III Solutions de l’´ equation de d’Alembert

Propagation unidimensionnelle non dispersive

La description ondulatoire des ph´enom`enes physiques est un champ de la physique extrˆemement vaste ; de la corde vibrante aux ondes sonores en passant par les ondes ´electromagn´etiques, nous en

´

etudierons cette ann´ee quelques applications mais bien d’autres domaines de la physique font appel `a cette mod´elisation. Dans ce chapitre, nous prendrons deux exemples avant de g´en´eraliser cette description avec l’´equation de d’Alembert. Les ondes sonores et ´electromagn´etiques feront l’objet de chapitre sp´ecifiques ult´erieurs.

I Onde transversale sur une corde

I.1 Description et mod´elisation du probl`eme

On consid`ere une corde homog`ene, de section constante, de longueur L, de masse lin´eiqueµ, initiale- ment au repos horizontalement sur l’axe Ox. On fait les hypoth`eses suivantes :

– La corde est inextensible

– l’angleα que fait la tangente `a la corde avec l’horizontal est ”petit”, ce qui signifie que l’on pourra faire les approximations tanα«α, sinα«α et cosα«1.

On peut montrer que ces deux conditions sont compatibles au premier ordre mˆeme si la corde peut sembler

”plus longue” quand elle est hors position d’´equilibre.

La tension de la corde au pointM d’abscissexM est la grandeur scalaireTpxMqtelle que la partie de la corde x ą x_M exerce sur la partie de la corde x ă x_M une force ÝÑ

T “Tpxq~u_M o`u ~u<sub>M</sub> est le vecteur unitaire tangent `a la corde au pointM et dirig´e vers les Xąx_M.

I.2 Mise en ´equation

On consid`ere un ´el´ement de la corde compris entre xM et xM `dx, de masse µdx. Cet ´el´ement est soumis `a deux forces de tensions, ÝÑ

T_d dirig´ee vers lesxąx_M etÝÑ

T_g dirig´ee vers lesxăx_M. Le principe fondamental de la dynamique s’´ecrit alors :

µdx~a“ÝÑ T_d`ÝÑ

T_g (1)

Dans l’hypoth`ese d’une onde purement transversale, on a alors, en projetant sur les 2 axes

$

&

%

µdxa_x “0“ Tpx`dx, tqcosαpx`dx, tq ´Tpx, tqcosαpx, tq µdxa_y “µdxB²y

Bt² “ Tpx`dx, tqsinαpx`dx, tq ´Tpx, tqsinαpx, tq (2)

@x, sinα«αet cosα«1, on a doncax“0“Tpx`dx, tq ´Tpx, tq, ce qui signifie queT ne d´epend pas de x. On peut alors r´e´ecrire la deuxi`eme ´equation

µdxB²y

Bt² “Tptqαpx`dx, tq ´Tptqαpx, tq “TptqBα

Bxdx (3)

Par ailleurs, tanα«α “ By

Bx, on en d´eduit donc, en faisant l’hypoth`ese que Tptq “T : B²y

Bt² ´T µ

B²y

Bx² “0 (4)

II Onde sonore dans un solide

II.1 Description et mod´elisation du probl`eme

On mod´elise un solide par une chaine infinie d’oscillateurs selon un axe Ox, de masses identiques m reli´ees deux `a deux par des ressorts de constante de raideur k et de longueur au repos a. Les masses se d´eplacent sans frottement et sont au repos distantes dea. La massena pour abscissex<sub>n</sub>ptq “x<sub>n</sub>p0q`ξ_nptq.

II.2 Mise en ´equation

La massenest soumise `a deux forces provenant des ressorts pr´esents de chaque cot´e,ÝÑ

T_d (droite, qui sera positive si le ressort droit s’allonge) etÝÑT_g (gauche, qui sera positive si le ressort gauche se comprime).

La longueur du ressort `a droite de la masse est

L_d“x_{n`1</sub>´x<sub>n</sub>“x<sub>n`1}p0q `ξ<sub>n`1</sub>ptq ´ px_np0q `ξ<sub>n</sub>ptqq “a`ξ<sub>n`1</sub>ptq ´ξ<sub>n</sub>ptq De mˆeme la longueur du ressort `a gauche est

L_g“x_n´x_n´1 “x_np0q `ξ<sub>n</sub>ptq ´ px<sub>n´1</sub>p0q `ξ_n´1ptqq “a`ξ<sub>n</sub>ptq ´ξ<sub>n´1</sub>ptq Les forces appliqu´ees `a la massen sont donc

