MATHÉMATIQUESI PC

ConcoursCentrale- Supélec2008

Épreuve :

MATHÉMATIQUES I

PC

Objectifs

On se propose, dans ce qui suit, de déterminer l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire à coefficients constants lorsqu’elle est homogène, puis lorsque celle-ci admet un « second membre » d’un type particulier.

La partie I vise à établir des résultats utiles dans les suivantes.

Notations

• Pour tout couple :

si l’ensemble est noté ;

vaut si , sinon.

• Si , on note l’ensemble constitué des éléments de de degré inférieur ou égal à et celui constitué des éléments de divisibles par .

• Si est une application linéaire, et désignent respectivement son noyau et son image.

• Si est un endomorphisme, par convention, est l’application identité, et pour tout entier naturel , on pose .

• On considère un intervalle de contenant au moins deux éléments. On dira que l’intervalle est un voisinage de s’il existe un réel tel que . On note le espace vectoriel des applications de classe de dans , son élément nul, l’application identité de et l’endo- morphisme « dérivation » de , c’est-à-dire tel que : .

• Pour tout de , et pour tout entier strictement positif, désigne la dérivée de . Par convention .

• Si et , on note le degré de et l’application de

dans définie par : .

m n , ( ) ∈ IN

* m ≤ n { k ∈ IN , m ≤ k ≤ n } [ [ m n , ] ]

* δ

1 m = n 0

p q ,

( ) ∈ IN

C I

[ ] X C I [ ] X

q C I

[ ] X C I

[ ] X X

u Ker u ( ) Im u ( )

u u

p u

= u o u

I IR

I 0 α > 0

α α ,

[ – ] ⊂ I E C- I C

I C I 0

id

E D

E ∀ f ∈ E, D f ( ) = f ′

y E k y

k

y y

= y

P ∈ C I [ ] X z ∈ C I deg P ( ) P P

I

C I ∀ t ∈ I , P

( ) t = P t ( )e

Partie I -

Soient et tel que .

I.A - Montrer que est un espace vectoriel de dimension finie et pré- ciser sa dimension.

I.B - Montrer qu’on peut définir une application de dans définie par : .

Montrer que est linéaire et injective.

I.C - Déduire des questions précédentes que les images par de et sont des sous-espaces vectoriels de de dimensions finies que l’on pré- cisera.

Dans la suite de ce problème, est un entier naturel non nul, un élément de tel que n’est pas nul, et on note l’équation différentielle, d’inconnue élément de :

.

Partie II -

On se propose, dans cette partie, de déterminer , l’ensemble des solutions de définies sur . On admettra que .

II.A - Justifier que .

On note le nombre de racines distinctes du polynôme de ; on note ses racines et leurs ordres de multiplicité respec- tifs.

z ∈ C I ( p q , ) ∈ IN

p ≤ q I

C

[ ] X C- I

ϕ

C I [ ] X E

∀ P ∈ C I [ ], ϕ X

( ) P = P

ϕ

ϕ

C I

[ ] X I

C

[ ] X E

n α = ( α

, …α

)

I

C

α

( H )

y E

( H ) α

y

= 0

k=0 n

∑

S

( H ) I dim ( S

) = n

S

Ker α

D

k=0 n

 ∑ 

 

 

=

p A α

X

k=0 n

∑

= C I [ ] X

r

, r

…r

m

, m

…m

II.B - Vérifier que contient le sous-espace vectoriel de : .

On admettra que cette somme est directe.

II.C - Dans cette question, et .

a) Soit un élément non nul de . Justifier l’existence d’un élément de

tel que et .

b) En déduire par récurrence la propriété suivante pour tout entier de :

si , alors .

c) En conclure que est un sous-espace vectoriel de de dimension au moins .

II.D - Déduire de ce qui précède que, pour tout élément de , on a l’équiva- lence suivante, si et seulement si il existe une famille d’élé- ments de telle que :

et .

II.E - Dans le cas où est un voisinage de , prouver que pour tout réel stric- tement positif tel que , les solutions de sont développables en série entière sur .

Partie III -

Dans cette partie, on considère un polynôme de , non nul. On note le degré du polynôme . On choisit un nombre complexe et on note l’ordre de multiplicité (éventuellement nul) de en tant que racine du polynôme

de .

On se propose de résoudre l’équation différentielle, d’inconnue élément de , notée :

.

S

E

Ker

j=1 p

∑ ^{( ( D – r}

^{⋅ id}

⁾

⁾

r ∈ C I m ∈ IN

P C I [ ] X Q

C I [ ] X d°Q < d°P ( D – r ⋅ id

) ( P

) = Q

k 1 , m

[ ]

[ ]

P ∈ C I

[ ] X P

∈ Ker D ( ( – r id ⋅

)

)

Ker D ( ( – r ⋅ id

)

) E

m

y E

y ∈ S

( P

)

I

C [ ] X

∀ j ∈ [ [ 1 , p ] ] , deg P (

) < m

∀ t ∈ I, y t ( ) P

( )e t

j=1 p

∑

=

I 0 α

] – α α , [ ⊂ I ( H )

] – α α , [

B C I [ ] X d

B z m

z A α

X

k=0 n

∑

= C I [ ] X

y E

( ) L

( ) L α

y

k=0 n

∑ ^{= B}

III.A - Vérifier qu’on peut définir une application , de dans , définie par

puis montrer que celle-ci est linéaire.

