TD 4bis
En écho au DM5 + trigo.
T.S
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My Maths Space - 2016
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Utilisation d’une fonction auxiliaire, utilisation du taux d’accroissement. Étude d’une fonction trigonométrique.
EXERCICE 1 : On considère la fonctionf définie surRpar f(x) = x3−4
x2+ 1 et on note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
Étude d’une fonction auxiliaire
On poseg(x) =x3+ 3x+ 8.
1. Étudier le sens de variation de la fonctiong, et montrer que l’équation g(x) = 0 admet surR une unique solutionα dont on donnera un encadrement d’amplitude 0,1.
2. Préciser le signe deg(x) delon les valeurs dex.
Étude de f
1. Calculerf′(x) et étudier le sens de variation def.
2. Étudier les limites def en +∞et en −∞, puis dresser le tableau de variations def.
Asymptote à Cf et tangentes
1. Montrer qu’il existe 4 réelsa, b, cet dtels que
f(x) =ax+b+cx+d x2+ 1
2. On considère la droite ∆ d’équation y =x. Étudier les positions relatives de ∆ et de Cf (on portera une attention particulière à un rapprochement éventuel des deux courbes).
Vérifier en particulier que ∆ etCf se coupent en un unique pointA.
3. Déterminer les abscisses des pointsB etB′ deCf admettant une tangente parallèle à ∆.
4. Vérifier quef(α) =3
2α; en déduire une valeur approchée def(α).
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EXERCICE 2 : Soitf(x) = cos(x)−cos2(x) définie surR.
1. Calculerf(−x) pour toutxdeR. Que peut-on en déduire pour la courbe def? 2. Pour toutxdeR, calculerf(x+ 2π) etf(x+π). La fonctionf est-elle périodique ? 3. Étudier les variations def sur [0;π] et dresser le tableau de variations.
4. Tracer la représentation graphique def sur [0;π] en plaçant les points d’abscisses 0,π3,π2 etπ avec leurs tangentes.
5. En déduire le tracé deCf sur [−π;π].
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EXERCICE 3 : Dans les exemples qui suivent, étudier la limite def au pointa considéré en remarquant quef(x) est le taux d’accroissement d’une fonctiong, dérivable ena.
1. f(x) = cos(x)−1
x ;a= 0.
2. f(x) = sin(5x)
x ;a= 0.
3. f(x) =
√x+ 6−3
x−3 ; a= 3.
4. f(x) = (x+ 2)4−16
x ;a= 0.
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