Suites de fonctions
Exercice 1
Etudier la convergence simple et la convergence uniforme sur R de la suite de fonctions (fn) dans chacun des cas suivants :
1. fn(x) = ex+ sin nx n + ex 2. fn(x) = x
n (n ≥ 1).
Dans le deuxi`eme cas ´etudier aussi la convergence uniforme sur un segment born´e [a , b].
Exercice 2
Etudier la convergence simple et uniforme de la suite (fn)nd´efinie par fn(x) = 2nx
1 + n2x2 1. Sur l’intervalle [0 , +∞[.
2. Sur l’intervalle [a , +∞[. (a > 0)
Exercice 3
Soit (fn)n≥1 la suite de fonctions d´efinies sur R par fn(x) = ne−x+ x2 n + x2 · 1. Etudier la convergence simple de cette suite de fonctions.
2. Montrer qu’elle est uniform´ement convergente sur tout segment born´e [a , b].
3. Montrer qu’elle ne converge pas uniform´ement sur [a , +∞[.
4. Calculer la limite, lorsque n → ∞ de In= Z 1
0
fn(x) dx.
Exercice 4 Soit (fn)n≥1 la suite de fonctions d´efinies sur R par fn(x) = x2sin 1
nx si x 6= 0 et fn(0) = 0.
1. Etudier la convergence simple de cette suite de fonctions.
2. Montrer qu’elle converge uniform´ement sur tout intervalle born´e de R.
3. Montrer qu’elle n’est pas uniform´ement convergente sur R.
Exercice 5
1. D´eterminer la limite simple des fonctions fn : x 7→ − > xne−x
n! sur R+ et montrer qu’il y a convergence uniforme. (On admettra la formule de Stirling : n! ∼ nne−n√
2πn) 2. Calculer lim
n→∞
Z +∞
t=0
fn(t) dt. Quel commentaire cela vous inspire t’il ?
Exercice 6
Soit (fn)n≥1 la suite de fonctions d´efinies sur [0, 1] par fn(x) = (x3+ 1)nex+ x−x
n + x · 1. Etudier la convergence simple de cette suite de fonctions.
2. Montrer que cette suite est uniform´ement convergente.
3. En d´eduire limn→∞In avec In= Z 1
0
(x3+ 1)nex+ x−x n + x
Exercice 7
Soit (fn)n la suite de fonctions d´efinies sur [0, 1] par fn(x) = 2nx 1 + 2nnx2· 1. Etudier la convergence simple de cette suite de fonctions.
2. Calculer In = R1
0 fn(t)dt et limn→∞In. En d´eduire que la suite (fn)n n’est pas uniform´ement convergente sur [0,1].
3. Donner une d´emonstration directe de ce que la suite (fn)nn’est pas uniform´ement convergente sur [0,1]
Exercice 8
Donner un exemple d’une suite de fonctions continues (fn)nd´efinies sur [0,1], conver- geant simplement vers la fonction nulle, telle que limn→∞
R1
0 fn(t)dt = ∞.
Exercice 9
On d´efinit la suite fn : R+∗−→ R+∗ par :
f0(x) = x, fn+1(x) = 1
2
fn(x) + x fn(x)
. 1. Montrer que, pour tout n ≥ 1, et tout x > 0, fn+1(x) −√
x = 1 2
(fn(x) −√ x)2 2fn(x) 2. En d´eduire que, pour chaque valeur fix´ee de x, la suite num´erique (f (x)) est
3. Montrer que (fn) converge uniform´ement sur chaque ferm´e [0, A].
4. Demontrer que (fn) ne converge pas uniform´ement sur R+∗(on pourra expliciter, par r´ecurrence sur n, un minorant simple de fn(x) qui est un monˆome de degr´e 1 en x).
Exercice 10 (Limite de fn(xn))
Soit I un intervalle r´eel, et (fn) une suite de fonctions continues `a valeurs complexes, qui converge simplement vers une fonction f , et (xn) une suite de points de I qui converge vers un point x ∈ I.
