M1 MEEF 2nd degr´ e, CAPES de Maths/maths Ecrit blanc du 28 novembre 2016 ´
Dur´ ee : 5h
Une attention particuli`ere sera port´ee lors de la correction `a la lisibilit´e de la copie et `a la qualit´e de la r´edaction, et notamment `a l’utilisation des quantificateurs. Il est fondamental, lorsque l’on utilise un r´esultat du cours, de l’´enoncer clairement et de v´erifier que l’on est bien dans son champ d’application !
Par ailleurs, si un(e) candidat(e) d´etecte ce qu’il/elle pense ˆetre une erreur d’´enonc´e, il/elle le signale tr`es clairement sur sa copie, propose une correction et poursuit l’´epreuve en cons´e- quence.
Ce sujet, compos´e de cinq exercices ind´ependants les uns des autres, comporte 6 pages num´erot´ees de 1 `a 6. Merci d’indiquer dans l’entˆete de votre copie si vous ˆetes en option maths ! Exercice 1.
1. On d´efinit une suite (fn)n≥2de fonctions sur [0, 1] par : pour tout n ≥ 2 et tout t ∈ [0, 1],
fn(t) =
n2t si t ∈ [0, 1/n]
2n − n2t si t ∈ ]1/n, 2/n]
0 si t ∈ ]2/n, 1]
(a) Soit n ≥ 2. V´erifier que fn est continue sur [0, 1], tracer l’allure de sa courbe repr´e- sentative. Calculer R1
0 fn(t) dt.
(b) Justifier que, pour tout x ∈ [0, 1], la limite de (fn(x))n existe et est ´egale `a 0.
(c) A-t-on l’´egalit´e (∗)
(∗) lim
n
Z
fn(t) dt = Z
limn fn(t) dt ?
2. Expliciter une suite (gn) de fonctions continues et positives, d´efinies sur R+ telle que la suite (gn) converge uniform´ement vers 0 lorsque n tend vers +∞ mais la suite des int´egrales (R+∞
0 gn(t) dt)n ne converge pas vers 0. Attention : l’´enonc´e indiquait par erreur «R+∞
0 gn)n» au lieu de R1 0...
3. Soit (hn) une suite de fonctions d´efinies sur [0, 1]. On suppose que, pour tout t ∈ [0, 1]
fix´e, la suite (hn(t)) converge, vers une valeur que l’on notera h(t), et que l’on a de plus : limn sup
t∈[0,1]
|hn(t) − h(t)| = 0
Montrer alors que la suite (R1
0 |hn(t) − h(t)| dt) tend vers 0 et en d´eduire que la suite (R1
0 hn(t) dt) converge et donner la valeur de sa limite.
Exercice 2. Soit q ∈]0, 1[ et (X, Y ) un couple de variables al´eatoires discr`etes dont la loi est donn´ee par : pour tout (j, k) ∈ N2, P(X = j, Y = k) = αq2j+k o`u α est un r´eel strictement positif.
1. D´eterminer la valeur de α.
2. Calculer P(X = Y ).
4. D´etailler le calcul de l’esp´erance et de la variance de X.
5. D´eterminer la loi de Y .
6. Les variables al´eatoires X et Y sont-elles ind´ependantes ? 7. D´eterminer la loi de (X, X + Y ) et en d´eduire la loi de X + Y . 8. Les variables al´eatoires X et X + Y sont-elles ind´ependantes ? Exercice 3.
Dans tout ce probl`eme, on notera I l’intervalle I =] − ∞, 1[.
On pourra utiliser sans les justifier les r´esultats suivants :
— P
k≥1k−2 = π2/6
— Si une fonction f est d´eveloppable en s´erie enti`ere au voisinage 0, ie s’il existe une suite (an) de r´eels et un r´eel R > 0 tels que, pour tout x ∈] − R, R[, f (x) =P
n≥0anxn alors, f est de classe C∞ et pour tout n ≥ 0, on a an = f(n)(0)/n!
Partie I
Soient g et h deux fonctions continues sur I. On suppose qu’il existe un r´eel a ∈ I tel que h ne s’annule pas sur ]a, 1[, et que g et h sont ´equivalentes au voisinage de 1.
1. Montrer que h est de signe constant sur ]a, 1[. On supposera pour la suite que h est positive sur ]a, 1[.
2. Montrer qu’il existe un r´eel b ∈ [a, 1[ tel que, pour tout t ∈ [b, 1[, 1
2h(t) ≤ g(t) ≤ 3 2h(t).
3. En d´eduire que g est ´egalement positive sur [b, 1[, puis que la fonction x 7→ Rx
0 g(t) dt est croissante sur [b, 1[.