" ÝÑ

T_d “ kpL_d´aq~u_x“kpξ_n`1ptq ´ξ_nptqq~u_x Ý

ÑT_g “ ´kpL_g´aq~u_x “kpξ_n´1ptq ´ξ_nptqq~u_x On peut donc ´ecrire le principe fondamental de la dynamique :

mB²x_n

Bt² ~u_x“ÝÑ T_d`ÝÑ

T_g“kpξ<sub>n`1</sub>ptq ´ξ<sub>n</sub>ptqq~u<sub>x</sub>`kpξ_n´1ptq ´ξ_nptqq~u_x

On suppose maintenant la longueur d’onde λ ąą a. On peut alors faire l’approximation d’un milieu continu. On introduit donc une fonctionξpx, tq dans laquelle l’indicenest remplac´e par la variablex. On peut alors ´ecrire le d´eveloppement de ξpx, tq autour du pointx_np0q:

$ Bξ a²B²ξ

On a fait un d´eveloppement `a l’ordre 2 car les ordre 0 et 1 du d´eveloppement s’annulent. On obtient alors kpξn`1ptq ´ξnptqq~ux`kpξn´1ptq ´ξnptqq~ux “ka²B²ξ

B²x~ux (5)

et on obtient donc l’´equation aux d´eriv´ees partielles : B²ξ Bt² ´ka²

m B²ξ

Bx² “0 (6)

Lien avec le module de Young du mat´eriau Le module de Young E d’un mat´eriau est le rapport entre la force de traction F exerc´ee sur une surfaceS et l’allongement relatif du mat´eriau ∆L{L

F

S “E∆L

L (7)

Si la chaine contient n “ L{a ressorts, alors l’allongement de chaque ressort vaut δl “ ∆L{n “ a∆L L . La force qui s’exerce alors sur chaque ressort vaut f “kδl“ka∆L

L . Si l’on consid`ere un r´eseau cubique simple, une sectionSdu r´eseau est occup´ee parN “S{a² atomes. La force totale s’exer¸cant sur la surface est donc

F “N f “ S a²ka∆L

L ce qui donne comme expression

F S “ 1

ak∆L L Par identification avec (7), on trouve

E“ k

a (8)

II.3 Equation de d’Alembert´

L’´evolution deux syst`emes pr´ec´edents est d´ecrite formellement par la mˆeme ´equation aux d´eriv´ees partielles, l’´equation de d’Alembert :

B²y

Bt² ´c²B²y

Bx² “0 (9)

o`u cest une constante homog`ene `a une vitesse. On a donc, dans les deux cas ´evoqu´es c“

d T

µ ponde sur une cordeq (10)

c“ d

E

ρ ponde dans un solideq (11)

III Solutions de l’´ equation de d’Alembert

III.1 Remarques pr´eliminaires

L’´equation de d’Alembert est une ´equation aux d´eriv´ees partielles du deuxi`eme ordre qui ne contient que des d´eriv´ees du deuxi`eme ordre, ce qui implique

– la lin´earit´e de l’´equation aux d´eriv´ees partielle : une somme de solutions de l’´equation est aussi solution de l’´equation,

– la pr´esence de d´eriv´ees d’ordre 2 uniquement implique une invariance par renversement du temps et de la variablex : si fpx, tq est solution, alorsfp´x, tqet fpx,´tq le sont aussi.

Nous allons dans la suite ´etudier des ensembles de solutions qui r´epondent ´evidemment `a ces deux crit`eres III.2 Ondes progressives

On consid`ere la forme d’onde progressive ypx, tq “fpx´ctq “fpuq. On a alors By

Bx “ df du

Bu

Bx “f¹puq B²y Bx² “ d²f

du² B²u

Bx² “f”puq et

By

Bt “ ´cf¹puq B²y

Bt² “c²f”puq

La fonctionfpx´ctqest donc solution de l’´equation de d’Alembert. De la mˆeme mani`ere, on peut v´erifier quegpx`ctqest aussi solution.

Interpr´etation de la solution On cherche `a relier la forme de l’onde `a deux instantst1 ett2 ąt1. on a alors

ypx, t1q “fpx´ct1q “fpx´cpt1´t2q ´ct2q “ypx´cpt1´t2q, t2q

La forme de l’onde enx`at1est la mˆeme qu’enx<sup>1</sup> “x´cpt1´t2q ąxent2. On a donc une onde progressive qui se propage dans le sens desx croissants, sans d´eformation. De la mˆeme mani`ere, on peut montrer que la fonctiongpx`ctqrepr´esente une onde progressive qui se propage dans le sens desx d´ecroissants, sans d´eformation.

Finalement, la solution

ypx, tq “fpx´ctq `gpx`ctq (12) est la solution g´en´erale de l’´equation de d’Alembert.

