Z=nZ

Classification des éléments : pour x 2 Z, on a

x mod n est inversible () x mod n est régulier () x mod n engendre (Z=nZ; +) () x ^ n = 1.

Conséquences

(Z=nZ)= fx mod n tq x ^ n = 1g est un groupe multiplicatif de cardinal '(n).

Pour n > 2, Z=nZ est un corps si et seulement si n est premier. Dans le cas contraire, c'est un anneau non intègre.

Pour x 2 Z et x ^ n = 1, on a x^'(n) 1 (mod n) (Euler).

Pour x 2 Z et n premier, on a xⁿ x mod n (Fermat).

Test de primalité de Rabin-Miller : soit n 2 N et a 2 [[2; n 2]] premier avec n. On écrit n 1 = 2q avec q impair puis on calcule successivement (par exponentiation rapide) les nombres a^q mod n, a^2qmod n,: : : ,a^2q mod n. Si n est premier alors cette suite se termine par 1 mod n et le dernier terme non égal à 1 mod n, si l'en existe, est égal à 1 mod n. Dans le cas contraire, n est non premier.

Exemple : n = 341, a = 2.

On démontre que si n est non premier alors la probabilité qu'un a tiré au hasard dans [[2; n 2]] révèle la non primalité de n est supérieure à ³₄. Lorsque six essais indépendants n'ont pas révélé la non primalité d'un entier n, on prétend que n est probablement premier avec une probabilité supérieure à 1 4 ⁶ 0:99975.

Théorème chinois, version anneaux : soient n; p 2 N tels que n ^ p = 1.

L'application (x mod np) 7! (x mod n; x mod p) est bien dénie et est un isomorphisme entre les anneaux Z=npZ et (Z=nZ) (Z=pZ). Elle induit un isomorphisme entre les groupes multiplicatifs (Z=npZ) et (Z=nZ) (Z=pZ). En particulier '(np) = '(n)'(p).

Conséquence : soit n = p₁¹: : : p_k^k avec p₁; : : : ; p_k premiers positifs distincts et ₁; : : : ; _k2 N. Alors '(n) = p₁^{1 1}: : : p_k^{k 1}(p1 1) : : : (pk 1), soit '(n)n =Q

pjn

1 1 p

.

Cryptage RSA : soient n 2 N sans facteur carré et d; e 2 N tels que de 1 mod '(n). Alors les applications x 7! x^d et x 7! x^esont deux permutations de Z=nZ réciproques.

5) Compléments sur les polynômes Racines

Soit A un anneau commutatif, P 2 A[X] et a 2 A. On a P (a) = 0 () X a j P . Soit A un anneau commutatif intègre, P 2 A[X] et a₁; : : : ; a_n2 A distincts.

On a P (a₁) = : : : = P (a_n) = 0 ()(X a₁) : : : (X a_n) j P .

Dans un anneau commutatif intègre, un polynôme de degré n a au plus n racines distinctes.

Multiplicité : soit K un sous-corps de C, P 2 K[X], a 2 K et 2 N.

On a P (a) = : : : = P^{( 1)}(a) = 0 ()(X a)j P . Polynômes irréductibles

les polynômes irréductibles de C[X] sont les polynômes du premier degré.

Les polynômes irréductibles de R[X] sont les polynômes du premier degré et les polynômes du second degré à discriminant négatif.

Dans Q[X], le polynôme Xⁿ 2 est irréductible pour tout n 2 N.

Dans un corps K quelconque, un polynôme irréductible de degré d > 2 n'a pas de racine dans K et un polynôme de degré d = 2 ou d = 3 n'ayant pas de racine dans K est irréductible.

Factorisation

Soit P 2 C[X] n f0g, son coecient dominant, a1; : : : ; anses racines de multiplicités 1; : : : ; n. Alors P = (X a1)¹: : : (X an)ⁿ.

Soit P 2 R[X] n f0g. Les racines non réelles de P sont deux à deux conjuguées et deux racines conju- guées ont même multiplicité. On obtient la décomposition en facteurs irréductibles de P dans R[X] en décomposant P dans C[X] puis en regroupant les facteurs conjugués.

Exemple : Xⁿ 1

X 1 = 1 + X + : : : + X^{n 1}

=Q_{n 1}

k=1(X e^2ik=n)

= (X + 1)(n 1) mod 2Q_{b(n 1)=2c}

k=1 (X² 2X cos(2k=n) + 1).

En particulier pour X 1 : Q_{n 1}

k=1sin(^k_n) =₂n 1ⁿ . Et pour n = 2p + 1, X i : Q_p

k=1cos(_2p+1^2k ) = ^{( 1)b(p 1)=2c}₂p .

Formule de Taylor : soient K un sous-corps de C, P 2 Kn[X], A une K-algèbre et a; b 2 A tels que ab = ba. On a P (a + b) = P (a) + bP⁰(a) + : : : + bⁿP⁽ⁿ⁾(a)=n!.

