MPSIA 2012/2013
Devoir en temps limit´e n˚13
vendredi 14 juin 2013
Les calculatrices et les t´el´ephones portables ne sont pas autoris´es.
Si, au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen´e `a prendre.
Le plus grand soin sera port´e `a la r´edaction ainsi qu’`a la pr´esentation de la copie. Environ deux points sur vingt y seront consacr´es dans le bar`eme de correction.
Les trois exercices sont ind´ependants. L’´enonc´e contient 2 pages.
Exercice I
On d´esigne par x1, x2, x3 les coordonn´ees canoniques de R3. Par d´efinition une fonction polynomiale (ou polynˆome) homog`ene surR3 de degr´eN, o`uN ∈N, est une combinaison lin´eaire `a coefficients r´eels de monˆomes x1i1x2i2x3i3, o`ui1,i2, i3∈Neti1+i2+i3=N.
On convient que la fonction nulle est un polynˆome homog`ene de degr´eN pour toutN ∈N. 1. (a) Soitf une fonction de classeC1 surR3, nulle en 0, dont les d´eriv´ees partielles ∂f
∂x1
, ∂f
∂x2
, ∂f
∂x3
sont des fonctions polynomiales homog`enes surR3 de degr´eN.
Montrer quef est une fonction polynomiale homog`ene de degr´eN+ 1.
(b) Soitf une fonction de classeCN surR3 qui v´erifie
f(λx1, λx2, λx3) =λNf(x1, x2, x3) pour tousx1, x2, x3∈ R,λ∈ R.
Montrer quef est une fonction polynomiale homog`ene surR3 de degr´eN.
2. Montrer que, sif est une fonction polynomiale homog`ene surR3de degr´eN, alors x1
∂f
∂x1
+x2
∂f
∂x2
+x3
∂f
∂x3
=N f.
3. On d´esigne parFN l’espace vectoriel des polynˆomes homog`enes sur R3de degr´eN. Trouver la dimension deFN. 4. Soit ∆ = ∂2
∂x21 + ∂2
∂x22 + ∂2
∂x23 le laplacien sur les fonctions surR3.
Une fonctionf de classeC2 surR3telle que ∆f = 0 est appel´eeharmonique.
SoitHN ={f ∈ FN |∆f = 0} l’espace vectoriel r´eel des polynˆomes homog`enes harmoniques surR3 de degr´eN. On se propose de d´eterminer la dimension deHN, not´ee dimHN.
(a) Montrer que, pourN≥2, ∆ (FN)⊂ FN−2. En d´eduire que dimHN≥2N+ 1.
(b) On poser: (x1, x2, x3)7→q
x21+x22+x23.
Soitk∈N, 0≤2k≤N, et soitg∈ FN−2k. Calculer ∆ r2kg
en fonction deg, ∆g,r,N,k.
5. Soitf ∈ HN,N≥2. On suppose qu’il existe g∈ FN−2 tel quef =r2g.
(a) Montrer qu’il existe une fonctionh∈ F0∪ F1 surR3telle quef =r2Kh, o`uK est la partie enti`ere de N 2. (b) Montrer quef = 0.
6. (a) Montrer que, siN≥2, dimHN≤ dimFN−dimFN−2. (b) Quelle est la valeur de dimHN?
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Devoir en temps limit´e n˚13
vendredi 14 juin 2013
Exercice II
Pour tout entiern>2 et tout vecteura= (a1,· · ·, an)∈Rn, on notekak2=
n
X
k=1
ak2 etqn(a) = X
16k,i6n
aiak
i+k−1. On s’int´eresse `a la limite de la suite d´efinit parHn = qn(a)
kak2 lorsquentend vers +∞.
On admet que pour touta∈Rn, 06qn(a)6πkak2. 1. Montrer que pour tout r´eelt >0, arctan(t) + arctan
1 t
= π 2. 2. Soitnun entier,n>2. On noteDn = [1, n]×[1, n], Γn = [1,√
n]×[1,√ n] et In =
ZZ
Dn
√ dxdy
xy(x+y−1) et Jn= ZZ
Γn
dudv u2+v2 (a) En utilisant le changement de variable (x, y) = (u2, v2), montrer queIn>4Jn. (b) On noteKn=
Z
√n
1
arctan(x)
x dxet Ln= Z
√n
1
1 xarctan
x
√n
dx.
Montrer queJn =Kn−Ln.
(c) En majorant arctan(t), montrer que 0< Ln61.
3. (a) Justifier l’existence de lim
x→+∞
Z x
1
1 t arctan
1 t
dt
. (b) Montrer queKn ∼
n→+∞
π 4ln(n).
(c) En d´eduire que queJn ∼
n→+∞
π 4ln(n).
4. Pour un entiern>2, on d´efinit l’´el´ement deRn :a= (1, 1
√
2, . . . , 1
√n).
(a) i. Montrer que pour tout entierk>1, 1
k+ 1 6ln(k+ 1)−ln(k).
ii. En d´eduire quekak261 + ln(n).
(b) Montrer queIn6qn(a) et en d´eduire que 4Jn6qn(a).
(c) En d´eduire la limite deHn lorsquen→+∞.
Exercice III
Le plan euclidien orient´e est rapport´e au rep`ere orthonorm´e direct (O;−→e1,−→e2).
Soit Γ la courbe ayant pour repr´esentation param´etrique t7→M(t) :
x(t) = 2 ch(t) y(t) = 3 sh(t) 1. Montrer que Γ est une portion de conique dont on pr´ecisera la nature et l’excentricit´e.
2. Former une ´equation cart´esienne de chacune des asymptotes de Γ. Tracer proprement la courbe Γ et ses asymptotes.
3. D´eterminer le rep`ere de Fr´enet
M(t);−−→
T(t),−−→
N(t)
au pointM(t) de la courbe Γ.
4. D´eterminer le rayon de courbureR(t) au pointM(t) de la courbe Γ.
5. On d´efinit le centre de courbure Ω(t) au pointM(t) de la courbe Γ par la relation
−−−→OΩ(t) =−−−−→
OM(t) +R(t).−−→
N(t).
D´eterminer les coordonn´ees du centre de courbure Ω(t).
2
