Equation, fonction, variations

(1)

NOM : ENONCE-FEUILLE REPONSE Respecter les consignes On donne une fonction f, définie sur l’intervalle [-10 ; 7], par une chaîne de fonctions de référence :

sur [-10 ; 7], ^{( )} ^{( )}² ^{( )} ^{( )} ^{( )}

1

3 +2 +1 −7 +1

→ → → → →

.

1) En utilisant cette chaîne, écrire f(x) ci-contre (on ne demande pas de développer)

2) Ecrire ci-contre f(x) sous la forme ^N(x)

D(x) avec N(x) et D(x) développés, réduits et ordonnés suivant les puissances décroissantes de x.

A ce stade, il y a donc trois façons de connaître la fonction. D’autres façons sont à disposition : des tableaux de valeurs, des représentations graphiques (sur les calculatrices), … : elles sont utilisables autant que de besoins.

Résolution de l’équation f(x) = -1 sur [-10 ; 7].

3) Ecrire ci-contre un encadrement d’amplitude 0,001 pour chacune des solutions de cette équation.

4) a) Ecrire ci-contre les valeurs exactes de ces solutions.

b) Préciser ci-contre la méthode utilisée pour trouver ces valeurs exactes (algébrique ou autre …)

Il s’agit, dans la suite du devoir, d’étudier les sens de variations de la fonction f suivant des méthodes imposées.

5) Preuve que f est décroissante sur [-10 ; -5]. Citer les théorèmes notés 1, 2, 3 et 4 garantissant l’exactitude de ce qui suit.

-10 ≤ a < b ≤ -5

↓

-30 ≤ 3a < 3b ≤ -15

↓

-28 ≤ 3a + 2 < 3b + 2 ≤ -13

↓ th.1

784 ≥ (3a + 2)² > (3b + 2)² ≥ 169

↓

785 ≥ 1 + (3a + 2)² > 1 + (3b + 2)² ≥ 170

↓ th.2

( )

²

( )

²

1 1

1 3a 2 <1 3b 2

+ + + +

↓ th.3

( )

²

( )

²

7 7

1 3a 2 1 3b 2

− > −

+ + + +

↓

( )

²

( )

²

7 7

1 1

1 3a 2 1 3b 2

− −

+ > +

+ + + +

↓ f(a) > f(b)

donc (th.4) f est décroissante sur [-10 ; -5].

Th.1 :

Th.2 :

Th.3 :

Th.4 :

6) Preuve que f est croissante sur [5 ; 7].

Soient a et b tels que 5 ≤ a < b ≤ 7. On admet que f(b) – f(a) =

[ ]

2 2

21(b a) (3a 2) (3b 2) 1 (3a 2) 1 (3b 2)

− + + +

 + +   + + 

   . Citer avec précision les

théorèmes notés 1, 2, 3, 4, 5 et 6 garantissant l’exactitude de ce qui suit.

5 ≤ a < b ≤ 7 th.1 th.2 th.3

0 < b – a 17 ≤ 3a + 2 17 ≤ 3b + 2

th.4

0 < (3a + 2) + (3b + 2) 1 + (3a + 2)² > 0 1 + (3b + 2)² > 0 th.5

Th.1 : Th.2 : Th.3 : Th.4 :

(2)

NOM : ENONCE-FEUILLE REPONSE Respecter les consignes f(b) – f(a) > 0

↓ f(b) > f(a)

donc (th.6) f est croissante sur [5 ; 7].

Th.5 : Th.6 :

7) Etude des variations de f sur [-10 ; 7].

La présentation initiale de la fonction est une chaîne de cinq maillons, chaque maillon étant une fonction de référence.

a) Compléter le tableau ci-dessous montrant une construction progressive des variations de la fonction f.

Valeurs et variations

de x -10 7 Maillon 1 Maillon 2 Maillon 3 Maillon 4 Maillon 5 Valeurs et variations

de …

Valeurs et variations de …

b) Rappeler ci-contre les définitions de une fonction décroissante

sur un intervalle J.

une fonction croissante sur un intervalle J.

c) Citer les théorèmes utilisés pour chaque maillon.

N° du

maillon ↓ Théorèmes ↓ 1

2 3

4 5

8) Compléter le tableau suivant

Minimum de f sur [-10; 7] Valeur de la variable libre

donnant ce minimum

Maximum de f sur [-10; 7] Valeur de la variable libre

donnant ce maximum

(3)

Eléments pour un corrigé

On donne une fonction f, définie sur l’intervalle [-10 ; 7], par une chaîne de fonctions de référence :

sur [-10 ; 7], ^{( )} ^{( )}² ^{( )} ^{( )} ^{( )}

1

3 +2 +1 −7 +1

→ → → → →

.

1) En utilisant cette chaîne, écrire f(x) ci-contre (on ne demande pas de

développer) Par exemple

f(x) = 1 ⁷ ₂ (3x 2) 1

− + + 2) Ecrire ci-contre f(x) sous la forme ^N(x)

D(x) avec N(x) et D(x) développés, réduits et ordonnés suivant les puissances décroissantes de x.

f(x) =

2 2

9x 12x 2 9x 12x 5 + − + +

A ce stade, il y a donc trois façons de connaître la fonction. D’autres façons sont à disposition : des tableaux de valeurs, des représentations graphiques (sur les calculatrices), … : elles sont utilisables autant que de besoins.

Résolution de l’équation f(x) = -1 sur [-10 ; 7].

