Limites et continuité cours terminale

2éme Bac PC-SVT www.etude-generale.com

Matiére : Mathématique Professeur : Yahya MATIOUI

Chapitre 1 Limites et continuité

1 Continuite d’une fonction en un point

1.1 Dé…nition et exemples

Dé…nition 1 Soit f une fonction dé…nie sur un intervalleI, et soit x₀ 2I:

On dit que f est continue en x₀ si et seulement si

xlim!x0

f(x) = f(x₀) Exemple 2 On considère la fonction f telle que :

f(x) = ^{px2+1 1}_x ; x6= 0 f(0) = 0

1. Étudier la continuité en 0

xlim!0f(x) = lim

x !0

px²+ 1 1 x

= lim

x !0

x² x(p

x²+ 1 + 1)

= lim

x !0

p x

x²+ 1 + 1

= 0

p0 + 1 + 1 = 0 =f(0) Donc, f est continue en 0:

2. Soit f la fonction dé…nie par :

f(x) = ^x2+x_{x 3}¹²; x 6= 3 f(3) = 7

Étudier la continuité en 3

xlim!3f(x) = lim

x !3

x²+x 12 x 3

= lim

x !3

(x+ 4) (x 3)

x 3

= lim

x !3x+ 4

= 3 + 4

= 7 =f(3) Donc, f est continue en 3:

2 Continuité à droite et à gauche

Dé…nition 3 Soit f une fonction dé…nie sur un intervalle[a; a+r[ (ou r 0)

On dit que la fonctionf est continue a droite de asi f admet une limite

…nie à droite de a et

lim

x7 !a⁺f(x) =f(a)

Soit f une fonction dé…nie sur un intervalle de la forme ]a r; a] (ou r 0)

On dit que la fonctionf estcontinue a gauche de asif admet une limite

…nie à gauche de a et

lim

x7 !a f(x) =f(a)

Théorème 4 Une fonction est continue en un pointa si et seulement si elle est continue à droite et à gauche de a:

Preuve 5 Voir la série d’exercices.

Exemple 6 Considèrons la fonction f dé…nie par : 8<

:

f(x) = ^2x_x³2 ^xx ¹⁴2 ; si x 2 f(x) = _2x2^x+x² 10; si x 2

f(2) = ¹₉ Étudier la continuité de la fonctionf en 2

3 Continuité sur un intervalle

Propriété 7 Soit f une fonction dé…nie sur un intervalle [a; b]: On dit que f est continue sur [a; b] si et seulement si :

1. f est continue en tout point de ]a; b[: 2. f est continue à droite a et à gauche b:

Résultats importants

1. Tout fonction polynôme est continue surR:

2. Toute fonction rationnelle est continue sur son ensemble de dé…nition.

3. Les fonction x7 !sinx etx7 !cosxsont continues sur R 4. La fonction x7 !tanx est continue sur Rn ₂ +k ; k 2Z : 5. La fonction x7 ! x¹ est continue sur R :

6. La fonction x7 !p

x est continue sur R⁺:

7. La fonction valeur absoluex7 ! jxj est dé…nie et continue sur R: Propriété 8 Soient f et g deux fonctions dé…nies sur un intervalle I. Si les fonctions f et g sont continues sur I, alors :

1. Les fonctions f+g; f g et f sont continues en I

2. Si la fonction g est non nulle sur I; alors ^f_g est continue sur I:

3. Si f 0 sur I alors la fonction p

f est continue sur I:

Exemple 9 Étudier la continuité des fonctions suivantes surD_f: 1. f(x) =x³+x 1

2. f(x) =p

x²+x+ 3 3. f(x) = ^4x_x2³+2x^+x+13

4. f(x) = x²+x+ 1; si x 0 f(x) = ^sinx_x , si x 0

4 L’image d’un intervalle par une fonction continue

4.1 Image d’un segment (Intervalle fermé)

Activité

On considère la fonctionf dé…nie sur R par:f(x) =x²+ 2x

Le graphe ci-dessous est le graphe de la fonction f dans un repère or- thonormé.

