6.1.1 Dé nition d un système

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SYSTEMES

6.1 Dé nitions

6.1.1 Dé nition d un système

Un système est un opérateur qui agit sur un signale(t)pour donner un autre signal s(t). Le système est donc une opération mathématique qui transforme le signal d’entrée en un signal de sortie. On voit ainsi que l’on confond en T.S. le système lui-même et le résultat du passage à travers le système.

e(t)7−→s(t) =L[e(t)]

L’opérateur associé à un système peut être varié et sera souvent définit en physique par une équation diﬀérentielle comme par exemple dans le cas des circuits électriques.

Il faut noter que les opérateurs ne sont généralement pas commutatifs comme le montre l’exemple suivant :

e(t)7−→s1(t) =L1[s(t)] =e²(t)7−→s2(t) = 2s1(t) = 2e²(t) L₁L₂ 6=L₂L₁

6.1.2 Systèmes à mémoire et sans mémoire

Lorsqu’un opérateur agit sur un signal d’entrée il convient de distinguer si le système est à mémoire ou sans mémoire.

Un système sans mémoire est caractérisé par un opérateurLdont l’action à l’instant tne dépend que du signal d’entrée à l’instantt. Un tel système ne tient pas compte à l’instant t des états antérieurs du signal d’entrée. La réponse à un signal d’entrée e(t) est donnée pour un système sans mémoire par :

s(t) =ke(t) (6.1)

Lorsque le passé aﬀecte le présent, le système est dit à mémoire. Remarquons que quel que soit le système physique étudié le futur ne peut jamais aﬀecter le présent ce

65

(2)

66 CHAPITRE 6. SYSTEMES qui montre qu’un système physique ne peut pas être anticipatoire ou non causal. La causalit´eest donc un caractère intrinsèque de tout système physique. On peut définir la causalité par la relation suivante

e(t) = 0 pour t <0 ⇒ s(t) = 0 pour t <0 (6.2) De nombreux systèmes physiques sont à mémoire et la réponse au signal d’entrée e(t) est donnée par :

s(t) =f[e(τ), τ < t]

A titre d’exemple, on peut constater que tout système physique non entretenu qui emmagasine de l’énergie potentielle est à mémoire ( ressort, circuit RLC, ect...)

6.2 Associations d opérateurs

Comme en éléctricité on distingue deux types d’association : l’association série et l’association parallèle.

Si deux opérateurs L₁ et L₂ sont associés en série alors le signal de sortie s(t) est lié au signal d’entrée par l’opération :

e(t)7−→s₁(t) =L₁[e(t)]7−→s(t) =L₂[L₁[e(t)]]

Si les deux opérateurs sont en parallèle alors :

e(t)7−→s(t) =L1[e(t)] +L2[e(t)]

6.3 Systèmes Linéaires invariants par translation du temps

Un système est dit linéaire s’il vérifie les propriétés suivantes :

L[ae₁(t) +be₂(t)] =aL[e₁(t)] +bL[e₂(t)] (6.3) Il est dit invariant par translation du temps si :

∀¡ t, t⁰¢

L[e(t)] =s(t) =⇒L£

e(t−t⁰)¤

=s(t−t0) (6.4) Il est stable si pour tout signal d’entrée fini on récupère un signal de sortie fini.

Il importe de remarquer que les critères définis ci-dessus correspondent parfaitement à ce que l’on est en droit d’attendre d’un appareil de mesure. En eﬀet, un appareil de mesure doit respecter le critère de linéarité qui veut que si l’on double le signal d’entrée le signal de sortie soit aussi doublé. De plus l’invariance par translation du temps consiste à imposer à l’appareil de fournir à deux instants séparés de τ une réponse identique si la sollicitation reste la même mais est décalée deτ .

(3)

6.4 Réponse d un S.L.I.

6.4.1 Réponse d un s.l.i. à un signal d entrée

Soit un signal d’entrée e(t) arrivant sur un s.l.i. caractérisé par son opérateur L.