3) Ecrire ci-contre un encadrement d’amplitude 0,001 pour

chacune des solutions de cette équation. [-1,194 ; -1,193] et [-0,14 ; -0,139]

4) a) Ecrire ci-contre les valeurs exactes de ces solutions.

Par exemple

5 5

2 2

2 ; 2

3 3

− − − + b) Préciser ci-contre la méthode utilisée pour trouver ces

valeurs exactes (algébrique ou autre …) Algébrique ou par utilisation d’une chaîne de fonctions Il s’agit, dans la suite du devoir, d’étudier les sens de variations de la fonction f suivant des méthodes imposées.

5) Preuve que f est décroissante sur [-10 ; -5]. Citer les théorèmes notés 1, 2, 3 et 4 garantissant l’exactitude de ce qui suit.

-10 ≤ a < b ≤ -5

↓

-30 ≤ 3a < 3b ≤ -15

↓

-28 ≤ 3a + 2 < 3b + 2 ≤ -13

↓ th.1

784 ≥ (3a + 2)² > (3b + 2)² ≥ 169

↓

785 ≥ 1 + (3a + 2)² > 1 + (3b + 2)² ≥ 170

↓ th.2

( )

²

( )

²

1 1

1 3a 2 <1 3b 2

+ + + +

↓ th.3

( )

²

( )

²

7 7

1 3a 2 1 3b 2

− −

+ + > + +

↓

( )

²

( )

²

7 7

1 1

1 3a 2 1 3b 2

− −

+ > +

+ + + +

↓ f(a) > f(b)

donc (th.4) f est décroissante sur [-10 ; -5].

Th.1 : a b²

ou la fonction “élévation au carré” est décroissante sur ]-∞ ; 0[

Th.2 : 0 < a b

ou la fonction “inverse” est décroissante sur ]0 ; +∞[

Th.3 : par exemple c < 0 et a bc

Th.4 : (définition d’une fonction décroissante sur un intervalle) une fonction f est décroissante sur un intervalle J si :

pour tous a et b dans J, a f(b) 6) Preuve que f est croissante sur [5 ; 7].

Soient a et b tels que 5 ≤ a < b ≤ 7. On admet que f(b) – f(a) =

[ ]

2 2

21(b a) (3a 2) (3b 2) 1 (3a 2) 1 (3b 2)

− + + +

 + +   + + 

   . Citer avec précision les

théorèmes notés 1, 2, 3, 4, 5 et 6 garantissant l’exactitude de ce qui suit.

5 ≤ a < b ≤ 7 th.1 th.2 th.3

0 < b – a 17 ≤ 3a + 2 17 ≤ 3b + 2

th.4

0 < (3a + 2) + (3b + 2) 1 + (3a + 2)² > 0 1 + (3b + 2)² > 0 th.5

Th.1 : (définition) a 0 ou a b + c

Th.2 : toute fonction affine telle que f(x) = αx + β avec α > 0 est croissante

Th.3 : th.2

Ths.4 : a < b et c < d → a + c < b + d a < b et b < c → a < c

(4)

Eléments pour un corrigé f(b) – f(a) > 0 ↓ f(b) > f(a)

donc (th.6) f est croissante sur [5 ; 7].

Th.5 : règles des signes pour ×, et « : »

Th.6 : (définition d’une fonction croissante sur un intervalle) une fonction f est croissante sur un intervalle J si :

pour tous a et b dans J, a < b → f(a) < f(b) 7) Etude des variations de f sur [-10 ; 7].

La présentation initiale de la fonction est une chaîne de cinq maillons, chaque maillon étant une fonction de référence.

a) Compléter le tableau ci-dessous montrant une construction progressive des variations de la fonction f.

de x -10 7 Maillon 1 Maillon 2 Maillon 3 Maillon 4

Maillon 5 Valeurs et variations

de 3x + 2 0 23 -28

Valeurs et variations de (3x + 2)²

784 529 0

de (3x + 2)² + 1 785 530 1

de

( )

²

1 3x 2+ + 1

1 1

785 ¹ 530 Valeurs et variations

de

( )

²

1 7

3x 2 1

− + +

738

785 ⁵²³ 530 -6

b) Rappeler ci-contre les définitions de une fonction décroissante

sur un intervalle J. Th.7 : une fonction f est décroissante sur un intervalle J si : pour tous a et b dans J, a

f(b) une fonction croissante sur

un intervalle J. Th.8 : une fonction f est croissante sur un intervalle J si : pour tous a et b dans J, a < b → f(a) < f(b) c) Citer les théorèmes utilisés pour chaque maillon.

N° du

maillon ↓ Théorèmes ↓

1 Th.9 : toute fonction affine telle que f(x) = αx + β avec α > 0 est croissante sur R Th.8

2 Th.10 : la fonction « élévation au carré » est croissante sur [0 ; +∞[ et décroissante sur ]-∞ ; 0]

Th.7 Th.8

3 Th.9 Th.8

4 Th.11 : la fonction « passage à l’inverse » est décroissante sur [0 ; +∞[

Th.7

5 Th.f12: toute fonction affine telle que f(x) = αx + β avec α < 0 est décroissante sur R Th.7

d) Compléter le tableau suivant

Minimum de f sur [-10; 7] -6 Valeur de la variable libre

donnant ce minimum ⁻²₃

Maximum de f sur [-10; 7] ₅₂₃

530

Valeur de la variable libre donnant ce maximum

7