Remarques importantes On peut g´en´eraliser l’expression pour des ondes se propageant dans une direction arbitraire~u :

ypx, tq “fp~u¨~r´ctq `gp~u¨~r`ctq, ~r “ÝÝÑ

OM (13)

Par ailleurs, dans un plan x “ constante, `a un instant donn´e, l’onde a une valeur fix´ee. C’est donc une onde plane, d´ej`a vue en optique.

III.3 Ondes progressives harmoniques

Une onde progressive est dite harmonique si sa d´ependance en temps est sinuso¨ıdale :

P´eriodicit´e spatiale et temporelle La forme de l’onde, du fait de la p´eriodicit´e des fonctions si- nuso¨ıdales, implique une p´eriodicit´e temporelle et une p´eriodicit´e spatiale. Il est ais´e de montrer que la p´eriode temporelleT et la p´eriode spatiale ou longueur d’ondeλob´eissent aux relations suivantes :

T “ 2π

ω et λ“ 2π

k (15)

Relation de dispersion On injecte la solution en onde plane harmonique dans l’´equation de d’Alem- bert, ce qui donne

B²y

Bt² “ ´ω²y ; B²y

Bx² “ ´k²y (16)

donc

´ω²y`c²k²y“0 (17)

ce qui est v´erifi´e pour

k“ ω

c (18)

Surface d’onde et vitesse de phase La surface d’onde est le lieu des points o`u ωt´kx`ϕ₀ “ constante“ψ0. La position de ce plan d’onde est donn´ee par

x“

ψ

hkkkikkkj ϕ₀´ψ₀

k `ω kt“ ψ

k ` ω kt

La vitesse de d´eplacement du plan d’onde, appel´eevitesse de phase, est alors donn´ee par dx

dt “ ω

k “c (19)

Elle est ´egale `a la vitesse de propagation dans le cas d’une onde plane pour un ph´enom`ene non dispersif (voir chapitre sur les ph´enom`enes dispersifs).

Notation complexe Cette notation d´ej`a vue en optique permet de simplifier les calculs.

ypx, tq “y₀exppipωt´kxqq <pypx, tqq “ypx, tq et y₀ “y₀exppiϕ₀q (20) G´en´eralisation D’une mani`ere plus g´en´erale, pour une onde dont la direction de propagation n’est pas l’axe Ox, on a

yp~r, tq “y₀cospωt´~k¨~r`ϕ₀q (21) Int´erˆet des ondes harmoniques L’´equation de d’Alembert est une ´equation lin´eaire. L’analyse de Fourier montre que n’importe qu’elle fonction p´eriodique peut se mettre sous la forme d’un d´eveloppement en s´erie de Fourier, somme de termes sinuso¨ıdaux, ce qui explique l’int´erˆet accord´e aux ondes harmoniques.

III.4 Ondes stationnaires

On peut aussi chercher la solution `a l’´equation de d’Alembert sous la forme d’une fonctionypx, tq “ fpxqgptq, c’est la m´ethode de s´eparation des variables. Dans ce cas, on peut r´e´ecrire l’´equation de d’Alem- bert

fpxqg”ptq ´c²f”xqgptq “0

soit g”ptq

gptq “c²f”pxq fpxq

Chaque membre est d´ependant soit dex, soit de t, donc, pour que l’´egalit´e soit vraie, il faut que ces deux membres soient constants, soit

g”ptq

gptq “c²f”pxq fpxq “α ce qui donne deux ´equations diff´erentielles `a r´esoudre

# g”ptq ´αgptq “ 0 f”pxq ´ α

c²fpxq “ 0 (22)

Siαě0, alors les solutions sont divergentes ou tendent vers 0, ce qui ne correspond pas `a un ph´enom`ene ondulatoire. On choisit donc α“ ´ω² n´egatif. fpxq est alors solution de

f”pxq `ω²

c²fpxq “f”pxq `k²fpxq “0 On peut alors ´ecrire les solutions

"

gptq “ acospωt`ϕ₀q

fpxq “ bcospkx`ψ0q (23)

et donc

ypx, tq “y₀cospωt`ϕ<sub>0</sub>qcospkx`ψ₀q (24) Les constantesy₀,ϕ₀ etψ₀ sont d´etermin´ees par les conditions initiales et les conditions aux limites.

Interpr´etation de la solution On peut interpr´eter cette solution de la mani`ere suivante :

– c’est un signal sinuso¨ıdal temporel dont l’amplitude d´epend de la positionx ypx, tq “Apxqcospωt` ϕ0q,

– il n’y a plus de propagation puisque x ettsont s´epar´es,

– les points o`uApxq “y<sub>0</sub>cospkx`ψ₀q “0 sont appel´es nœuds de vibration, – les points o`uApxq “y₀ (amplitude maximale) sont appel´es ventres de vibration, – 2 nœuds et 2 ventres successifs sont s´epar´es deλ{2

Equivalence onde progressive/onde stationnaire´ La description en terme d’onde progressive ou d’onde stationnaire est un choix arbitraire qui est li´e aux conditions initiales et aux limites du probl`eme.