Indépendance par rapport au corps : soient K un sous-corps de C et P; Q 2 K[X]. Alors P et Q ont mêmes pgcd et mêmes ppcm dans les anneaux K[X] et C[X]. En conséquence P et Q sont premiers entre eux dans l'anneau K[X] si et seulement s'ils n'ont pas de racine complexe en commun.

Exemple : pour n; p 2 N, on a (Xⁿ 1) ^ (X^p 1) = X^{n^p} 1 dans tout anneau K[X] avec K C (vrai en fait pour un corps K quelconque).

Groupe multiplicatif d’un corps fini : soit K un corps ni. Le groupe multiplicatif K est cyclique.

Démonstration : on note n = card(K) = card(K) 1. Si x 2 K alors xⁿ = 1 donc x est d'ordre ni divisant n. Pour d j n, soit N_d le nombre d'éléments de K d'ordre divisant d et P_d le nombre d'élements d'ordre exactement d. Les éléments d'ordre divisant d sont les racines du polynôme X^d 1 donc N_d6 d. Les éléments dont l'ordre ne divise pas d sont les racines du polynôme (Xⁿ 1)=(X^d 1), d'où n Nd 6 n d, ce qui entraîne nalement Nd = d. On montre alors par récurrence forte sur d que Pd = '(d) grâce à la relationP

ejd'(e) = d = Nd =P

ejdPe. En particulier Pn= '(n) 6= 0, ce qui prouve que K possède au moins un élément d'ordre n.

On démontre que le cardinal d'un corps ni est nécessairement une puissance d'un nombre premier et que pour tout p premier et tout k 2 N, il existe un corps ni de cardinal p^k, unique à isomorphisme près. Ce corps est noté F_p^k. En particulier Fp= Z=pZ.

page 8 II Anneaux

III — Matrices

1) Opérations a) Définitions

Matrice rectangulaire à coecients dans un anneau A commutatif. Matrice carrée, triangulaire, diago- nale, scalaire. Matrice triangulaire ou diagonale par blocs.

Addition, multiplication, transposition.

b) Structure algébrique

(M_n(A); +; ) est un anneau. Pour n > 2 et A 6= f0g il n'est ni commutatif ni intègre. Si A est un corps, (M_n(A); +; ; :) est une algèbre de dimension n².

Base canonique (Eij).

ttM = M,^t(MN) =^tN ^tM,^t(M ¹) = (^tM) ¹.

La colonne j de MN est la combinaison linéaire de toutes les colonnes de M avec les coecients gurant dans la colonne j de N. La ligne i de MN est la combinaison linéaire de toutes les lignes de N avec les coecients gurant dans la ligne i de M.

c) Matrices triangulaires

Produit de deux matrices triangulaires, triangulaires par blocs.

Les matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures, diagonales, scalaires) forment des sous- anneaux de M_n(A). Lorsque A est un corps, ce sont des sous-algèbres de dimensions ¹₂n(n + 1),

12n(n + 1), n, 1.

d) Commutation

Centre : soit M 2 M_n(A). On a (8 X 2 M_n(A); MX = XM) ()(9 a 2 A tq M = aI_n).

Deux matrices diagonales commutent.

Si A est intègre, le commutant d'une matrice M diagonale à coecients diagonaux distincts est l'ensemble des matrices diagonales. Si A est un corps, c'est aussi l'ensemble des polynômes en M.

e) Trace

tr(^tM) = tr(M), tr(MN) = tr(NM), tr(M1: : : Mk) = tr(M2: : : MkM1).

L'application (M; N) 7! tr(^tM N) est un produit scalaire (canonique) sur Mn;p(R).

2) Déterminant det(M) =P

2Sn"()a₁₍₁₎: : : a_n(n)=P

j1;:::;jn"(j₁; : : : ; j_n)a_1j1: : : a_njn avec "(j₁; : : : ; j_n) =n signature de k 7! jk si j1; : : : ; jn sont distincts,

0 sinon.

Propriétés

det(In) = 1, det(^tM) = det(M), det(triangulaire), det(triangulaire par blocs).

Linéarité par rapport à chaque ligne et chaque colonne. Antisymétrie.

Si M a deux lignes ou deux colonnes égales alors det(M) = 0. Alternance.

Produit : det(MN) = det(M) det(N).

Démonstration : on note M₁; : : : ; M_nles colonnes de M et N = (b_ij). Il vient : det(MN) = det[b₁₁M₁+ : : : + b_n1M_n; : : : ; b_1nM₁+ : : : + b_nnM_n]

=P

j1;:::;jnb_j1;1: : : b_jn;ndet[M_j1; : : : ; M_jn]

=P

j1;:::;jnbj1;1: : : bjn;n"(j1; : : : ; jn) det(M)

= det(^tN) det(M) = det(M) det(N).

Développement par rapport à une ligne ou une colonne (on convient que le déterminant d'une matrice 0 0 vaut 1).

Calcul d'un déterminant par opérations élémentaires.

Comatrice, M^tcom(M) =^tcom(M)M = det(M)I_n.