Le signal d’entréee(t) peut être écrit d’après les propriétés de la distribution de Dirac comme :

e(t) = Z _∞

−∞

e(t⁰)δ(t⁰−t)dt⁰ =e(t)∗δ(t) (6.5) Le passage de ce signal à travers le s.l.i. produit un signal de sortie défini par :

s(t) =L[e(t)] =L

·Z _∞

−∞

e(t⁰)δ(t⁰−t)dt

¸

(6.6) Comme l’opérateurLn’agit que sur des fonctions du tempstet qu’il est linéaire, on peut passer l’opérateur sous l’intégrale et considérer quee(t0) est une constante pour l’opérateurL ce qui conduit au signal de sortie :

s(t) =L[e(t)] = Z _∞

−∞

e(t⁰)L£

δ(t⁰−t)¤

dt (6.7)

En utilisant la propriété d’invariance par translation du temps et en posanth(t) = L[δ(t)] il vient :

s(t) = Z _∞

−∞

e(t)⁰h(t⁰−t)dt=e(t)∗h(t) (6.8) Le signal de sortie est donc le produit de convolution du signal d’entrée par la fonctionh(t)qui est la réponse du système à un pic de Dirac ou réponse impulsionnelle du système. Ce résultat est particulièrement important puisqu’il montre que tout signal mesuré est la convolution du signal d’entrée par la réponse impulsionnelle de l’appareil de mesure.

L’appareil de mesure est donc caractérisé par son opérateur associé L ; on dit qu’il agit comme unfiltre sur le signal d’entrée. La caractéristique d’un filtre est sa réponse impulsionnelleh(t).

Remarques

Nous remaquerons également que si l’on se place dans l’espace de Fourier l’équation 6.8 conduit à

S(f) =E(f)H(f) (6.9)

(4)

68 CHAPITRE 6. SYSTEMES

S

P

Fig.6.1—Propagation d un son dans une salle ou se trouve une source S et un microphone en P.

avec H(f) qui est la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle encore appelée réponse fréquentielle de l’opérateur. La réponse fréquentielle est nécessai- rement complexe dans la mesure ou la réponse impulsionnelle est obligatoirement un signal causal donc ni paire ni impaire. En conclusion toutfiltre phyiquement réalisable déphase.

Si un signal passe au travers de plusieurs opérateurs ou filtres placés en série alors le signal de sortie est donné par

s(t) =e(t)∗[h₁(t)∗h₂(t)∗...∗h_N(t)] (6.10) ce qui conduit dans l’espace de Fourier à

S(f) =E(f)^NΠ

i=1H_i(f) (6.11)

6.5 Exemples

Nous allons montrer sur divers exemples l’importance de ce résultat.

6.5.1 Réponse acoustique d une salle

Nous considérons une salle dans laquelle nous avons placé un microphone localisé en un point P et une source sonore localisée en un point S comme le montre lafigure 6.1.

Nous cherchons à déterminer la réponse de la salle à un bruit quelconque. Nous disposons donc d’une source qui génére un signal d’entréee(t),d’un opérateurLqui est la salle dans laquelle se propage et se réfléchit l’onde sonoree(t)et d’un microphone qui détecte le signals(t) =L[e(t)]. Pour connaître la réponse de la salle nous commençons par générer une impulsion sonore (’un clac’par exemple’) à la sourceSet nous mesurons la réponse de la salle à l’aide du microphone placé en point P de la salle. Comme le

(5)

t L (dB)

t

₀

t

₀

+ τ 100

Clac

τ =SP/v

Fig. 6.2—

signal d’entrée e(t) =δ(t) est impusionnel nous voyons que le microphone va détecter la réponse à une impulsion sonore soit

s(t) =L[δ(t)] =h(t) (6.12)

qui est la réponse impulsionelle de la salle.

Notons à ce titre que la position relative du microphone et de la source dans cet exemple est importante et que la réponse impulsionelle d’une salle peut varier sensible- ment en fonction des positions deSet deP. Pour mesurer la réponse impulsionnelle on enregistre le signal de pression acoustique en focntion du temps. Ce signal est convertit en nieveau de bruit. Nous rappelons que le niveau de bruit L s’écrit

L(dB) = 20log( p p₀)

avec p la pression acoustique et p₀ = 210⁻⁵P a qui est la pression de référence.

La figure montre l’évolution du niveau de bruit dans la salle en fonction du temps de mesure.

