Filière PC

MATHÉMATIQUES I

MATHÉMATIQUES I Filière PC

Objectifs

On se propose, dans ce qui suit, de déterminer l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire à coefficients constants lorsqu’elle est homogène, puis lorsque celle-ci admet un « second membre » d’un type particulier.

La partie I vise à établir des résultats utiles dans les suivantes.

Notations

• Pour tout couple :

si l’ensemble est noté ;

vaut si , sinon.

• Si , on note l’ensemble constitué des éléments de de degré inférieur ou égal à et celui constitué des éléments de divisibles par .

• Si est une application linéaire, et désignent respectivement son noyau et son image.

• Si est un endomorphisme, par convention, est l’application identité, et pour tout entier naturel , on pose .

• On considère un intervalle de contenant au moins deux éléments. On dira que l’intervalle est un voisinage de s’il existe un réel tel que . On note le espace vectoriel des applications de classe de dans , son élément nul, l’application identité de et l’endo- morphisme « dérivation » de , c’est-à-dire tel que : .

• Pour tout de , et pour tout entier strictement positif, désigne la dérivée de . Par convention .

• Si et , on note le degré de et l’application de

dans définie par : .

m n, ( )∈IN²

* m≤n {k∈IN,m≤ ≤k n} [[m n, ]]

* δm n, 1 m = n 0

p q,

( )∈IN² CI_q[ ]X CI[ ]X

q CI_{q p,} [ ]X CI_q[ ]X X^p

u Ker u( ) Im u( )

u u⁰

p u^p+1 = uou^p I IR

I 0 α>0

α α,

[– ]⊂I E C-I C^∞

I CI 0_E id_E E D

E ∀f ∈E, D f( ) = f′

y E k y^{( )k}

k^ième y y^{( )0} = y

P∈CI[ ]X z∈CI deg P( ) P P_{〈 〉z} I CI ∀t∈I, P_{〈 〉z}( )t =P t( )e^zt

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Partie I -

Soient et tel que .

I.A - Montrer que est un espace vectoriel de dimension finie et pré- ciser sa dimension.

I.B - Montrer qu’on peut définir une application de dans définie par : .

Montrer que est linéaire et injective.

I.C - Déduire des questions précédentes que les images par de et sont des sous-espaces vectoriels de de dimensions finies que l’on pré- cisera.

Dans la suite de ce problème, est un entier naturel non nul, un élément de tel que n’est pas nul, et on note l’équation différentielle, d’inconnue élément de :

.

Partie II -

On se propose, dans cette partie, de déterminer , l’ensemble des solutions de définies sur . On admettra que .

II.A - Justifier que .

On note le nombre de racines distinctes du polynôme de ; on note ses racines et leurs ordres de multiplicité respec- tifs.

z∈CI (p q, )∈IN² p≤q CI_{q p,} [ ]X C-I

ϕ_z CI[ ]X E

∀P∈CI[ ]X , ϕz( )P =P_{〈 〉z} ϕz

ϕz CI_q[ ]X

CI_{q p,} [ ]X E

n α = (α₀,…αn)

CIⁿ⁺¹ αn ( )H

y E

( )H αky^{( )k} =0_E

k=0 n

∑

S_H

( )H I dim(S_H) = n

S_H Ker αkD^k

k=0

∑

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞

=

p A αkX^k

k=0

∑

= CI[ ]X

r₁,r₂…r_p m₁,m₂…m_p

MATHÉMATIQUES I Filière PC II.B - Vérifier que contient le sous-espace vectoriel de :

. On admettra que cette somme est directe.

II.C - Dans cette question, et .

a) Soit un élément non nul de . Justifier l’existence d’un élément de

tel que et .

b) En déduire par récurrence la propriété suivante pour tout entier de :

si , alors .

c) En conclure que est un sous-espace vectoriel de de dimension au moins .

II.D - Déduire de ce qui précède que, pour tout élément de , on a l’équiva- lence suivante, si et seulement si il existe une famille d’élé- ments de telle que :

et .

II.E - Dans le cas où est un voisinage de , prouver que pour tout réel stric- tement positif tel que , les solutions de sont développables en série entière sur .

Partie III -

Dans cette partie, on considère un polynôme de , non nul. On note le degré du polynôme . On choisit un nombre complexe et on note l’ordre de multiplicité (éventuellement nul) de en tant que racine du polynôme

de .

On se propose de résoudre l’équation différentielle, d’inconnue élément de , notée :

.

S_H E

Ker

j=1 p

∑

r∈CI m∈IN^*

P CI[ ]X Q

CI[ ]X d°Q<d°P (D–r⋅id_E)(P_{〈 〉r}) = Q_{〈 〉r}

k 1,m

[ ]

[ ]

P∈CI_k–1[ ]X P_{〈 〉r} ∈Ker D(( –r id⋅ _E)^k)

Ker D(( –r⋅id_E)^m) E

m

y E

y∈S_H ( )P_{j j∈[[1,p]]} CI[ ]X

∀j∈[[1,p]], deg P( )_j <m_j ∀t∈I, y t( ) P_j( )t e^rjt

j=1 p

∑

=

I 0 α

]–α α, [⊂I ( )H

]–α α, [

B CI[ ]X d

B z m

z A α_kX^k

k=0

∑

= CI[ ]X

y E

( )L

( )L α_ky^{( )k}

k=0 n

∑

III.A - Vérifier qu’on peut définir une application , de dans , définie par

puis montrer que celle-ci est linéaire.

