• Rappels ERII 3

Polytech’Montpellier

Département Electronique, Robotique &

Informatique Industrielle

Systèmes Electroniques Analogiques III

Pascal Nouet / 2009-2010 [email protected]

Objectifs

• Rappels ERII 3

– Bases indispensables pour l’ingénieur électronicien

• Conception de Systèmes Electroniques Analogiques

– Synthèse de filtres analogiques d’ordre supérieur à 2 – Stabilité des systèmes électroniques rebouclés

• techniques d’analyse

• correction

2

Polytech’Montpellier

Département MicroElectronique &

Automatique

Systèmes Electroniques Analogiques III Chapitre I : rappels ERII 3

Pascal Nouet / 2009-2010 [email protected]

Chapitre I : rappels ERII 3

• Généralités sur les systèmes électroniques analogiques

– Notions élémentaires

– Fonctions linéaires élémentaires

– Fonction de transfert et représentations d’un système linéaire

– Propriétés des systèmes bouclés

• Filtres actifs à base d’AOP

– Cellules de Sallen & Key

4

Sources indépendantes

• Source de tension / générateur de Thévenin

– Générateur idéal – Générateur réel

• Résistance de sortie non nulle

• Source de courant / générateur de Norton

– Générateur idéal – Générateur réel

• Résistance de sortie finie

V₀ Vs

+ R

I₀ R Vs

5

Equivalence Thévenin / Norton

• Exemple :

I_N R_N V_th

R_th +

N

th R

R =

CO CC N N N

th R I R I V

V = ⋅ = ⋅ =

Ω

=

= _N 1

th R

R I_N =1A V_th =1V

6

2 V Vs

2 ΩΩΩΩ

2 ΩΩΩΩ

1 ΩΩΩΩ

1 A R_L

Is

40 ΩΩΩΩ 2 ΩΩΩΩ

Chapitre I : rappels ERII 3

• Généralités sur les systèmes électroniques analogiques

– Notions élémentaires

– Fonctions linéaires élémentaires

– Fonction de transfert et représentations d’un système linéaire

– Propriétés des systèmes bouclés

• Filtres actifs à base d’AOP

7

Sources contrôlées

Les représentations (modélisations) d’un Système Electronique Analogique (Entrée=tension)

SEA _{VS RL}

I_S V_e

V_th R_th +

V_e V_s0

+

e V

s A V

V0= ⋅ idéal

V_e R_e V R_s +

V A V = ⋅

I_CC

e m

CC G V

I = ⋅

V_e

idéal

ICC R_S Ve Re

e m

CC G V

I = ⋅

Sortie=tension

Sortie=courant

8

Sources contrôlées

Les représentations (modélisations) d’un Système Electronique Analogique (Entrée=courant)

I_e

SEA _{VS RL}

I_S

R_N I_N

I_e

Re V_s0 Rs

+

e R

s A I

V0= ⋅ réel

V_s0 + I_e

e R

s A I

V₀= ⋅ idéal

Sortie=tension

Sortie=courant

9

I_CC R_S

Re

I_e ICC=AI⋅Ie

réel

ICC

e I

CC A I

I = ⋅ I_e

idéal

Sources contrôlées

Les représentations (modélisations) usuelles d’un Système Electronique Analogique (Entrée=tension)

V_{e Vs0}

+

e V

s A V

V0 = ⋅ I_CC

e m

CC G V

I = ⋅

V_e

Ve

+ - G_m,A_{v +}

- G_m,A_v

V₊ V_-

V_ε=V₊-V_-

Les imperfections sont implicites : - résistances d’entrée et de sortie

- G_m ou A_v mal maitrisés lors de la fabrication

10

Cas particulier : l’AOP

+

V+

V−

0

Vs

VS

+

-

V V+

V-

0

Vs V_s0 =A₀

(

)

V_S

Idéal :

Réel ?

+ - A_v

V₊ V_-

V_ε=V₊-V_-

11

Filtrage

• Fonction de transfert

• Notion de gabarit

– Passe-bas, passe-haut, passe-bande, réjecteur

• Ordre du filtre

• Type de filtre

V_in(p) V_out(p) = F(p).V_in(p) F(p)

12

Fonctions analogiques linéaires

• Vu de l’extérieur un système :

– est vu comme une résistance (impédance) par l’étage précédent

– se comporte comme un générateur de Thévenin (Norton) pour l’étage suivant

• Limitations usuelles

– Amplitude du signal de sortie (slew-rate, non linéarité, saturations, …)

– Fonction de la fréquence (filtrage, amplification sélective, produit gain-bande, …)