En effet,

ypx, tq “y₀cospωt´kxq “y₀cospωtqcospkxq `y₀sinpωtqsinpkxq

qui est la somme de 2 ondes stationnaires. Inversement, toute onde stationnaire peut s’´ecrire comme la

IV Applications

IV.1 Corde vibrante fix´ee `a ses deux extr´emit´es

On s’int´eresse au cas d’une corde fix´ee `a ses deux extr´emit´es. C’est par exemple le cas d’une corde de guitare ou de piano. Les conditions aux limites sont les suivantes :yp0, tq “ypL, tq “0. Elles imposent des nœuds de vibration aux extr´emit´es de la corde. La pr´esence de ces nœuds de vibration conduit `a choisir une onde stationnaire comme solution au probl`eme :

ypx, tq “y0cospωt`ϕ0qcospkx`ψ0q

La premi`ere condition yp0, tq “0 donne la relation y<sub>0</sub>cospωt`ϕ₀qcospψ₀q “0. Si on exclut la solution uniform´ement nulle y0 “ 0, alors cosψ0 “ 0 ce qui implique ψ0 “ ˘π{2. On choisit ψ0 “ ´π{2 car cospkx´π{2q “sinpkxq

La deuxi`eme condition ypL, tq “0 donne la relation y<sub>0</sub>cospωt`ϕ₀qsinpkLq “0. Si on exclut la solution uniform´ement nulle y0 “0, alors sinpkLq “0 ce qui implique knL “nπ,n PN^˚. Comme ω “kc, on a alors

k_n“ nπ

L et ω_n“ ncπ

L (25)

L’´equation de d’Alembert admet donc un ensemble infini de solutionsynpx, tq y_npx, tq “y_0nsin

´nπ L x

¯ cos

´ncπ

L t`ψ_0n

¯

(26) Chaque solutionynpx, test un mode proprede vibration de la corde. Le mode n“1 est appel´e mode fondamental, les autres modes lesmodes harmoniques.

Solution compl`ete L’´equation de d’Alembert est lin´eaire, la fonctionYpx, tq d´efinie par Ypx, tq “

n

ÿ

i

y_0isin ˆiπ

Lx

˙ cos

ˆicπ L t`ψ_0i

˙

(27) est alors aussi solution. L’analyse de Fourier montre que c’est la solution la plus g´en´erale `a l’´equation de d’Alembert. La r´esolution pratique demande de connaitre 2nconditions initiales, n conditions sur la position de la corde `a t“0 et nconditions sur la vitesse de la corde `a t“0.

IV.2 Corde de Melde

La corde de Melde est un syst`eme o`u la corde est accroch´ee `a une extr´emit´e fixe et `a une extr´emit´e en mouvement harmonique. Les conditions aux limites sont alors les suivantes : yp0, tq “ acospωtq et ypL, tq “ 0. `A nouveau, on choisit une solution en forme d’onde stationnaire en raison du nœud impos´e en x“L :

ypx, tq “y₀cospωt`ϕ<sub>0</sub>qcospkx`ψ₀q

La premi`ere conditionyp0, tq “y<sub>0</sub>cospωt`ϕ₀qcospψ₀q “acospωtq conduit `aϕ₀ “0 et a“y₀cospψ₀q.

La deuxi`eme conditionypL, tq “0 donne la relation y0cospωtqcospkL`ψ0q “0. Si on exclut la solution uniform´ement nulle y0 “ 0, alors cospkL`ψ0q “ 0 ce qui implique kL`ψ0 “ ˘π{2. On choisit ψ0 “

´π{2´kLcar cospkx´kL´π{2q “sinpkx´kLq. On peut alors ´ecrire la solution ypx, tq “ a

cosp´π{2´kLqcospωtqsinpkx´kLq “ a

sinp´kLqcospωtqsinpkpx´Lqq (28) soit en simplifiant

ypx, tq “ a

sinpkLqcospωtqsinpkpL´xqq (29)

La solution diverge pour sinpkLq “0, ce qui met en ´evidence un ph´enom`ene de r´esonance. Ce ph´enom`ene se produit pour k_nL“nπ, c’est `a dire

kn“ nπ

L et ωn“ ncπ

L (30)

c’est `a dire pour des fr´equences correspondant aux modes propres de la corde libre.

Remarque La divergence n’est jamais atteinte, puisque des processus dissipatifs interviennent. C’est heureux, puisque notre ´etude se borne aux petites oscillations qui permettent en retour d’obtenir une

´

equation lin´eaire.