2 3

-1 -2 -3 -4 -5

2 3 4 5

-1

-2

0 1

1

x y

Déterminer graphiquement les images des intervalles suivants : [0;1] , [ 3; 1]; [ 3;1]:

Théorème 10 (Admis)

L’image d’un segment [a; b] par une fonction continue est le segment [m; M] où

m= min

x2[a;b]f(x) et M = max

x2[a;b]f(x)

4.2 Image d’un intervalle.

Théorème 11 (Admis)

L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Cas d’une fonction strictement monotone :

L’intervalle I f est strictement croissante surI f est strictement décroissante surI

[a; b] [f(a); f(b)] [f(b); f(a)]

]a; b] lim

x7 !a⁺

f(x); f(b) f(b); lim

x7!a⁺

f(x)

[a; b[ f(a); lim

x !b f(x) lim

x !b f(x); f(a)

]a; b[ lim

x !a⁺f(x); lim

x !b f(x) lim

x !b f(x); lim

x !a⁺f(x) [a;+1[ f(a); lim

x !+1f(x) lim

x !+1f(x); f(a) ]a;+1[ lim

x !a⁺f(x); lim

x !+1f(x) lim

x !+1f(x); lim

x !a⁺f(x)

] 1; a] lim

x7 ! 1f(x); f(a) f(a); lim

x ! 1f(x)

] 1; a[ lim

x ! 1f(x); lim

x !a f(x) lim

x !a f(x); lim

x ! 1f(x)

Exemple 12 Soit f une fonction dé…nie sur ] 1; 1[[] 1;+1[ par : f(x) = 2x 3

x+ 1

Déterminer l’image des intervalles suivants par la fonction f:

[0;1]; [ 2; 1[; ] 1;1] et [2;+1[

Remarque 13 Si f n’est pas strictement monotone sur l’intervalle I, on peut utiliser les propriétés précédentes en subdivisant l’intervalle I en inter- valles où f est strictement monotone et on utilise la propriété: f(I₁[I₂) = f(I₁)[f(I₂):

5 Fonction réciproque d’une fonction continue et strictement monotone.

5.1 Théorème et applications

Théorème 14 Soitf une fonction dé…nie continue et strictement monotone sur un intervalle I; alors f admet une fonction réciproque f ¹ dé…nie sur J =f(I) vers I:

Exemple 15 Soit f la fonction numérique dé…nie sur [0;3] par: f(x) =x³+x

Montrer que f admet une fonction réciproque dé…nie sur un intervalle J à déterminer.

La continuité de la fonction f sur [0;3]:

f est une fonction polynôme continue sur R et surtout sur [0;3]: La monotonie (strictement) de f sur [0;3]:

La fonction f est dérivable [0;3]: Calculons f⁰(x) pour tout x de [0;3] : f⁰(x) = (x³+x)⁰ = 3x²+ 1

Soit x2[0;3]:

0 x 3 () 0 3x² 27 () 1 3x²+ 1 28

Ceci signi…e que : f⁰(x) 0, pour tout x de [0;3]: Donc, f est strictement croissante sur [0;3]:

On conclut que la fonction f admet une fonction réciproquef ¹ dé…nie sur J:

On cherche J:

On a : J =f([0;3]) = [f(0); f(3)] = [0;28]: Donc : J = [0;30]: 5.1.1 Propriétés de la fonction réciproque

Propriété 16 Si f admet une fonction réciproque f ¹ de J = f(I) vers I alors f ¹ à la même monotonie sur J que celle de f sur I:

Propriété 17 La fonction réciproque f ¹ est continue sur J =f(I):

Propriété 18 Si f admet une fonction réciproque f ¹ de J = f(I) vers I alors (C_f ¹) et (C_f) sont symétriques par rapport à : ( ) :y=x:

2 3 4 5 6 7 8

-1 2 3 4 5

0 1

1

x y

Remarque 19 A remarquer que la symétrie des deux courbes concerne toutes leurs composantes les symétriques, les tangentes et demi-tangentes...