M est inversible () det(M) 2 A() 9 P tq MP = I_n() 9 Q tq QM = I_n.

En particulier, une matrice carrée à coecients entiers admet une inverse à coecients entiers si et seulement si son déterminant vaut 1.

Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si les coecients diagonaux le sont. Dans ce cas, son inverse est aussi triangulaire (la comatrice l'est). Une matrice triangulaire par blocs est inversible si et seulement si les blocs diagonaux le sont. Dans ce cas, son inverse est aussi triangulaire par blocs (présenter l'inverse pour deux blocs diagonaux).

Si A est un corps : M est inversible ()(8 X; MX = 0 ) X = 0) ()(8 Y; Y M = 0 ) Y = 0).

Démonstration de (non inversible) )(non régulière) par récurrence sur n et par pivot.

Contre-exemple avec A = Z.

Si K est un sous-corps de L et M 2 M_n(K) alors M est inversible dans M_n(K) si et seulement si elle l'est dans M_n(L).

Formules de Cramer : soient M 2 M_n(A) inversible et B 2 M_n1(A). Le système MX = B admet une unique solution, donnée par x_i = det(M_i)= det(M) où M_i est la matrice obtenue en remplaçant dans M la i-ème colonne par B.

3) Polynôme caractéristique _M = det(XI_n M) =P

p( 1)^{n p}_{n p}(M)X^p où _k(M) est la somme des mineurs de taille k centrés sur la diagonale de M.

₀(M) = 1, ₁(M) = tr(M), _n(M) = det(M).

X_aIn = (X a)ⁿ. Si M est triangulaire, _M =Q

i(X a_ii).

Le polynôme caractéristique d'une matrice triangulaire par blocs est le produit des polynômes caractéris- tiques des blocs diagonaux.

M = ^t_M.

Substitution : pour a 2 A, M(a) = det(aIn M).

Théorème de Cayley-Hamilton : M(M) =P

p( 1)^{n p}n p(M)M^p= 0.

Démonstration Soient M =P

papX^p et^tcom(XIn M) =P

pMpX^p. On a _M I_n=^tcom(XI_n M)(XI_n M) =P

p(M_{p 1} M_pM)X^p, donc a_pI_n= M_{p 1} M_pM.

Puis M(M) =P

papM^p=P

p(Mp 1M^p MpM^p+1) = 0.

4) Polynôme minimal

Soit K un corps et M 2 M_n(K). L'application P 7! P (M) est un morphisme d'algèbre de K[X]

dans M_n(K) (morphisme de substitution). Son image, notée K[M], est une sous-algèbre commutative de M_n(K). Son noyau, I_M = fP 2 K[X] tq P (M) = 0g, est un idéal de K[X] appelé idéal annulateur de M.

Conséquence du théorème deCayley-Hamilton: I_M 6= f0g. Donc I_M admet un unique générateur unitaire noté _M et appelé polynôme minimal de M. De plus, 1 6 deg(_M) 6 n et _M j _M.

Exemples : _aIn = X a. Si M = Diag(a₁; : : : ; a_n) alors _M =Q

a2fa1;:::;ang(X a) (racines simples).

M =

0 1

1 0

) M = X²+ 1, M =

0 1

1 1

) M = X² X + 1.

Si M est triangulaire à coecients diagonaux distincts alors _M = _M =Q

i(X a_ii). Si M est diagonale par blocs alors _M est le ppcm des polynômes minimaux des blocs diagonaux.

Matrice compagne d'un polynôme unitaire : _M = _M = le polynôme compagnon.

Matrice associée à une permutation de [[1; n]] : M = (_i;(j)) ) _M = X^d 1 où d est l'ordre de pour la loi de composition (ppcm des longueurs des cycles de , diagonaliser par blocs).

Propriétés _M = ^t_M.

Pour P; Q 2 K[X], on a P (M) = Q(M) () _M j (P Q).

page 10 III Matrices

Racines : pour 2 K, on a

M() = 0 () M() = 0 () In M est non inversible () 9 X 2 Mn1(K) n f0g tq MX = X.

Démonstration circulaire, utiliser la division euclidienne de M par X pour le retour.

Un tel est appelé valeur propre de M et les matrices colonnes X correspondantes sont appelées vecteurs propres de M associés à la valeur propre .

Conséquence : si M est scindé à racines simples alors M = M (réciproque fausse).

Théorème : soit d = deg(M). Alors (In; : : : ; M^{d 1}) est une base de K[M].

En particulier, dim K[M] = deg(M).

5) Applications des matrices aux ev de dimension finie a) Théorie de la dimension

Exposée en MPSI dans le cas où K = R ou C. On admet que les résultats suivants sont valables pour tout corps K.