1. Si les fonctions fn convergent uniform´ement, montrer que fn(xn) −→
n→+∞f (x).
2. Donner un contre-exemple lorsqu’il y a seulement convergence simple.
Exercice 11
Soit p ∈ N, [a, b] un intervalle ferm´e born´e, et (fn) une suite de fonctions polynˆomes sur [a, b], de degr´es ≤ p, qui converge simplement vers f . Soit a ≤ a0 < a1 < · · · < ap ≤ b une suite de points distincts de [a, b].
1. On rappelle la d´efinition des polynˆomes d’interpolation de Lagrange (Li)0≤i≤p
associ´es `a la suite (ai),
Li(X) = Qp
j=0
j6=i
(X − aj) Qp
j=0
j6=i
(ai− aj)·
D´emontrer que si g est une fonction polynˆome de degr´e ≤ p sur [a, b], alors
g(t) =
p
X
i=0
g(ai)Li(t).
2. Montrer que f est encore une fonction polynˆome de degr´e ≤ p. Pour toute fonction polynˆome complexe g, on note Ak(g) le coefficient de xk dans g (ceci est un abus de langage, pourquoi ?). Prouver que, pour 0 ≤ k ≤ p, Ak(f ) = limn→∞Ak(fn).
3. Montrer que la suite (fn) est uniform´ement convergente.
Exercice 12 (Centrale MP 2002)
Soit f : R −→ R continue et 2π-p´eriodique.
Pour n ∈ N∗, on pose Fn(x) = 1 n
Z n t=0
f (x + t)f (t) dt.
1. Montrer que la suite (Fn) converge vers une fonction F que l’on pr´ecisera.
2. Nature de la convergence ?
3. Prouver kF k∞= |F (0)| (Indication : Utiliser l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz).
Exercice 13 (Convergence uniforme et composition)
Soient I et J deux intervalles r´eels (non n´ecessairement born´es), et (gn) une suite de fonctions de I dans J qui converge uniform´em´ent vers une fonction g. Soit f ∈ C0(J, R) et soit (hn) la suite d´efinie par hn= f ◦ gn.
1. Montrer que si J est born´e, la suite (hn) est uniform´ement convergente.
2. Montrer que si J n’est pas born´e la suite hn n’est pas n´ecessairement uni- form´ement convergente.
S´ eries de fonctions
Exercice 14
Etudier la convergence simple, la convergence normale, et enfin la convergence uniforme´ de la s´erie de fonctionsX
n≥1
un dans les cas suivants :
1. un(x) = 1
1 + xn , sur ]1, +∞[ et sur [a, +∞[ avec a > 1.
2. un(x) = x
n2+ x2 , sur [0, +∞[ et sur [0, a].
3. un(x) =
√x
n2+ x2 , sur [0, +∞[.
Exercice 15
1. ´Etudier la convergence de la s´erie f (x) =
∞
P
n=0
1 1 + xn.
2. Montrer que f est de classe C1 sur son domaine de d´efinition.
3. Tracer la courbe repr´esentative de f sur ]1, +∞[.
Exercice 16
Montrer que la s´erie de fonctions P+∞
n=1un o`u un(x) = log n
1 + n+ 1 x + n
converge sur [0, +∞[ vers une fonction de classe C1 dont la d´eriv´ee est < 0.
Exercice 17
Donner un exemple simple d’une s´erie de fonctions qui est uniform´ement convergente, sans ˆetre normalement convergente (on pourra penser `a une suite (un)n∈N telle que, en tout x donn´e, il existe au plus une valeur de n telle que un(x) 6= 0).
Exercice 18
X xe−nx
1. Etudier la convergence simple de cette s´erie.
2. Montrer qu’elle n’est pas normalement convergente.
3. Donner un majorant du reste d’ordre n, Rn=P∞
k=n+1un(x) et en d´eduire qu’elle est uniform´ement convergente.
Exercice 19 Soit (λn) une suite croissante de r´eels strictement positifs telle que lim(λn) = +∞. On consid`ere la s´erie P
n≥0un avec un(x) = (−1)ne−λnx. 1. Etudier la convergence simple de cette s´erie.