6 Théorème des valeurs intermédieres T V I

6.1 Cas général

Théorème 20 (T:V:I)

Théorème 21 On considère la fonction f dé…nie et continue sur un inter- valle [a; b]:

Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l’équation f(x) = k admet au moins une solution dans l’intervalle [a; b]:

6.2 Cas f est strictement monotone

Théorème 22 Soit f une fonction continue strictement monotone sur [a; b].Pour tout compris entref(a)etf(b)il existeun et un seulc2[a; b]

tel que f(c) = :

Corollaire 23 Soit f une fonction continue sur [a; b] .

Si f(a) f(b) 0 il existe au moins un c2[a; b] tel que f(c) = 0:

Exemple 24 Montrer que l’équation x³ 3x²+ 1 = 0 admet au moins une solution dans l’intervalle [ 1;3]:

On considère la fonction f dé…nie par : f(x) =x³ 3x²+ 1

* f est une fonction polynôme continue sur R, et surtout sur [ 1;3]:

* Calculons f( 1) et f(3):

On a :f( 1) = 3 et f(3) = 1. Donc :f( 1) f(3) 0:

Alors, d’après le T.V.I l’équation x³ 3x² + 1 = 0 admet au moins une solution dans l’intervalle [ 1;3]:

Autrement dit

9c2[ 1;3] = f(c) = 0

Corollaire 25 Soit f une fonction continue strictement monotone sur [a; b]:

Si f(a) f(b) 0 il existe un et un seul c dans [a; b] tel que f(c) = 0

Exemple 26 Montrer que l’équationx cosx= 0admet une unique solution dans l’intervalle [0; ]:

On considère la fonction f dé…nie par : f(x) =x cosx

* La continuité de la fonction f sur [0; ]:

La fonction f s’écrit comme la di¤érence de deux fonctions : u : x 7 ! x et v :x7 !cosx:

u est une fonction polynôme continue sur R; et surtout sur [0; ]: v est une fonction trigonométrique continue sur R; et surtout sur [0; ]: Donc, la fonction f est continue sur [0; ], comme la di¤érence de deux

fonctions continues sur [0; ]:

* La monotonie (strict) de la fonction f sur [0; ]: La fonction f est dérivable sur [0; ], et on a :

f⁰(x) = 1 + sinx Soit x2[0; ].

On a : sinx 0, donc 1 + sinx 0: C’est-à-dire : f⁰(x) 0:

Ce qui signi…e que la fonction f est strictement croissante sur [0; ]:

* Calculons f(0) et f( ):

On a : f(0) = 1 et f( ) = + 1: Donc :f(0) f( ) 0:

Alors, d’après le TVI l’équation x cosx = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [0; ]:

Autrement dit :

9!c2[0; ] = f(c) = 0

7 Fonctions composèes

7.1 Composition et continuité

Théorème 27 Soient f une fonction dé…nie sur un intervalle I et g une fonction dé…nie sur un intervalle J tels quef(I) J:

Si f est continue sur I et g est continue sur J alors g f est continue sur I:

Exemple 28 On considère la fonction f dé…nie par : f(x) = p

1 cosx Montrer que la fonctionf est continue sur R:

8 La fonction racine n-éme

8.1 Dé…nition et règles de calculs

Dé…nition 29 Soit n un élément de N , la fonction u : x 7 ! xⁿ est une fonction continue strictement croissante surR⁺ elle admet donc une fonction réciproque u ¹ dé…nie deR⁺ vers R⁺: La fonction réciproqueu ¹ s’appelle la fonction racine n eme et se note pⁿ:

Propriété 30 1. La fonction x7 ! pⁿ

x est dé…nie sur R⁺: 2. (8x2R⁺) : pⁿ

x 0

3. (8x2R⁺)(8y2R⁺) : pⁿ

x=y () x=yⁿ 4. La fonction x7 ! pⁿ

x est strictement croissante sur R⁺ . 5. La fonction x7 ! pⁿ

x est continue sur R⁺; et dérivable sur R⁺: 6. (8x2R⁺)(8y2R⁺) : pⁿ

x= pⁿy () x=y 7. (8x2R⁺) : (pⁿ

x)ⁿ= pⁿ

xⁿ=x 8. (8x2R⁺)(8y2R⁺) : x y () pⁿ

x pⁿy Propriété 31 (Calculs des limites)