Dans un ev engendré par une famille nie : (i) il existe au moins une base ;

(ii) toutes les bases sont nies et ont même cardinal n ;

(iii) toute famille libre a au plus n éléments et peut être complétée en une base ; (iv) toute famille génératrice a au moins n éléments et contient une base ; Dans un ev E de dimension n :

(v) un sev F est de dimension au plus n ; (vi) on a F = E () dim(F ) = dim(E) ;

(vii) F admet au moins un supplémentaire dans E ;

(viii) pour tous sev F; G, on a dim(F + G) + dim(F \ G) = dim(F ) + dim(G) ;

(ix) pour F₁; : : : ; F_p sev de E, on a dim(F₁+ : : : + F_p) 6 dim(F₁) + : : : + dim(F_p) avec égalité si et seulement si la somme est directe ;

(x) pour toute application linéaire f 2 L(E; E⁰) on a dim(E) = dim Ker(f) + dim Im(f) ; (xi) lorsque dim(E) = dim(E⁰), f est bijective () f est injective () f est surjective.

b) Matrice d’une famille de vecteurs, d’une application linéaire Application linéaire canoniquement associée à une matrice.

Mat(f(x₁); : : : ; f(x_p)), Mat(f g), Mat(f ¹).

Isomorphisme entre un K-ev de dimension n et M_n;1(K).

Isomorphisme entre L(E; F ) et Mdim F;dim E(K). Cas F = E.

Matrices équivalentes, semblables (dénition géométrique).

Sous-espaces stables

Si E = F G et B est une base de E adaptée à cette décomposition alors F est stable par f 2 L(E) si et seulement si Mat_B(f) est triangulaire supérieure par blocs avec un découpage correspondant à celui de B. F et G sont stables par f si et seulement si Mat_B(f) est diagonale par blocs.

Drapeau associé à une base B = (e₁; : : : ; e_n) : F_i = he₁; : : : ; e_ii. Un endomorphisme stabilise le drapeau si et seulement si sa matrice dans B est triangulaire supérieure. Il stabilise chaque droite he_ii si et seulement si sa matrice dans B est diagonale.

c) Déterminant d’une famille de vecteurs dans une base Caractérisation des bases :

F est une base () F est libre () F est génératrice () Mat_B(F) est inversible () det_B(F) 6= 0.

Dans ce cas, Mat_B(F) Mat_F(B) = I_n.

Formules de changement de base : X = P X⁰, M⁰= Q ¹MP , det_B(F) = det_B(B⁰) det_B⁰(F).

Caractérisation algébrique de la similitude et de l'équivalence.

d) Rang

rg(M) = dimhcolonnes de Mi.

rg(Mat(x1; : : : ; xp)) = dimhx1; : : : ; xpi, rg(Mat(f)) = dim Im(f).

rg(MN) 6 min(rg(M); rg(N)).

Rang d'une sous-matrice.

Conservation du rang par équivalence ou similitude.

M 2 Mnp(K) de rang r si et seulement si elle est équivalente à Jnpr =

Ir 0 0 0

. rg(^tM) = rg(M).

Deux matrices de même taille sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang.

Calcul algébrique du rang

On convient qu'une sous-matrice de taille 0 0 est inversible.

(i) rg(M) > r () M contient une sous-matrice carrée de taille r inversible.

(ii) rg(M) est la plus grande taille d'une sous-matrice carrée inversible extraite de M.

Conséquences

Soient K un sous-corps de L et M 2 Mn(K). Alors M a même rang, considérée comme matrice à coecients dans K ou comme matrice à coecients dans L.

Soient K un sous-corps de L et M 2 Mn(K). Alors les polynômes minimaux de M dans Mn(K) et Mn(L) sont égaux.

Démonstration : soient M;K et M;L ces polynômes minimaux. M;K 2 L[X] et M;K(M) = 0 donc M;Ldivise M;K dans l'anneau L[X]. Par ailleurs, d = deg(M;K) = rg(In; : : : ; M^{n 1}) = rg(P ) où P est la matrice de (I_n; : : : ; M^{n 1}) dans la base canonique (E_ij) de M_n(K). P est aussi la matrice de cette famille dans la base canonique de M_n(L), d'où rg(P ) = deg(_M;L). Ainsi _M;K et _M;L ont même degré, ce qui sut à conclure.

Proposition : si M 2 M_n(R) alors rg(M) = rg(^tMM).

Car MX = 0 ()^tMMX = 0. Contre-exemple dans Mn(C) : M =

1 i

i 1

.

e) Invariants d’un endomorphisme

Deux matrices semblables ont même trace, même déterminant, même polynôme caractéristique et même polynôme minimal (donc aussi mêmes valeurs propres). On dénit la trace, le déterminant, les polynômes caractéristique et minimal d'un endomorphisme comme étant ceux de sa matrice dans une base quelconque de l'espace considéré.

Propriétés

tr(f g) = tr(g f), det(f g) = det(f) det(g).

det_B(f(x₁); : : : ; f(x_n)) = det(f) det_B(x₁; : : : ; x_n).

det_B(f(x₁); x₂; : : : ; x_n) + : : : + det_B(x₁; : : : ; x_{n 1}; f(x_n)) = tr(f) det_B(x₁; : : : ; x_n).

f est bijective si et seulement si det(f) 6= 0.