– Résistances de sorties et capacités parasites…

13

Transmission du signal et adaptation d’impédance

• Cas ou le signal à transmettre est une tension

• Cas ou le signal à transmettre est une puissance

V_e R_{e Vs0}

R_s +

e V

s A V

V0 = ⋅ V_e1 R_e1 V_s0 R_s1 +

1 1

1 V e

s A V

V = ⋅

( ) ( )

0 1 1

0 1 1

1 0

1

s e

e s

e s

e s e s

e e s

e R R

V R R P

R I V R

R V R

V = +

= +

= +

∞

→

⇒ ₁

1 max _e

e R

V

s e

e R R

P ⇒ =

1 1 max

14

Chapitre I : rappels ERII 3

• Généralités sur les systèmes électroniques analogiques

– Notions élémentaires

– Fonctions linéaires élémentaires

– Fonction de transfert et représentations d’un système linéaire

– Propriétés des systèmes bouclés

• Filtres actifs à base d’AOP

15

Architecture d’un système linéaire

• Mise en cascade de systèmes (signal tension)

– Résistances d’entrées élevées – Résistances de sorties nulles

F₁(p) F₂(p) F_n(p)

V_in V₁

V_n-1

V_out

) ) (

( ) ) (

(

1

p p F

V p p V

F

in n

out

= Π

=

16

Architecture d’un système linéaire

• Exemple :

– Condition d’impédance non vérifiée !!!

– Résultat : fonction de transfert obtenue ? – Solution : utilisation d’un étage suiveur

( ^{1 1} )

)

( p p

F = + τ

V_c R

C V_ουτ R

V_in

C

( ^p ) ^p

p

F = + τ

+ τ 1

) 1

( ¹ ) ^{2 1} ( )

( ) (

2

→

= +

p p p

Z p Z

in out

τ τ

τ p → j

17

Représentations

d’une fonction de transfert

• Représentations d’un système

– Polynomiale :

– Représentation avec pôles et zéros

– k est le gain statique

m m

n n

p b p

b p b

p a p

a p k a

p

F + + + +

+ + +

= +

...

1

...

) 1

( ₂

2 1

2 2 1

∏

∏











 −







 −

= 1 1

1 1 )

(

m j

n i

p p z

p k

p F

18

Représentations

d’une fonction de transfert

• Diagramme de gain

• Diagramme de phase

) ( log 20 )

(ω F ω

F dB =

( )









 + − − −

⋅

=

∑ ∑

m j n i

dB j p

jz k

F⁽ω^{) 20 log 1 log1} ω ^{1 log1} ω

( ) ∑ ∑









 − Φ

−







 − Φ

=

Φ ( ) ¹ 1 ¹ 1

m j

n i j p

jz

F ω ω ω

∏

∏











 −







 −

= 1 1

1 1 )

(

m j

n i

p p z

p k

p F

( ) ^



 



=  +

Φ a

Arctg b jb

a

Transforme les produits en sommes

19

Représentations d’une fonction de transfert

• Régime harmonique : p=jω

• Diagramme de Bode

– Diagramme de gain : module en dB – Diagramme de phase : argument

• Diagramme de Nyquist

– Partie imaginaire en fonction de la partie réelle – Étude de stabilité

• Diagramme de Black

– déphasage en fonction du gain (module) – automatique

20

Diagramme de Bode d'un pôle simple

-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0

1,0E-02 1,0E-01 1,0E+00 1,0E+01 1,0E+02 1,0E+03

Gain (dB) Phase (°)

Représentation d’un Pôle simple

-20dB/décade

-45°/décade

-5,71° -3dB

-45°

-84,29°

p p

p p

F = +τ

= −

1 1 1

) 1 (

1

21

Représentation d’un zéro simple

Diagramme de Bode d'un zéro simple

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

1,0E-02 1,0E-01 1,0E+00 1,0E+01 1,0E+02 1,0E+03 Gain (dB)

Phase (°) p

z p p

F( )=1− =1+τ

1

+5,71° +3dB

+45°

+84,29°

+45°/décade

+20dB/décade

22

-40 -30 -20 -10 0 10 20

0,01 0,10 1,00 10,00 100,00

Pulsation réduite (u)

Gain (dB)

m=0,2 m=0,3 m=0,5 m=0,7 m=1

Représentation d’un 2

ordre passe- bas

-40dB/décade

2

1 ) 1

( u mju u

F = + −

23

Représentation d’un 2

ordre passe- bas

-180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0

1,0E-02 1,0E-01 1,0E+00 1,0E+01 1,0E+02

Phase (°)

m=0,2 m=0,5 m=0,7 m=1 m=2

décade m /

90 °

−

24

-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10

0,01 0,10 1,00 10,00 100,00

Pulsation réduite (u)

Gain (dB)

m=0,2 m=0,2 m=0,5 m=1 m=1 20.log(2m)=20.log(2)=6dB

20.log(0,4)=-8dB

Représentation d’un 2

ordre passe- bande

2

1 ) 2

( mju u

u mju

F = + −

25

Prise en compte d’un gain ?