1. lim

x !+1

px

x= +1 2. Si lim

x !+1u(x) = +1 alors lim

x !+1

pn

u(x) = +1: 3. Si lim

x !+1u(x) =l 0 alors lim

x !+1

pn

u(x) = pⁿ l:

Propriété 32 (Régles de calculs) 1. (8x2R⁺)(8y2R⁺) : pⁿxy= pⁿ

xpⁿy 2. (8x2R⁺)(8y2R+) : qⁿ

x y = ^npnp^xy

3. (8x2R⁺)(8n 2N )(8p2N ) : (p^p p_n

x= ^npp x)

4. (8x2R⁺)(8n 2N )(8p2N ) : (^npp

x^p = pⁿ x) Exemple 33 p³ p

64 = p⁶

64 = p⁶ 2⁶ = 2 Exemple 34 Simpli…er le nombre suivant :

A =

15p

3⁵ p³ 9 p⁵

9³ p5

3 Remarque 35 (8x2R⁺); p²

x=p x (8x2R⁺); p¹

x=x

8.2 La représentation graphique de la foncton racine n-éme

x y

Exemple 36 Résoudre dans R les équations suivantes : 1. x⁴ = 16

2. (x+ 1)⁵ = 32 3. x³+ 27 = 0 4. p³

2x 1 = 2

Solution 37 On résout les équations suivantes dans l’ensemble R:

1.

x⁴ = 16 () p⁴

x⁴ =p⁴

16 () jxj=p⁴

2⁴ () jxj= 2 () x= 2 ou x= 2 S =f 2;2g

2.

(x+1)⁵ = 32 () p⁵

(x+ 1)⁵ =p⁵

32 () x+1 = p⁵

2⁵ () x+1 = 2 () x= 1 S=f1g

3.

x³ = 27 () x³ = 27 () ( x)³ = 3³ () p³

( x)³ =p³

3³ () x= 3 S=f 3g

4. La 4^eme équation existe si et seulment si 2x 1 0; c’est-à-direx ¹₂: Donc :x2 ¹₂;+1 :

p3

2x 1 = 2 () (p³

2x 1)³ = 2³ () 2x 1 = 8 () x= 9 2 S = 9

2

8.3 L’expression conjuguai et ses applications

8.3.1 ordre 3 :

On sait que:a³ b³ = (a b)(a²+ab+b²) et a³+b³ = (a+b)(a² ab+b²):

Il en résulte : a b = _a2^a+ab+b^{3 b3 2} et a+b= _a2^a3ab+b^{+b3 2}: Par suite

(8x 2 R⁺)(8y2R+); p³

x p³ y= x y

p3

x²+p³xy+p³ y² (8x 2 R⁺)(8y2R+); p³

x+p³

y = x+y

p3

x² p³xy+p³ y² Exemple 38 Calculer la limite suivante : lim

x !4 p3

3x 4 p x

x 4 :

8.3.2 Ordre 4 :

(8x2R⁺)(8y2R+); p⁴

x p⁴ y= x y

p4

x³+p⁴

x²y+p⁴

xy²+p⁴ y³

Exemple 39 Calculer la limite suivante : lim

x !1 p4

20x 4 2 2x²+x 3 :

9 Puissance rationnelle

Dé…nition 40 Soit x un réel strictement positif et r un rationnel dont un représentant est ^p_q tel que (p; q)2Z N :

x^r =x^pq =p^q x^p

Propriété 41 Soit x et y deux réels strictement positifs, et r , r⁰ des ra- tionnels on a :

1. x^r+r0 =x^r x^r0 2. x^ry^r = (xy)^r 3. ^x_y^rr = (^x_y)^r 4. _x¹r =x ^r 5. (x^r)^r0 =x^rr0

FIN

Pr : Yahya MATIOUI