Théorème de Cayley-Hamilton : _f(f) = 0 et _f j _f.

page 12 III Matrices

IV — Réduction des endomorphismes

1) Éléments propres d’un endomorphisme

Valeurs et vecteurs propres, sous-espace propre, spectre.

En dimension nie, lien avec les mêmes notions pour une matrice carrée.

Exemples : homothétie, projection, symétrie, dérivation dans C¹(R; R), dérivation et primitivation dans C[X], permutation circulaire des coordonnées dans Kⁿ,_{1 2}

3 4

.

Somme directe : si ₁; : : : ; _p sont des valeurs propres de f distinctes alors les sous-espaces propres associés sont en somme directe.

Démonstration : soit (x₁; : : : ; x_p) 2 E₁: : :E_ptel que x₁+: : :+x_p= 0. On a, en appliquant k fois f : ^k₁x₁+: : :+^k_px_p= 0 et donc par combinaison linéaire, P (₁)x₁+: : :+P (_p)x_p= 0 pour tout P 2 K[X].

Comme les _i sont distincts, on peut trouver P tel que P (₁) = 1, P (₂) = : : : = P (_p) = 0, d'où x₁= 0 et de même pour les autres vecteurs.

Conséquences

Toute famille de vecteurs propres associée à des valeurs propres distinctes est libre. En particulier les familles (x 7! e^x)_2R, (x 7! cos(x))_>0 et (x 7! sin(x))_>0sont libres dans C¹(R; R). Leur réunion, en supprimant la répétition de la constante 1 = cos(0x) = e^0xl'est aussi, car on peut séparer cos(x) et sin(x) par parité.

Si dim(E) = n alors f 2 L(E) a au plus n valeurs propres distinctes et quand elle en a n alors chaque sous-espace propre est de dimension 1.

Polynôme caractéristique en dimension finie

Les valeurs propres de f sont les racines dans K de _f. Si F est un sev stable par f alors _fjF j _f. En particulier, si est racine de _f de multiplicité malors dim(E) 6 m.

Conséquences

Un endomorphisme d'un C-ev de dimension nie non nulle admet au moins une valeur propre.

Si rg(f) = r < n = dim(E) alors X^{n r} j _f. En particulier si rg(f) 6 1 alors _f= Xⁿ tr(f)X^{n 1}. Lorsque K C, soient 1; : : : ; nles racines complexes de f répétées avec leurs ordres de multiplicité.

On a :

1+ : : : + n= tr(f); 1: : : n= det(f):

Ces relations sont aussi vraies pour un corps quelconque lorsque _f est scindé sur K ou sur un sur-corps de K.

2) Diagonalisation, trigonalisation en dimension finie Définitions

f 2 L(E) est diagonalisable (resp. trigonalisable) s'il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est diagonale (resp. triangulaire supérieure).

M 2 Mn(K) est diagonalisable (resp. trigonalisable) si l'endomorphisme de Kⁿ canoniquement associé à M l'est, soit si M est semblable à une matrice diagonale (reps. triangulaire supérieure).

Remarques

Mat_(e1;:::;en)(f) est triangulaire supérieure si et seulement si Mat_(en;:::;e1)(f) est triangulaire inférieure.

Le caractère supérieur dans la dénition de la trigonalisabilité est donc non restrictif.

Pour toute base B de E, on a : f est diagonalisable (resp. trigonalisable) si et seulement si Mat_B(f) a cette propriété.

Travail demandé

Diagonaliser f consiste à trouver une base B pour laquelle D = Mat_B(f) est diagonale. Les vecteurs de B sont donc des vecteurs propres de f et les coecients diagonaux de D sont les valeurs propres associées aux vecteurs de B, dans le même ordre. Ce sont les valeurs propres de f. B est appelée base de diagonalisation de f ou base propre pour f. Il n'y a en général pas unicité de B ni de D, mais f = Ddonc f doit être scindé et D est unique à permutation de la diagonale près.

Diagonaliser M consiste à trouver P 2 GL_n(K) et D diagonale telles que P ¹MP = D, soit MP = P D ou encore M = P DP ¹. Les colonnes de P forment une base de Mn1(K) propre pour l'endomorphisme canoniquement associé à M et les coecients diagonaux de D sont les valeurs propres correspondantes, placées dans le même ordre que le sont les vecteurs propres dans P .

Trigonaliser f consiste à trouver une base B pour laquelle T = Mat_B(f) est triangulaire supérieure. Le premier vecteur de B est donc vecteur propre de f, et le drapeau associé à B est stable par f. Comme f = T, il est nécessaire que fsoit scindé pour que f soit trigonalisable. La diagonale de T est imposée à permutation près par la connaissance de f ; les coecients au dessus de la diagonale ne peuvent être déterminés que connaissant explicitement P .

Trigonaliser M consiste à trouver P 2 GL_n(K) et T triangulaire supérieure telles que P ¹MP = T , soit MP = P T ou encore M = P T P ¹.