Si maintenant le signal e(t) généré par la source est quelconque le microphone détectera un signal s(t) qui sera le produit de convolution de h(t) par e(t). Nous voyons ainsi sur cet exemple comment on peut mesurer une réponse impulsionelle et comment on peut en déduire la réponse de la salle à toute autre sollicitation.

6.5.2 Fonction de résolution d un diﬀractomètre

Nous considérons un diﬀractomètre à rayons X qui est un appareil permettant de mesurer l’intensité diﬀractée par un matériau lorsque celui-ci est soumis soumis à un

(6)

70 CHAPITRE 6. SYSTEMES rayonnement X. Si le matériau est bien cristallisé il est possible de démontrer que l’intensité diﬀractée par ce matériau est donnée par

IV(Q) =C|Fhkl|²δ(Q−H_hkl) (6.13) ou F_hkl est le facteur de structure de la réflexion hkl localisée au noeud hkl du réseau réciproque dont la position est repérée par le vecteurH_hkl.

Cette intensité qui est l’intensité vraie diffractée par l’échantillon est définie par une distribution de Dirac. A une positionQdonnée, le signal diffracté par l’échantillon est donc soit nul si Q 6= H_hkl soit non nul si Q = H_hkl. Si l’on considère que le dif- fractomètre est un s.l.i. et que l’intensité diffractée par l’échantillon représente le signal d’entrée mesuré par le diffratomètre nous voyons que le signal mesuré par l’instrument sera

Im(Q) =L(I_V(Q)) =R(Q)

c’est à dire la réponse impulsionelle du diffractomètre ou encore la fonction de résol- tuion du diffractomètre. La réponse impulsionelle dépendra ici essentiellement des fentes qui collimatent le faisceau de rayons X incident et le faisceau diffracté par l’échantillon.

6.5.3 Compte épargne

Considérons un compte épargne dont le taux d’intérêt est de4^◦/◦◦ par mois et pour lequel les intérêts sont versés au début de chaque mois. Soit{en} le signal d⁰entrée du compte épargne ; le signal de sortie{s(n)}va évidemment dépendre du signal d’entrée mais aussi du taux pratiqué par la banque. Il est facile de voir que ce signal s’écrira :

s(0) =e(0) s(1) = 1.004e(0) +e(1) s(2) = 1.004²e(0) + 1.004e(1) +e(2) Le signal de sortie au mois nest donc donné par

s(n) = Xn k=0

1.004^ke(n−k) (6.14)

et fait apparaître qu’il s’agit du produit de convolution du signal d’entrée par la réponse impulsionelle de la banque

qui s’écrit

h(k) = 1.004^k avec k= 0,1,2....k étant le numéro du mois.

(7)

6.5.4 Réponse impulsionnelle d un ltre passe-bas

Un filtre passe-bas idéal est caractérisé dans l’espace fréquentiel par une porte. Si la fréquence de coupure dufiltre estf_c alors la réponse fréquentielle dufiltre passe-bas est donnée par

H(f) =u2f c(f) (6.15)

Il s’en suit que la réponse impulsionnelle d’un filtre passe-bas est donnée par h(t) =T.F.⁻¹(H(f)) = 2f_csinc(2πf_ct) (6.16) On constate que cette réponse n’est pas causale donc qu’un filtre pase-bas idéal n’est pas réalisable.

Pour rendre cette réponse causale il suﬃt de multiplier h(t) par la distribution de Heavisideu(t). On obtient alors

hc(t) = 2fcsinc(2πfct).u(t) (6.17)

6.6 Réponse d un S.L.I. à un signal sinusoïdal

Considérons un S.L.I soumis en entrée à un signal sinusoïdal du type

e(t) =Ae^iω⁰^t (6.18)

et cherchons la réponse de ce système à ce signal d’entrée. Nous voyons que si L désigne l’opérateur associé au S.L.I. le signal de sortie s’écrit

s(t) =L£

e(t⁰)∗δ(t−t⁰)¤

(6.19) soit

s(t) = Z _∞

−∞

Ae^iω⁰^t⁰L(δ(t−t⁰))dt⁰= Z _∞

−∞

Z

Ae^iω⁰^t⁰h(t−t⁰)dt⁰ (6.20) Après le changement de variable T =t−t0,nous obtenons

s(t) = Z _∞

−∞

Ae^iω⁰^(t⁻^T⁾h(T)dT =Ae^iω⁰^t Z _∞

−∞

h(T)e⁻^iω⁰^TdT (6.21) Il est facile de constater que

(8)

C

A

B

e(t)

R

s(t)

Fig.6.3—Filtre passe-bas du premier ordre de type RC. Le siganl de sortie est prélevé aux bornes de la capacité.

s(t) =e(t)T.F.(h(t)) =e(t)H(f) (6.22) ou H(f) désigne la réponse fréquentielle du système.