2. Pour tout x > 0 on note S(x) la somme de cette s´erie. Monter que 0 ≤ S(x) ≤ e−λ0x.
3. Soit Rn(x) = P
k>nuk(x) le reste d’ordre n de cette s´erie. Montrer que pour x > 0 on a |Rn(x)| ≤ e−λn+1x. Quel est le signe de Rn(x)?
4. En d´eduire que pour tout a > 0 la s´erie P un est uniform´ement convergente sur [a, +∞[ et que sa somme est continue sur ]0, +∞[.
Exercice 20 Soit α ≥ 0. On consid`ere la suite un de fonctions d´efinies sur [0, +∞[
par
un(x) =
0 si x = 0
xαe−nx pour x > 0
1. D´emontrer que la s´erie de terme g´en´eral un converge simplement et calculer sa somme.
2. D´emontrer que cette s´erie converge uniform´ement sur tout intervalle de la forme [a, +∞[, avec a > 0.
3. Etudier selon les valeurs de α la convergence uniforme sur [0, +∞[.
Exercice 21 Soit un(x) = (−1)nln
1 + x
n(1 + x)
.
1. Montrer que la s´erie P un converge simplement sur R+ vers une fonction que l’on notera f .
2. Majorer convenablement le reste de la s´erie, et montrer qu’il y a convergence uniforme sur R+.
3. Y a-t-il convergence normale ?
Exercice 22 Soit un : [0, 1] −→ R d´efinie par un(x) = (−1)n n
xn 1 + x. 1. Montrer que la s´erie P+∞
n=0un est simplement convergente.
2. Majorer le reste d’ordre Rn(x) = P∞
k=n+1un(x) par le th´eor`eme des s´eries al- tern´ees.
3. En d´eduire que la s´erie P+∞
n=0un est uniform´ement convergente.
Exercice 23 Soit un(x) = (−1)n
√n arctan x
√n· Montrer que P+∞
n=1un converge uni- form´ement sur R vers une fonction impaire continue et born´ee.
Exercice 24
1. Montrer que la s´erieP
n≥2un, o`u un(x) = sin(nx)
√n + cos(nx), converge uniform´ement sur tout intervalle [α, π − α], avec 0 < α < π/2.
2. En minorant la somme P2n−1
k=n uk(π/4n), montrer que cette s´erie n’est pas uni- form´ement convergente sur [0, π/2].
Exercice 25 Pour n ∈ N∗ et x ∈ [−1, 1] on pose un(x) = xnsin(nx)
n .
1. Montrer que
∞
P
n=1
un converge simplement sur [−1, 1] vers une fonction f . 2. Plus pr´ecis´ement, montrer que la convergence est uniforme.
3. Justifier la d´erivabilit´e de f sur ] − 1, 1[ et calculer f0(x). En d´eduire f (x).
R´eponse : f (x) = arctan
x sin x 1 − x cos x
. 4. En d´eduire la valeur de
∞
P
n=1
sin n
n (R´eponse : π − 2 2 ).
Exercice 26 Soit fn(x) = (−1)ncosnx n + 1 . 1. ´Etudier la convergence de f (x) =
∞
P
n=0
fn(x).
2. Montrer la convergence de la s´erie de terme g´en´eral un=Rπ/2
x=0fn(x) dx.
3. En d´eduire
∞
P
n=0
unsous forme d’une int´egrale (R´eponse :Rπ/2
x=0− ln(1−cos x) dx).
Exercice 27
1. ´Etudier la convergence simple et uniforme, de
∞
P
n=0
arctan(x + n) − arctan(n).
2. On note f (x) =
∞
P
n=0
arctan(x + n) − arctan(n). Montrer que f est de classe C1 sur R.
3. Expliciter une relation simple entre f (x) et f (x + 1) (R´eponse : f (x + 1) = f (x) + π
2 − arctan x).
4. Expliciter limx→+∞f (x).