Méthode pour diagonaliser ou trigonaliser f donnée

(i) Calculer f et le factoriser. Si f n'est pas scindé, la réduction demandée est impossible. Dans ce cas, abandonner ou prendre K = C.

(ii) Pour chaque racine de f, déterminer une base du sous-espace propre E. Lorsque m = 1, il sut de trouver un vecteur propre non nul.

(iii) Concaténer les bases trouvées en (ii). On obtient une base de la somme de tous les sous-espaces propres, c'est-à-dire une famille F libre propre maximale.

(iv) Si la famille F est de cardinal n alors c'est une base propre pour f et la diagonalisation est terminée.

Sinon, f n'est pas diagonalisable.

(v) Si card(F) = n 1, compléter F en une base B de E par ajout en dernière position d'un vecteur non combinaison linéaire de F. Alors MatB(f) est triangulaire supérieure.

(vi) Si card(F) 6 n 2, compléter arbitrairement F en une base B et calculer M⁰= MatB(f) =_{D X}

0 N

où D est diagonale et N carrée quelconque de taille strictement inférieure à n (car on a au moins une valeur propre du fait que fest scindé). Trigonaliser récursivement N. On obtient Q inversible et T triangulaire supérieure telles que NQ = QT . Soit alors P =

I 00 Q

: c'est une matrice n n inversible et M⁰P = P_{D XQ}

0 T

. La trigonalisation de f est terminée.

Remarques

La récursion en (vi) est bien fondée car f est scindé donc N qui en est un diviseur est aussi scindé.

En (iv) on a card(F) = n () E =L

E() n =P

dim(E) () 8 ; dim(E) = mcar le caractère scindé de f donne n =P

m et on sait que m> dim(E).

Conséquences

(i) Un endomorphisme f est trigonalisable si et seulement si _f est scindé. Ceci est toujours vrai si K = C.

(ii) Un endomorphisme f est diagonalisable si et seulement si la somme des sous-espaces propres est égale à E, soit si et seulement si fest scindé et si pour toute racine de f, on a dim(E) = m. (iii) Si _f est scindé à racines simples alors f est diagonalisable.

(iv) Si f n'a qu'une seule valeur propre alors f est diagonalisable si et seulement si f = id.

page 14 IV Réduction des endomorphismes

Exemples M = ¹1 ²4 ³3

1 2 1

!

, P = ¹1 ²1 ³0

1 0 1

!

, D = Diag(0; 2; 2).

M = ³1 ¹3 ¹1

2 2 6

!

, P = ¹1 ^{1 0}0 0

0 1 1

!

, T = ^{4 0 1}0 4 2 0 0 4

!

ou P = ¹1 ^{1 0}1 0

0 2 1

!

, T = ^{4 0 0}0 4 1 0 0 4

! .

M = ⁵1 ⁸3 ⁶2

6 11 8

!

, P = ^{3 + 5i}4 i ^{3 5i}4 + i ²4 7 6i 7 + 6i 7

!

, D = Diag(i; i; 0) (par comatrice).

Diagonalisation d'une projection, d'une symétrie.

3) Polynômes d’un endomorphisme

Pour E de dimension quelconque et f 2 L(E), on dénit K[f] = fP (f) tq P 2 K[X]g et l'idéal annulateur I_f = fP 2 K[X] tq P (f) = 0g. Ces dénitions prolongent celles vues pour les matrices carrées et les endomorphismes d'un ev de dimension nie non nulle. On dit que f admet un polynôme minimal si If6= f0g et dans ce cas, f est le générateur unitaire de If.

Exemples : homothétie, projection, symétrie, dérivation dans C¹(R; R).

Propriétés

K[f] est une sous-algèbre commutative de L(E).

Si _f existe et d = deg(_f) alors (id; : : : ; f^{d 1}) est une base de K[f] et dim(K[f]) = d. De plus, pour P; Q 2 K[X], on a P (f) = Q(f) () _fj (P Q). Sinon K[f] est de dimension innie et deux polynômes en f sont égaux si et seulement s'ils ont mêmes coecients.

Si F est un sev stable par f et si f admet un polynôme minimal, alors f_jF aussi et _fjF j _f. _f= 1 () E = f0g.

Si P j Q alors Ker P (f) Ker Q(f) et Im P (f) Im Q(f).

Pour P 2 K[X], Ker P (f) et Im P (f) sont stables par f et par tout endomorphisme g commutant avec f.

De plus, fj Ker P (f)admet un polynôme minimal divisant P .

En particulier, si f g = g f, tout sous-espace propre pour f est stable par g.

Lorsque f est diagonalisable, un endomorphisme g commute avec f si et seulement s'il stabilise tous les sous-espaces propres pour f. Lorsque f est diagonalisable à valeurs propres distinctes, un endomorphisme g commute avec f si et seulement s'il est diagonalisable dans une base propre pour f xée. Dans ce cas, g 2 K[f].

