LANGAGE DES LMITES ET ASYMPTOTES Définition : xlim ( ² )x
; xlim ( ) x3 ;xlim 1x 0 ;
0
lim 1
x x lim ( )
x x
et
lim(0 ) 0
x x
f(x)=x 2
2 3
-1 -2 -3
2 3 4 5 6
-1
0 1
1 y
0 f(x)= x 3
-1 2 3 4
-1 -2 -3 -4
0 1
1 y
2 3 4 5 6 7
2
0 1
1
x f(x) =
f(x)=1/x
2 3 4
-1 -2 -3 -4
2 3 4
-1 -2 -3 -4
0 1
1
x y
o
( ) f x Limite en
x x2 x3 1
x 2
1
x 3
1 x
x 1
x
sin( )x cos( )x
lim ( )
x f x
0 0 0
0
lim ( )
x
f x
0 0 0 0 1
0
lim ( )
x f x
0 0 0 0 0 1
lim ( )
x f x
0 0 0 0
Opération sur les limites ( à admettre )
Soient f et g deux fonctions admettant chacune une limite lorsque x tend vers une valeur finie ou non . 1. La limite de f + g est la somme des limites sauf si on a : " " .
lim ( )f x m m
lim ( )g x m'
lim f g x( ) m m ' FI
2. La limite de fg est le produit des limites sauf si on a : "0".
lim ( )f x m m0 0
lim ( )g x m'
lim fg x( ) m m ' FI
3. La limite de gf est le quotient des limites sauf si on a : 0
" "
0ou
.
lim ( )f x m m m 0
lim ( )g x m' 0 0 m' 0 0
lim ( ) ( ) f x g x
'
m m
0 FI FI
de plus limkf klim f ATTENTION :
lim ( )f x lim ( )g x Limite indéterminée Type d’indétermination
f x( )g x( )
0 f x( )g x( ) 0
0 0 ( )
( ) f x
g x 00
( )
( ) f x g x
Pour lever certaines indéterminations on utilise les deux théorèmes suivants : Théorème 1
La limite d'une fonction polynôme quandxtend vers l'infini " " est la limite en " "
de son monôme de plus haut degré .
Exemples : 1 / lim ( 5 3 ² 1 ) ...
x x x
; 2 / lim ( 3 4 ) ...
x x x
Théorème 2
La limite en " " d' une fonction rationnelle définie par l'équation ( )
( ) ( )
f x u x
v x est la limite en " " du quotient des monômes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
Exemples : 4 3
lim ...
3
x
x x
; ² 5 2
lim ...
3
x
x x
x
;
Théorème 3
Soit a un réel, dire que la droite d’équation x a est asymptote à la courbe représentative de la fonction f signifie que la limite de f (x) est infinie quand x tend vers a. Soit lim ( ) ou lim ( )
x a f x x a f x
Les différents cas :
o
D C
x=a
lim ( )
x a
f x
x=a
C
D
O
lim ( )
x a f x
D
C o
a
lim ( )
x a f x
x=a
C D
O
lim ( )
x a f x
Exemples : 3
3
4 3
lim ...
3
xx
x x
1
1
2 ² 3 4
lim ...
1
xx
x x
x
Théorème 4
Soit b un réel, lorsque lim ( ) (resp. lim ( ) )
x f x b x f x b
alors la droite d’équation y = b est asymptote à la courbe C f représentative de la fonction f au voisinage de + ( resp. ) . L’étude du signe de f (x) b permet de préciser la position relative de la courbe par rapport à l’asymptote Les différents cas :
C
o
y=b
x m lim ( )
x f x b
et pour x < m f x( )b> 0 alors C est au dessus de
C
o
b
x m lim ( )
x f x b
et pour x < m f x( )b< 0 alors C est au dessous de
C
o
y=b
m x
lim ( )
x f x b
et pour x > m f x( )b> 0 alors C est au dessus de
o C
y=b
m x
lim ( )
x f x b
et pour x > m f x( )b< 0 alors C est au dessous de .
Exemples : lim 4 33 ...
x
x
x
2 2
4 3 4
...
lim 3
x
x x
x
Théorème 4
Dire que la droite d’équation y = a x + b est asymptote à la courbe représentative de la fonction f en + ( resp. en ) signifie que : lim ( ) ( ) 0 (resp. lim ( ) ( ) 0)
x f x ax b x f x ax b
Si la fonction f peut s’écrire f x( ) ( ax b ) g x( ) avec xlim ( ) 0g x
(resp. lim ( ) 0)
x g x
alors la droite d’équation y = a x + b est asymptote oblique à la courbe de f en + (resp. – ).
L’étude du signe de f (x) ( a x + b) permet de préciser la position relative de la courbe par rapport à l’asymptote .
Lorsque f (x) (a x + b) > 0 la courbe est au dessus de l’asymptote.
Lorsque f (x) (a x + b) < 0 la courbe est au dessous de l’asymptote.
Remarque Si a n'est pas nul , cette asymptote est dite oblique . Si a est nul , l'asymptote est horizontale . Exemples : f x( ) x 6 x41 ;
2 5 2
( ) 3
x x
f x x
. Les différents cas :
y=1
x = - 2
2 3 4
-1 -2 -3 -4 -5 -6
2 3 4 5
-1 -2 -3 -4
0 1
1
x y
(d): y = ax+b
x = 0
2 3 4
-1 -2 -3 -4
2 3 4
-1 -2 -3
0 1
1
x y
Limite d’une fonction composée
Propriété : Soient deux fonctions : f : f définie de I dans J et g de J dans R Si x alim ( ) f x b et x alim ( ) g x c alors lim
( ) lim
( )
x a g f x x ag f x c
.
Exemples
Calcul de « composition »de limites.
lim ( 2 3) lim lim
3
2 lim 2lim
x x
x u
u
x x
x u
u
lim (2 1) lim 2 2 lim
1 1
lim lim 0
1 2 1
lim 0
x x x
x u
u
x x x
x u
u
.
2 0
0
lim( 9) 9
lim 9 3
lim 9 3
x
x u
x u u
Comparaisons
Soient deux fonctions u et v définies dur I dont on connaît les limites en +∞ et f une fonction.
On a le tableau suivant :
Limite connue Comparaison pour x assez grand lim ( )f x lim ( )
x u x
f x( )u x( ) lim ( )
x f x
lim ( )
x u x
f x( )u x( ) lim ( )
x f x
lim ( ) 0
x u x
f x( ) m u x( ) lim ( )
x f x m
lim ( ) lim ( )
x u x x v x m
u x( ) f x( )v x( ) lim ( )
x f x m
Le dernier cas constituent le théorème des gendarmes.
Exemple
Pour tout xR+, on a : 1 sinx 1
x x x
. Or lim 1 lim 1 0
x x xx
, donc lim sin 0
x
x x
Compatibilité avec l’ordre Propriété 1
Soient f et g deux fonctions telles que f x( )g x( )pour tout x I , alors pour toute limite finie de f et g, on a : lim ( ) lim ( )f x g x .
On dit dans ce cas que l’inégalité f x( )g x( )passe à la limite.
TP CALCUL DES LIMITES MATHEMATIQUES TERM-STI-STL
Exemples : Additions
Multiplication
Quotient