Chapitre I : rappels ERII 3

• Généralités sur les systèmes électroniques analogiques

– Notions élémentaires

– Fonctions linéaires élémentaires

– Fonction de transfert et représentations d’un système linéaire

– Propriétés générales des systèmes bouclés

• Filtres actifs à base d’AOP

26

Système rebouclé (ou asservi)

• Cas général

– E et S sont des grandeurs physiques quelconques

– Aβest sans dimension

– Eα et βS sont de même dimensions

• En électronique

– E et S sont une tension et un courant

A

E S

+

β α -

Chaîne d’entrée Chaîne de retour

Chaîne directe

27

Configurations possibles

• Si l’amplificateur est contrôlé en tension l’entrée est dite série

• Si l’amplificateur est contrôlé en courant l’entrée est dite parallèle

A

V_e +-

Soustracteur

I_e A

I_fb I_ε

28

Configurations possibles

• Sortie en tension contrôlée en tension (Série/Parallèle) = Amplificateur de tension

Ve

β

A_v

Vfb + -

Vs

A_v

Ve +-

β

Vs

v v e

s

A A V

G V

β

= +

= 1

29

Configurations possibles

• Sortie en tension contrôlée en courant

(Parallèle/Parallèle) = Convertisseur courant / tension

A_Ω

Ie

β

Vs

β

A_Ω

Ifb + -

Ie Vs

Ω

+ Ω

=

= A

A I

G V

e s

β 1

30

Configurations possibles

• Sortie en courant contrôlée en courant (Parallèle/Série) = Amplificateur de courant

A_I

Ie

β

R_L I_L

β

A_I

Ifb + -

Ie R_L

I_L

I I e

L

A A I

G I

β

= +

= 1

31

Configurations possibles

• Sortie en courant contrôlée en tension

(Série/Série) = Convertisseur tension / courant (amplificateur de transconductance, Gm)

G_m

βΩ

R_L I_L

Ve +-

Vfb

βΩ

G_m

+

- R_L

I_L

Ve Vfb

m L

G G V

G I

+ Ω

=

= ¹ β

32

Propriétés générales des systèmes bouclés

• Cas d’une Contre-réaction tension / tension

• Stabilisation du gain

A A V

G V

e s

β

= +

= 1

A

Ve Vs

+

β -

( ^A ) ^dA

dG

1 1

β

= +

A dA A G

dG

β

= + 1

1

33

Propriétés générales des systèmes bouclés

• Elargissement de la bande passante

– l’amplificateur est un passe-bas dominé par son premier pôle

– Conservation du produit gain-bande

• Amélioration de la linéarité

p p A

A = +τ ) 1

( A p

p A

G 1 '

1 ) 1

( β⋅ +τ

= +

β τ τ

+A

=1 '

( )

( )

( ) ( )





 + + + ⋅

= + +

+ + + ⋅

+ = +

= + 2 1

2 1 1

1 1 1

1 1 1 1 1

1 1

1 V

A A A A V

A A V A

A A

G A

β λ β β

λβλ β β

β λε λε

34

Propriétés générales des systèmes bouclés

• Réjection du bruit

A_v

Ve Vs

++ Vn

A_v1

Vs1 ++

Vn1 β -







 + +

= +

v n n e v v

v v

s A

V V A V

A A

V A ¹

1 1

1 1 β

35

Résistance d’entrée d’un ampli contrôlé en tension (série)

V_e +

- R_i

+

-

V_fb R_sfb V_ε

A

V_e +-

β

V

= V

+ (R

+R

)I

V

= Aβ.V

= Aβ.R

I

(

)

(

)

I R

R_e =V^e = _i⋅ 1+ + _sfb ≅ _i⋅ 1+

36

V_ε=V₊-V_-

Résistance d’entrée d’un ampli contrôlé en courant (parallèle)

I_e A

β I_ε

I_fb

R_i

I_fb0 R_sfb I_e I_ε

I_fb

i e fb

sfb e i e fb

e R

A V I A R I

V R I V

I = ₀+ + avec ₀ = β. _ε = β.