III.B - Prouver que est injective et que .

III.C - Démontrer qu’il existe un unique élément de tel que soit solution de , définie sur , puis préciser, en fonction de , l’ensemble des solutions de sur .

III.D - Dans le cas où l’intervalle est un voisinage de , les solutions de sont-elles développables en série entière sur tout intervalle tel

que ?

Partie IV -

On suppose, dans cette dernière partie, que vaut et que : .

On considère également un élément de et on note l’équation différen- tielle, d’inconnue élément de :

.

IV.A - Soit tel que et que admette une solution dévelop- pable en série entière sur l’intervalle .

Montrer que est également développable en série entière sur l’intervalle . Qu’en est-il alors des autres solutions de ?

IV.B - Montrer que, si , alors il existe un unique élément de tel que :

.

Prouver qu’il existe un unique élément de tel que : .

ψ C I

[ ] X E

∀ P C I

[ ], X ψ ( ) P α

D

k=0 n

∑ ^{( P}

⁾

∈ =

ψ Im ( ) ψ ⊂ ϕ

( C I

[ ] X )

Π C I

[ ] X Π

( ) L I Π

( ) L I

I 0 ( ) L

] – α α , [ ( α > 0 ) ] – α α , [ ⊂ I

α

1

M max

k∈[[0,n]]

α

=

b E ( L

)

y E

L

( ) α

y

= b

k=0 n

∑

α ∈ IR

* ] – α α , [ ⊂ I ( L

) ] – α α , [ b

] – α α , [ ( L

)

p ∈ IN Π

C I

[ ] X

α

Π

X

p ! ---

=

k=0 n

∑

π

( )

C I

Π

π

X

j ! ---

 ⋅ 

 

j=0 p

∑

=

IV.C - Prouver que :

IV.D - Lorsque est un entier strictement positif, traduire sous forme matri- cielle le système linéaire précédent d’inconnue , élément de , puis écrire une procédure qui, en fonction de et du système , détermine l’uni- que solution de celui-ci.

IV.E -

a) Vérifier que : .

b) En déduire que, pour tout et pour tout entier , alors : .

On suppose dorénavant que est une application de dans développable en série entière sur un intervalle ( ) inclus dans . On note le rayon de convergence de la série entière et on suppose que . IV.F -

a) Montrer qu’il existe élément de tel que la suite de fonctions définie par :

, converge sur .

On note la limite de cette suite de fonctions, définie sur . b) Prouver que est de classe sur .

IV.G - Justifier que est une solution de définie sur l’intervalle sur .

IV.H - Prouver que est de classe sur et que pour tout entier , on a :

. IV.I - Si , on note sa partie entière.

p q ,

( )

∀ IN

q ≤ p ( α

⋅ π

) = δ

k=0 min{n p, –q}

∑

⇒

∈

p

π

( )

C I

n α

p ∈ IN , ∀ j ∈ [ [ 0 , p ] ], π

≤ ( 2M )

∀

t ∈ IR q

Π

( ) t ≤ ( 2M+ t )

b I C I

] – α α , [ α > 0 I r

b

( ) z 0

∑ ^{r > 2M}

β ]0 , α[ ( f

)

∀ p ∈ IN ∀ t ∈ I f

( ) t b

( )Π 0

( ) t

q=0 p

∑

=

] – β β , [

f ] – β β , [

f C

] – β β , [

f ( L

) ] – β β , [

f C

] – β β , [ k > 0

∀ t ∈ ] – β β , [, f

( ) t f

( ) t

p

lim

=

t ∈ IR

E t ( )

On se propose, dans cette question, de démontrer que est développable en série entière sur . À cet effet, on introduit un élément de puis, pour tout entier de , l’application de dans définie par :

.

a) Montrer que, si , est intégrable sur et préciser la valeur de son intégrale sur .

b) Exhiber une application en escalier de dans intégrable telle que : .

c) Conclure.

IV.J -

a) Qu’en déduit-on pour les solutions de sur l’intervalle ?

b) Les résultats précédents sont-ils encore valables si n’est pas égal à ?

••• FIN •••

f

] – β β , [ x ] – β β , [

p IN e

IR

C I

∀ p ∈ IN , ∀ t ∈ IR

, e

( ) t f

( ) 0 ⋅ x

E t ( ) [ ] ! ---

=

p ∈ IN e

IR

IR

e IR

IR

∀ p ∈ IN , ∀ t ∈ IR

, e

( ) t ≤ e t ( )

L

( ) ] – β β , [

α

1