Nous en déduisons que pour un signal d’entrée sinusoïdal le signal de sortie est lié à l’opérateur par la relation

s(t) =L[e(t)] =H(f)e(t) (6.23) La réponse fréquentielle d’un s.l.i. est donc une valeur propre de l’opératuer L alors que les fonctions sinusoïdales en sont les fonctions propres.

Nous voyons aussi que la réponse fréquentielle du système est aussi

H(f) = s(t)

e(t) (6.24)

Si le système est un circuit électrique H(f) est simplement le gain en tension du circuit.

Le résultat précédent met en évidence le fait que la réponse fréquentielle peut être reliée à une équation diﬀérentielle ou encore équation aux diﬀérences.

6.6.1 Réalisation d un ltre passe-bas du premier ordre

Nous considérons un circuit RC série dans lequel le signal de sortie est prélevé aux bornes du condensateur.

La réponse fréquentielle de ce filtre se calcule facilement en considérant un signal d’entrée sinusoïdal ce qui conduit à :

(9)

H(f) = 1

1 +jRCω (6.25)

Pour obtenir la réponse impulsionnelle il suﬃt ensuite de prendre la transformée de Fourier inverse de H(f)soit

h(t) = 1

RCθ(t)e⁻^RC^t (6.26)

La connaissance de h(t) rend possible la détermination de la réponse de ce filtre passe-bas à n’importe quel signal d’entréee(t).

6.7 Relations de Kramers-Kronig

6.7.1 Démonstration

Nous avons vu (cf. 6.2) que la réponse d’un système causal ne peut exister à t>0 que si le signal d’entrée existe lui-même à cette date. Il s’ensuit que

h(t) = 0 si t <0

On peut donc limiter le domaine d’existence de la réponse impulsionnelle en utilisant la distribution de Heaviside en imposant

h(t) =h(t)θ(t) Par transformation de Fourier il vient

H(f) =H(f)∗T.F.[θ(t)]

Comme

T.F.[θ(t)] = 1 2πif +1

2δ(f) si l’on pose

H(f) =H⁰(f)−iH⁰⁰(f) (6.27) il vient

H(f) =£

H⁰(f)−iH⁰⁰(f)¤

∗

· 1 2πif +1

2δ(f)

¸

(6.28) soit

H⁰(f) = 1

2H⁰(f)−H⁰⁰(f)∗ 1

2πf (6.29)

H⁰⁰(f) = 1

2H⁰⁰(f) +H⁰(f)∗ 1

2πf (6.30)

On aboutit donc à

(10)

H⁰(f) = −H⁰⁰(f)∗ 1

πf =−1 πV.P.

Z _∞

−∞

H⁰⁰(f)

f −κdκ (6.31)

H⁰⁰(f) = H⁰(f)∗ 1 πf = 1

πV.P.

Z _∞

−∞

H⁰(f)

f−κdκ (6.32)

qui sont connues sous le nom derelations de Kramers-Kronig.

La transformation ci dessus est aussi appelée transformation de Hilbertet est notéeT.H. Il s’ensuit que

H⁰(f) = −T.H.£

H⁰⁰(f)¤

(6.33) H⁰⁰(f) = T.H.£

H⁰(f)¤

(6.34)

6.7.2 Utilité en physique

Les relations de Kramers-Kronig ont une portée générale en physique. Elles per- mettent de relier la partie réelle à la partie imaginaire d’une grandeur physique qui répond au principe de causalité. En particulier ces relations s’appliquent à tout sys- tème linéaire invariant par translation du temps. La réponse impulsionelle d’un SLI en physique est en général appelée susceptibilité. La susceptibilité relie deux gran- deurs thermodynamiques conjuguées. On peut citer les couples (−M ,→ −→H) et(−→P ,−→E) par exemple. Pour ce dernier nous avons

−

→P =ε₀χ−→E