1.I.2 - Chap. 03 G´eometrie ´el´ementaire du plan 1 / 1
G´ eom´ etrie ´ el´ ementaire du plan : Annexe
A Notion d’espace vectoriel
A.1 D´ efinition
Rappel A.1.1 On a vu que (C,+,×) est un corps commutatif. C’est aussi le cas de (R,+,×).
D´efinition A.1.2 Kd´esigne le corps commutatifRouC.
On appelleK-espace vectoriel(K−ev) tout ensembleEmuni d’une loi de composition interne«addition»
tel que (E,+) est un groupe commutatif et d’une loi«multiplication par un scalaire»λ∈K(autrement dit une application deK×E dansE qui `a (λ, x) associeλx).
Tout ´el´ement de Eest appel´evecteur.
Remarque A.1.3 Cette d´efinition esttr`es incompl`ete! En effet pour queE soit un espace vectoriel il faut que les lois «addition» et «multiplication par un scalaire» v´erifient certaines propri´et´es qu’il est trop tˆot de d´etailler. Nous ´etudierons cela dans le chapitre 12.
A.2 Exemple
Rappels A.2.1
(i) On d´efinit (dans le secondaire) l’addition vectorielle de la fa¸con suivante : pour tout (#»
u ,#»
v)∈ #»
P2, on note O,A,B etC des points tels que # »
OA=#»
u, # » OB=#»
v etOACB est un parall´elogramme alors #»
u+#»
v est le vecteur # »
OC.
O
A B
C
#»u
#»v
#»u+#»v
1 (ii) Pour toutk∈R,k#»
u est le vecteur : – de mˆeme direction que #»
u – de norme|k| |#»
uk – de mˆeme sens que #»
u sik>0, de sens contraire sik <0.
Une telle d´efinition permettrait de d´emontrer la propri´et´e et le th´eor`eme suivant (cela est du au fait que par tout point passe une unique droite parall`ele `a une droite donn´ee) mais nous l’admettrons :
Propri´et´e A.2.2 (#»
P,+) est un groupe commutatif.
Th´eor`eme A.2.3 #»
P est unR-espace vectoriel.
On admet ´egalement la propri´et´e suivante :
Propri´et´e et d´efinitions A.2.4 Une baseB= (#»
ı ,#»
) ´etant choisie, tout vecteur #»
u ∈ #»
P s’´ecrit de fa¸con unique sous la forme #»
u=x#»
ı +y#»
o`u (x, y)∈R2. Le couple (x, y) est appel´ecoordonn´eesde #»
u dans la base B.
Une telle ´ecriture est appel´eecombinaison lin´eairede #»
ı et #»
.
St´ephanePasserat– TSI1 – Lyc´ee LouisVincent
