PartieI- MATHÉMATIQUESI PC

Centrale Maths 1 PC 2007 — Énoncé 1 / 4

ConcoursCentrale- Supélec2007

Épreuve : MATHÉMATIQUES I Filière PC

Dans tout le probl` eme, on notera f la fonction d´ efinie sur R par :

f (x) = 1

√ 2π e

·

Partie I -

I.A -

I.A.1) Montrer que pour tout entier naturel n, la fonction x 7→ x ⁿ f (x) est int´egrable sur R . On note m n (f ) =

Z

R

x ⁿ f (x) dx.

On admettra dans toute la suite de ce probl` eme que Z

R

f (x) dx = 1.

I.A.2) D´eterminer m 1 .

I.A.3) Lorsque n > 2, donner une relation de r´ecurrence liant m n et m n−2 . En d´eduire une expression de m n en fonction de n.

I.B - Montrer que pour tout t ∈ R , l’int´egrale Z

R

e ^−tx f (x) dx est convergente et d´eterminer sa valeur en fonction de t.

On pourra consid´erer la forme canonique du trinˆome x 7→ − x ² 2 − tx.

I.C -

I.C.1) Le r´eel t ´etant fix´e, pour tout x ∈ R , on pose S n (x) = X n k=0

( − 1) ^k t ^k x ^k k! f (x).

Calculer lim

n→∞ S n (x)

I.C.2) Montrer `a l’aide du th´eor`eme de convergence domin´ee que pour tout t ∈ R , Z

R

e ^−tx f (x) dx =

+∞ X

k=0

( − 1) ^k m k

t ^k k! · I.C.3) Retrouver la valeur de

Z

R

e ^−tx f (x) dx obtenue pr´ec´edemment.

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Centrale Maths 1 PC 2007 — Énoncé 2 / 4

Partie II -

Dans toute la suite du probl` eme, on note E l’ensemble des fonctions g continues sur R ` a valeurs r´ eelles, telles qu’il existe un r´ eel positif M(g) et un r´ eel strictement positif λ v´ erifiant : ∀ x ∈ R , | g(x) | 6 M(g)f (λx).

II.A - D´emontrer que E muni des lois + et · usuelles est un espace vectoriel sur R , qui contient f .

II.B - Soient u et v deux ´el´ements de E. On note u ∗ v l’application d´efinie, pour tout r´eel x pour lequel la formule a un sens, par

(u ∗ v)(x) = Z

R

u(t)v(x − t) dt.

II.B.1) D´emontrer que u ∗ v est d´efinie sur R . II.B.2) D´emontrer que u ∗ v = v ∗ u.

II.B.3) D´eterminer (f ∗ f )(x).

II.B.4) D´emontrer que u ∗ v appartient `a E (on utilisera le r´esultat de la question pr´ec´edente).

II.C - Soit u ∈ E. On d´efinit l’application b u par : u(t) = b Z

R

e ^−tx u(x) dx.

II.C.1) Montrer que u b est bien d´efinie sur R .

II.C.2) Montrer que b u est de classe C ² sur R et d´eterminer une expression de u b ^′ (t) et b u ^′′ (t) `a l’aide d’int´egrales.

II.D - Dans cette section D seulement, on admet le r´ esultat suivant :

Soit f : (x, y) 7→ f (x, y) une application continue de R ² dans R telle qu’il existe deux applications h 1 et h 2 continues sur R et int´ egrables sur R avec :

∀ (x, y) ∈ R ² , | f (x, y) | 6 h 1 (x)h 2 (y) alors

Z

R

Z

R

f (x, y) dx

dy et Z

R

Z

R

f (x, y) dy

dx sont convergentes et ces deux int´ egrales doubles sont ´ egales.

Soient u et v deux ´el´ements de E.

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Centrale Maths 1 PC 2007 — Énoncé 3 / 4

II.D.1) D´emontrer qu’il existe une constante a > 0 telle que pour tout couple (x, t) ∈ R ² :

− t ² − (x − t) ² 6 − a(t ² + x ² ).

