MP 1 / 3

X Maths 1 MP 2007 — Énoncé 1/3

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE

MP

CONCOURS D’ADMISSION 2007

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

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Régularisation de fonctions

Ce problème présente un procédé d’approximation de fonctions par des fonctions plus régu- lières.

Pour tout entier k > 0 on désigne par C_per^k l’espace des fonctions d’une variable réelle à valeurs complexes,2π-périodiques et de classeC^k; on note de mêmeC_per^pml’espace des fonctions 2π-périodiques et continues par morceaux. Pour toute fonctionfdeC_per^pmon définit ses coefficients de Fourier par

fˆ(n) = 1 2π

Zπ

−πf(x)e^−inxdx , n∈Z. Étant donné une suite(αn)n∈Z, on dit que la série^X

n∈Z

αn est convergente si les séries^X

n>0

αn

et^X

n>1

α−n le sont, et on pose alors

X

n∈Z

α_n=^X

n>0

α_n+^X

n>1

α_−n.

Première partie 1.Dire pour quelles valeurs du couple(t, x)∈R²la série ^X

n∈Z

e^−|n|te^inxest convergente.

On suppose maintenantt >0et on noteP(t, x)ouPt(x)le nombre ^X

n∈Z

e^−|n|te^inx.

2.Vérifier queP(t, x)est réel. Calculer Z_π

−πP(t, x)dx.

3.a)Montrer que la fonctionP, définie sur l’ensembleR^∗+×R, est indéfiniment différentiable, et écrire ses dérivées partielles ∂^p+q

∂t^p∂x^qP(t, x)sous forme de sommes de séries.

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X Maths 1 MP 2007 — Énoncé 2/3

3.b)Calculer ∂²P

∂t² +∂²P

∂x² .

4.Déterminer les coefficients de Fourier de la fonctionPt.

5.Dire pour quelles valeurs du couple(t, x)∈R²on a1−2e^−tcosx+e^−2t= 0.

On suppose maintenantt >0.

6.Démontrer l’égalité

P(t, x) = 1−e^−2t 1−2e^−tcosx+e^−2t et préciser le signe de cette expression.

7.Démontrer les assertions suivantes. On supposex∈[−π, π]et on fait tendretvers 0 par valeurs supérieures ; alorsP_t(x)tend vers 0 six6= 0, vers+∞ six= 0, et la convergence est uniforme sur tout ensemble de la forme[−π,−a]∪[a, π]oùa∈]0, π[.

Deuxième partie

Dans cette seconde partie on se donne une fonctionf deC_per^pm; on suppose toujourst >0.

8.Vérifier que la série ^X

n∈Z

fˆ(n)e^−|n|te^inxest convergente.

Sa somme sera notéeΦ_f(t, x)ouΦ_f,t(x).

9.Montrer que la fonctionΦ_f, définie sur l’ensembleR^∗+×R, est indéfiniment différentiable, et écrire ses dérivées partielles sous forme de sommes de séries.

10.CalculerΦ_f,t(x)− 1 2π

Z_π

−π

P_t(x−y)f(y)dy.

11. On supposef ∈C_per^k , k>0. Montrer que, lorsque t→0,Φ^(p)_f,t converge uniformément versf^(p)pour toutp6k.

Troisième partie

12. Étant donné un nombre réel α > 1, montrer qu’il existe un réel µ_α tel que l’on ait (1 +u)^α6µα(1 +u^α)pour toutu>0.

Pour toutα>0on noteE_αl’ensemble des fonctionsf deC_per^pmsatisfaisant X

n∈Z

|fˆ(n)|²(1 +n²)^α<+∞.

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X Maths 1 MP 2007 — Énoncé 3/3

On pourra admettre que cet ensemble est un sous-espace vectoriel deC_per^pm. 13.a)Montrer que, pour tout entierk>0, on aC_per^k ⊂E_k.

13.b)A-t-onC_per^k =E_k?

13.c)Montrer queE_α⊂C_per^k sik>0etα > k+ 1/2.

[On pourra traiter d’abord le cas oùk= 0].

Dans la suite du problème, on se donne un nombre réelr>0; pour tout(t, x)∈R^∗+×R, on poseϕ_t(x) =x^re^−tx.

14.Exprimer le nombreC=t^r+1 Z_+∞

0

ϕ_t(x)dxà l’aide de la fonctionΓet vérifier qu’il est indépendant det.

15.Montrer que^X

n>1

n^re^−tntend vers+∞lorsquet→0.

16.Étant donné un réelτ >0, déterminer un réelC^′tel que l’on ait X

n>1

n^re^−tn6C^′t^−r−1 pour tout t∈]0, τ].

On se donne maintenant une fonctionf ∈Eαpour un certainα∈]¹₂,1]; on désigne encore par τun réel>0.

17.a)Déterminer un réelC^′′ tel que l’on ait

∂

∂tΦ_f(t, x)

6C^′′t^α−3/2 pour (t, x)∈]0, τ]×R.

17.b)Déterminer un réelC^′′′tel que l’on aitkΦ_f,t−fk_∞6C^′′′t^α−1/2pour toutt∈]0, τ], où l’on a posé, pour toute fonctiongbornée surR,

kgk_∞= sup

x∈R

|g(x)|.

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