( )

sfb

sfb i e

e

e R A R

R R I

R V

+ +

= ⋅

= ¹ β

β A R I

R V ⁱ

e e

e = = +

⇒ 1

>> _i

sfb R

R

37

Résistance de sortie d’un ampli à tension de sortie stabilisée

A

V_s β

R_ifb +

- V_s0 R₀ s

s A V

V =− β

⇒ ₀

nul entrée d' Signal

β A R_s R

= + 1

0











 + +

=

− +

=

ifb s

ifb s s s

s R R

V A R

V R

V

I V 1 1

0 0

0 β

( )

0

1 A R

R

R R I

R V

ifb

ifb s

s

s = = + +

⇒ β

>>R0⇒ R_ifb

38

I_s

V_s +

Résistance de sortie d’un ampli à courant de sortie stabilisé

A

β

R_L I_L

( )

(

)

I R I R V

I I R I R V

X X

ifb X

X X

ifb X

+

−

−

=

⇒

−

−

−

=

0 1

0 0

( )

X

s R A R

I

R V = + +

=−

⇒ 0 ¹ β

(

)

R R R

R_ifb << ₀ ⇒ _s = ₀ 1+

39

I₀ R₀

R_ifb

I_X V_X

IX

A I =− β

⇒ ₀

nul entrée d' Signal

Propriétés générales des systèmes bouclés

• Résumé

– Stabilisation du gain

– Amélioration de la linéarité

– Amélioration de la résistance d’entrée – Amélioration de la résistance de sortie – Réjection du bruit

– Elargissement de la Bande Passante – Conservation du produit gain-bande

• B.O. Gain : A₀ ; BP : 1/τ

• B.F. ^{0 1 A0} β G A

= +

τ β

τ ⁰

1 1 = +A

40

Chapitre I : rappels ERII 3

• Généralités sur les systèmes électroniques analogiques

• Filtres actifs à base d’AOP

– Cellules passe-bas et passe-haut du 1^erordre – Sallen-key passe-bas et passe-haut du 2^nd ordre

41

Filtres passe-bas du 1

ordre

p p

F = +τ 1 ) 1 (

-

+ V_S

R R(A_v-1) V_e R

C -

+ V_S

V_e R C

p p A

F ^V

τ

= + ) 1 (

- +

V_S R/A_V

V_e

C

R

p p A

F ^V

τ

− +

= 1 ) (

42

Filtres passe-haut du 1

ordre

p p p

F ττ

= + ) 1 (

p p p A

F ^V

ττ +

= ⋅ ) 1 (

p p p A

F ^V

ττ +

− ⋅

= 1 ) (

-

+ V_S

R R(A_v-1) R

V_e C

-

+ V_S

V_e

R C

- +

V_S A_V.C

V_e

C

R

43

Réalisation d’un 2

ordre

• La mise en cascade de deux blocs du premier ordre conduit à une fonction de transfert du 2

ordre :

• Ce qui donne par identification :

( )( )

2 0

2

0 2

1

2

1

) ( 1

1

) ) (

(

ω ω τ

τ ^p

m p p H p

p p p H

F

+ +

+ =

= +

0 par

donné est extremum l'

dont

2 _{1 2 1}

2

1 =

∂

∂

= +

τ τ

ττ

τ ^m

m

(minimum) 1

4 0 ^{1 2}

2 2 2

1 − = ⇒ = ⇒ =

∂ =

∂m m

τ τ τ

τ τ τ

τ τ τ τ

2 1 0

1 τ ω = τ

44

Chapitre I : rappels ERII 3

• Généralités sur les systèmes électroniques analogiques

• Filtres actifs à base d’AOP

– Cellules passe-bas et passe-haut du 1er ordre – Sallen-key passe-bas et passe-haut du 2^nd ordre

45

Cellule passe-bas de Sallen-Key

-

+ V_S

R R(Av-1)

R R C₂

V_E

C₁

1 ) 2

( )

( ) (

2 2

1 2

2 1

2 + + − +

= R CC p RC RC ARC p A

p V

p V

v v

e s

1 2 2

1 0

2 1 2 2

0 2

1 2 et 1 1 1

1 C

C Q m

C C C R

C

A_v = ⇒ω = R ⇒ω = = =

2 0 2 0

2 0

) (

) (

ωω ω +

⋅ +

=

Q p p p A

V p V

v e

s

Av

Q m C RC

C = ⇒ = = = −

3 1 2

et 1 ₀ 1

2

1 ω

46

Cellule passe-haut de Sallen-Key

2 0 2 0

2

) (

) (

ω ₊ω +

⋅

=

Q p p A p p V

p V

v e

s

2 1 2

1

0 2

1 2 et 1 1

1 R

R Q m

R R C

A_v = ⇒ω = = =

Av

Q m C R R

R = ⇒ = = = −

3 1 2

et 1 1

1 0 2

1 ω

-

+ V_S

R R(A_v-1) R₂

V_E

R1

C C

A

1 ) 2

( )

( ) (

1 1

2 2 2 2 1

2 2 2 1

+

− +

= +

p C R A C R C R p C R R

p C R R A p

V p V

v v

e s

47