Si 2 Sp(f) et P 2 K[X] alors P () 2 Sp(P (f)) et Ker(f id) Ker(P (f) P () id). En particulier, si P (f) = 0 alors Sp(f) est inclus dans l'ensemble des racines de P .

Si f admet un polynôme minimal alors Sp(f) est ni (réciproque fausse).

Lemme des noyaux : soient P1; : : : ; Pkdes polynômes deux à deux premiers entre eux et P = P1: : : Pk. Alors Ker P (f) =L

iKer P_i(f).

Démonstration : Pij P donc Ker Pi(f) Ker P (f), d'oùP

iKer Pi(f) Ker P (f).

La somme est directe : soit Qi=Q

j6=iPj= P=Pi. Par hypothèse, Pi^ Qi= 1 ; soient Ui; Vi2 K[X] tels que U_iP_i+ V_iQ_i = 1. Par substitution, il vient U_i(f) P_i(f) = id_E V_i(f) Q_i(f). Considérons alors (x₁; : : : ; x_k) 2Q

iKer P_i(f) et x = x₁+ : : : + x_k. En appliquant l'égalité précédente à x x_i=P

j6=ix_j, on obtient U_i(f) P_i(f)(x) = x x_i. Ceci prouve l'unicité de x_i.

Inclusion réciproque : soit x 2 Ker P (f), et xi = x Ui(f) Pi(f)(x) = Vi(f) Qi(f)(x). On a Pi(f)(xi) = Vi(f) P (f)(x) = 0 donc xi2 Ker Pi(f). Enn, x P

ixi= (1 P

iViQi)(f)(x) = R(f)(x) et R = 1 ViQi P

j6=iVjQj = UiPi P

j6=iVjQj est divisible par Pi pour tout i. Donc P j R et x =P

ixi2P

iKer Pi(f).

Remarque : les projeteurs associés à la décomposition Ker P (f) =L

iKer P_i(f) sont des polynômes en f.

Application : équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants

Soient a₀; : : : ; a_n2 C avec a_n6= 0. On considère l'équation diérentielle : () () a₀y + : : : + a_ny⁽ⁿ⁾= 0 d'inconnue y : R ! C supposée de classe Cⁿ. Soit P = a₀+ : : : + a_nXⁿ (polynôme caractéristique de l'équation).

Si P admet n racines simples ₁; : : : ; a_nalors les solutions de l'équation () sont les fonctions de la forme y = x 7! A₁e^1x+ : : : + A_ne^nxavec A₁; : : : ; A_n2 C quelconques.

Dans le cas général, soient 1; : : : ; k les racines de P sans répétition et m1; : : : ; mk leurs multiplicités.

Les solutions sont les fonctions de la forme y = x 7! A1(x)e^1x+ : : : + Ak(x)e^kx avec Ai 2 Cmi 1[X]

quelconque. Pour y donnée, il y a unicité d'une telle décomposition et l'ensemble des solutions est un C-ev de dimension n.

Opérations sur les noyaux et les images (HP) : Soient P; Q 2 K[X], D = P ^ Q et M = P _ Q.

On a : Ker P (f) + Ker Q(f) = Ker M(f), Im P (f) + Im Q(f) = Im D(f), Ker P (f) \ Ker Q(f) = Ker D(f), Im P (f) \ Im Q(f) = Im M(f).

Conséquence : si f admet un polynôme minimal, alors les ensembles K = fKer P (f); P 2 K[X]g et I = fIm P (f); P 2 K[X]g sont nis et en bijection avec l'ensemble des diviseurs unitaires de f. Caractérisations de la diagonalisabilité et de la trigonalisabilité

Soit E un K-ev de dimension nie non nulle et f 2 L(E). Il y a équivalence entre : (i) f est diagonalisable

(ii) (f ₁id) : : : (f _pid) = 0 où ₁; : : : ; _p sont les valeurs propres de f sans répétition (iii) il existe P 2 K[X] n f0g scindé à racines simples tel que P (f) = 0

(iv) f est scindé à racines simples et entre :

(v) f est trigonalisable

(vi) il existe P 2 K[X] n f0g scindé tel que P (f) = 0 (vii) _f est scindé.

Démonstration de (vii) ) (v) : on a f 6= 1 car E 6= f0g donc f admet au moins une racine . Alors g = f id est non injectif, donc non surjectif et il existe un hyperplan H contenant Im g (thm.

de la base incomplète). Par construction, H est stable par g donc aussi par f et F jH divise f donc est aussi scindé. On construit alors de proche en proche un drapeau stable par f. Dans toute base adaptée à ce drapeau, la matrice de f est triangulaire supérieure.

Conséquences : soit f diagonalisable (resp. trigonalisable) et F un sev non nul stable par f. Alors fjF

est diagonalisable (resp. trigonalisable). Dans le cas diagonalisable, un sous-espace de E est stable par f si et seulement s'il est engendré par une famille nie de vecteurs propres.

4) Endomorphismes nilpotents

Endomorphisme nilpotent, matrice nilpotente, indice de nilpotence.