III.B - Prouver que est injective et que .

III.C - Démontrer qu’il existe un unique élément de tel que soit solution de , définie sur , puis préciser, en fonction de , l’ensemble des solutions de sur .

III.D - Dans le cas où l’intervalle est un voisinage de , les solutions de sont-elles développables en série entière sur tout intervalle tel

que ?

Partie IV -

On suppose, dans cette dernière partie, que vaut et que : .

On considère également un élément de et on note l’équation différen- tielle, d’inconnue élément de :

.

IV.A - Soit tel que et que admette une solution dévelop- pable en série entière sur l’intervalle .

Montrer que est également développable en série entière sur l’intervalle . Qu’en est-il alors des autres solutions de ?

IV.B - Montrer que, si , alors il existe un unique élément de tel que :

.

Prouver qu’il existe un unique élément de tel que : .

ψ CI_{m+d m,} [ ]X E

∀P CI_{m+d m,} [ ]X , ψ ( )P α_kD^k

k=0 n

∑

∈ =

ψ Im( ) ϕψ ⊂ z(CI_d[ ]X )

Π CI_{m+d m,} [ ]X Π〈 〉z

( )L I Π

( )L I

I 0 ( )L

]–α α, [ (α>0) ]–α α, [⊂I

α₀ 1

M max

k∈[[0,n]] αk

=

b E (L_b)

y E

L_b

( ) α_ky^{( )k} =b

k=0 n

∑

α∈IR⁺* ]–α α, [⊂I (L_b) ]–α α, [ b

]–α α, [ (L_b)

p∈IN Π_p CI_p[ ]X

α_kΠ^{( )}_p^k X^p ---p!

=

k=0

∑

π_{p j,}

( )_j∈[[0,p]] CI^p+1 Πp πp j, X^j

---j!

⎝ ⋅ ⎠

⎛ ⎞

j=0

∑

=

MATHÉMATIQUES I Filière PC IV.C - Prouver que :

IV.D - Lorsque est un entier strictement positif, traduire sous forme matri- cielle le système linéaire précédent d’inconnue , élément de , puis écrire une procédure qui, en fonction de et du système , détermine l’uni- que solution de celui-ci.

IV.E -

a) Vérifier que : .

b) En déduire que, pour tout et pour tout entier , alors : .

On suppose dorénavant que est une application de dans développable en série entière sur un intervalle ( ) inclus dans . On note le rayon de convergence de la série entière et on suppose que . IV.F -

a) Montrer qu’il existe élément de tel que la suite de fonctions définie par :

, converge sur .

On note la limite de cette suite de fonctions, définie sur . b) Prouver que est de classe sur .

IV.G - Justifier que est une solution de définie sur l’intervalle sur .

IV.H - Prouver que est de classe sur et que pour tout entier , on a :

. IV.I - Si , on note sa partie entière.

p q,

( )

∀ IN² q≤p (αk⋅πp q, +k) δ= p q, k=0

min{n p, –q}

∑

⇒

∈ p

π_{p j,}

( )_j∈[[0,p]] CI^p+1

n α

p∈IN,∀j∈[[0,p]], πp p, –j ≤(2M)^j

∀

t∈IR q

Πq( )t ≤(2M+t)^q

b I CI

]–α α, [ α>0 I r

b^{( )n}( )0 zⁿ

∑

β ]0,α[ ( )f_{p p∈IN}

∀p∈IN ∀t∈I f_p( )t b^{( )q}( )Π0 q( )t

q=0

∑

=

]–β β, [

f ]–β β, [

f Cⁿ ]–β β, [

f (L_b) ]–β β, [

f C^∞ ]–β β, [ k>0

∀t∈]–β β, [, f^{( )k}( )t f^{( )}_p^k( )t

plim→+∞

= t∈IR⁺ E t( )

On se propose, dans cette question, de démontrer que est développable en série entière sur . À cet effet, on introduit un élément de puis, pour tout entier de , l’application de dans définie par :

.

a) Montrer que, si , est intégrable sur et préciser la valeur de son intégrale sur .

b) Exhiber une application en escalier de dans intégrable telle que : .

c) Conclure.

IV.J -

a) Qu’en déduit-on pour les solutions de sur l’intervalle ?

b) Les résultats précédents sont-ils encore valables si n’est pas égal à ?

••• FIN •••

f

]–β β, [ x ]–β β, [

p IN e_p IR⁺ CI

∀p∈IN,∀t∈IR⁺, e_p( )t f⁽_p^{E t( ))}( )0 ⋅x^{E t( )} E t( ) [ ]! ---

=

p∈IN e_p IR⁺

IR⁺

e IR⁺ IR

∀p∈IN, ∀t∈IR⁺, e_p( )t ≤e t( )

L_b

( ) ]–β β, [

α₀ 1