II.D.2) D´emontrer la formule : Z

R

u ∗ v(x) dx = Z

R

u(x) dx.

Z

R

v(x) dx.

II.D.3) D´emontrer la relation, pour tout θ ∈ R : u [ ∗ v(θ) =

Z

x ∈R

e ^{− xθ} · (u ∗ v)(x) dx = b u(θ). b v(θ).

on pourra utiliser l’´egalit´e (t + θ

2γ ) ² + ((x + θ

γ ) − (t + θ

2γ )) ² = t ² + (x − t) ² + θx γ + θ ²

2γ ² ·

Dans la suite de ce probl` eme, on consid` ere le sous ensemble E 1 de E dont les ´ el´ ements sont les fonctions h ∈ E telles que

Z

R

h(x) dx = 1. On notera que la fonction f de la partie I est un ´ el´ ement de E 1 . ` A toute fonction h ∈ E 1 , on associe la suite de fonctions (h n ) n ∈N d´ efinie par la r´ ecurrence suivante :

h 1 = h et pour tout n > 2, h _n = h _n −1 ∗ h 1 .

On remarquera que la fonction h n est alors ´ el´ ement de E d’apr` es II B 4.

L’objectif est d’´ etudier certaines propri´ et´ es de cette suite de fonctions, dans un premier temps sur des exemples puis dans le cas g´ en´ eral.

Partie III -

III.A - Soit h un ´el´ement de E 1 .

III.A.1) D´emontrer que la suite (h n ) n ∈N

est une suite d’´el´ements de E 1 .

III.A.2) Exprimer, pour tout n ∈ N et pour tout x ∈ R , h c n (x) en fonction de b h(x) et de n.

III.B - Dans cette question on ´etudie la suite (f n ) n ∈N

associ´ee `a la fonction f : t 7→ 1

√ 2π e

´etudi´ee dans la partie I (on a donc pos´e h = f ).

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Centrale Maths 1 PC 2007 — Énoncé 4 / 4

III.B.1) D´eterminer une constante K 2 telle que ∀ x ∈ R , f 2 (x) = K 2 e ⁻ x ²

4 . III.B.2) D´eterminer une constante K n telle que ∀ x ∈ R , f n (x) = K n e ⁻

x ² 2n . III.B.3) D´eterminer lim

n →∞ c f n ( t

√ n ) en fonction de t ∈ R .

III.C - Soit g la fonction d´efinie sur R par :

 



g(x) = 1

2 cos(x) si x ∈ [ − π/2, π/2]

g(x) = 0 sinon III.C.1) D´emontrer que g ∈ E 1 .

III.C.2) Montrer que la fonction g ∗ g est paire. Donner pour x > 0 l’expression de (g ∗ g)(x) en fonction des valeurs de x : on distinguera deux intervalles pour x.

III.C.3) D´emontrer que g n est nulle en dehors d’un intervalle [ − a n , a n ] que l’on pr´ecisera.

III.C.4) D´eterminer l’expression de b g(t) en fonction de t.

III.C.5) D´eterminer lim

n →∞ c g n ( t

√ n ) en fonction de t.

Partie IV -

Soit h un ´ el´ ement de E 1 . On note pour n ∈ N ^∗ :

M 1,n = Z

R

xh n (x)dx ,M 2,n = Z

R

x ² h n (x)dx et V n = M 2,n − M 1 ² ,n

IV.A -

IV.A.1) Montrer que la fonction h c n poss`ede un d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 dont on pr´ecisera les coefficients `a l’aide de M 1 ,n et M 2 ,n .

IV.A.2) En d´eduire que M 1,n = nM 1,1 et V n = nV 1 .

IV.B - On suppose dans cette question que la fonction h est telle que M 1 , 1 = 0.

D´eterminer la limite de la suite

h c n

t

√ n

n ∈N

.

• • • FIN • • •

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