Propriétés

La somme de deux éléments nilpotents commutant est nilpotente.

Si f est nilpotent d'indice p alors la suite (Ker f^k)_06k6pest strictement croissante.

Si E est de dimension nie n et f 2 L(E) est nilpotent, alors l'indice de nilpotence de f est majoré par n et on a fⁿ= 0.

Caractérisation des matrices nilpotentes : pour M 2 Mn(K) il y a équivalence entre (i) M est nilpotente

(ii) M est semblable à une matrice triangulaire supérieure dont la diagonale est nulle (iii) _M = Xⁿ

(iv) (si K C) 8 k 2 [[1; n]], tr(M^k) = 0.

page 16 IV Réduction des endomorphismes

Démonstration (iv) ) (i) : on peut supposer K = C sans restreindre la généralité. Par linéarité, tr(P (M)) = 0 pour tout polynôme de C[X] de degré inférieur ou égal à n sans terme constant, donc en particulier pour un polynôme P tel que P (0) = 0 et P () = 1 pour toute valeur propre de M non nulle (ceci est possible, on impose les valeurs de P en au plus n + 1 points distincts). Avec ce choix, tr(P (M)) est le nombre de valeurs propres non nulles en comptant les répétitions et ce nombre vaut 0. Ainsi, 0 est l'unique valeur propre de M donc l'unique racine de _M.

Trigonalisation forte : soit E un ev de dimension nie non nulle, f 2 L(E) trigonalisable, 1; : : : ; p

les valeurs propres de f de multiplicités m1; : : : ; mp. Alors il existe une base B dans laquelle la matrice de f est diagonale par blocs : MatB(f) = Diag(T1; : : : ; Tp) où Ti est une matrice triangulaire supérieure de taille mi ayant i pour unique valeur propre : Ti= iImi+ Ni avec N_i^mi= 0.

Démonstration : on a par hypothèse _f = Q

i(X _i)^mi et _f(f) = 0 donc avec le lemme des noyaux, E = Ker f(f) =L

iKer(f iid)^mi =L

iFi. Le sous-espace Fi est stable par f, donc f_jFi est trigonalisable et par construction, _fjFi j (X i)^mi. En particulier, i est l'unique valeur propre de fjFi. En concaténant une base de trigonalisation pour chaque fjFi, on obtient une base B dans laquelle Mat(f) est diagonale par blocs et chaque bloc est triangulaire comme indiqué. Enn, la conservation du polynôme caractéristique implique taille(Ti) = dim(Fi) = mi.

5) Calcul des puissances d’une matrice carrée

Soit M 2 Mn(K). On veut calculer M^p en fonction de p 2 N arbitraire.

Si M = Diag(₁; : : : ; _n) : M^p= Diag(^p₁; : : : ; ^pn).

Si M est diagonalisable : M = P DP ¹, puis M^p= P D^pP ¹.

Si M = I_n+ N avec N nilpotente d'indice q : M^p= ^pI_n+ p^{p 1}N + : : : + _{q 1}^p

^{p q+1}N^{q 1}. q étant xé, le calcul est considéré comme terminé. Remarque : pour tout k xé, le coecient _k^p

est un polynôme en p.

Si M est trigonalisable : trigonaliser fortement M puis utiliser la formule du binôme pour chaque bloc.

Si M n'est pas trigonalisable : prendre K = C si c'est possible, sinon abandonner.

Lorsque K C, le calcul explicite de M^p est donc toujours possible et M^p est une combinaison linéaire à coecients matriciels des suites (^pp^k) où 2 Sp(M) n f0g et 0 6 k < met d'une suite presque nulle si 0 2 Sp(M).

Exemples M = ¹1 ²4 ³3

1 2 1

!

, Sp(M) = f0; 2g et M est diagonalisable. Donc M^p= 2^{p 1}M pour tout p > 1.

M = ³1 ¹3 ¹1

2 2 6

!

, Sp(M) = f4g, M^p= 4^pI₃+ p4^{p 1}(M I₃) + p(p 1)2 4^{p 2}(M I₃)².

M = ⁵1 ⁸3 ⁶2

6 11 8

!

, Sp(M) = fi; i; 0g, la suite (M^p)_p>1 est 4-périodique.

Convergence

(i) Soit M 2 M_n(C). La suite de terme général M^p converge vers la matrice nulle si et seulement si Sp(M) D = fz 2 C tq jzj < 1g.

(ii) La suite (M^p) est convergente si et seulement si Sp(M) D [ f1g et rg(M I_n) = rg((M I_n)²).

Dans ce cas, sa limite L est la matrice de la projection sur Ker(M I_n) parallèlement à Im(M I_n) (en confondant une matrice avec son application linéaire canoniquement associée).

Démonstration (i) Si M^p !

p!10, soit 2 Sp(M) et X une colonne propre associée. On a ^pX = M^pX !

p!10 donc ^p !

p!10, ce qui implique 2 D. Réciproquement, si Sp(M) D, la forme générale de M^p vue précédemment montre que M^p !0.