4. En d´eduire que les int´egralesR1
0 g etR1
0 h sont de mˆeme nature. Plus pr´ecis´ement, montrer que
— SiRx
0 h(t) dt admet une limite finie lorsque x → 1−, alorsRx
0 g(t) dt admet une limite finie lorsque x → 1−,
— Et siRx
0 h(t) dt tend vers +∞ lorsque x → 1−, alorsRx
0 g(t) dt tend vers +∞ lorsque x → 1−.
Partie II
On consid`ere les fonctions φ et f d´efinies sur l’intervalle I =] − ∞, 1[, par φ(t) = ln(1 − t) et
f (t) =
ln(1−t)
t si t 6= 0
−1 si t = 0
1. Justifier que φ est de classe C1 sur I et expliciter sa d´eriv´ee.
2. ´Etudier les variations de φ et donner l’allure de sa repr´esentation graphique.
3. D´eterminer le d´eveloppement en s´erie enti`ere de φ au voisinage de 0. Quel est le rayon de convergence de cette s´erie ?
4. En vous aidant des questions pr´ec´edentes, montrer que f est de classe C∞ sur I et d´eterminer, pour tout n ≥ 0, la valeur de f(n)(0).
5. Montrer ´egalement que, au voisinage de 1−, f (t) ∼ ln(1 − t).
6. V´erifier que la fonction x 7→ x ln(x)−x admet pour d´eriv´ee sur R+∗la fonction x 7→ ln(x) et en d´eduire une primitive de t 7→ ln(1 − t) sur I.
Partie III
On d´efinit la fonction L sur I par : L(x) = −
Z x 0
f (t) dt = − Z x
0
ln(1 − t)
t dt.
1. Justifier que L(x) est d´efini pour tout x ∈ I.
2. Montrer, en vous appuyant sur des r´esultats des parties pr´ec´edentes, que −Rx
0 f (t) dt admet une limite finie lorsque x → 1−. La fonction L peut ainsi ˆetre prolong´ee par continuit´e en 1. On notera par la suite L(1) = limx→1−L(x).
3. Montrer que L admet un d´eveloppement en s´erie enti`ere au voisinage de 0, que l’on explicitera et dont on donnera le rayon de convergence. Justifier la convergence de la s´erie obtenue en tout point du bord du disque de convergence et donner la valeur de L(1).
4. Toujours `a l’aide du d´eveloppement en s´erie enti`ere de L, montrer que, pour tout x de [−1, 1],
L(x) + L(−x) = 1 2L(x2) 5. En d´eduire la valeur de L(−1), puis celle de la s´erie
X
n≥1
(−1)n n2 6. Montrer que, pour tout x ∈]0, 1[,
L(x) + ln(1 − x) ln(x) + L(1 − x) = −L(1)
7. D´eduire de la relation ci-dessus la valeur de L(1/2), puis la somme de la s´erie X
n≥1
1 2nn2.
8. V´erifier que, pour tout x ∈]0, 1[, on a (1 − x)/(x + 1) ∈]0, 1[.
9. On note ψ la fonction d´efinie pour tout x ∈]0, 1[ par ψ(x) = L(x) − L(−x) + L 1 − x
x + 1
− L x − 1 x + 1
+ ln(x) ln 1 − x 1 + x
Montrer que ψ est constante.
10. ´Etudier par ailleurs la limite de ψ en 0+ ou en 1− et conclure quant `a la valeur de ψ.
11. D´eterminer un r´eel x0 de ]0, 1[ tel que x = x − 1
x + 1 et en d´eduire la valeur de la s´erie X
n≥0
(√
2 − 1)2n+1 (2n + 1)2
Exercice 4. La loi normale figure au programme de la classe Terminale des diff´erentes s´eries du lyc´ee. Ce probl`eme a pour objet d’´etablir plusieurs r´esultats essentiels pour l’´etude de cette loi.
Les parties A et B visent `a d´emontrer, grˆace `a l’´etude d’une suite, la convergence de l’int´e- grale de Gauss. La partie C consiste `a justifier la validit´e de la d´efinition de la loi normale et `a calculer les principaux param`etres relatifs `a cette loi. La partie D est une application de cette loi en statistique.
Partie A : Int´egrales de Wallis.
Pour tout entier naturel n, on pose : Wn=
Z π/2 0
sinn(t) dt 1. Calculer les valeurs de W0, W1 et W2.
2. Montrer que la suite (Wn)n≥0 est strictement d´ecroissante et strictement positive.
3. Montrer que (Wn)n converge vers une limite ` ∈ R+, que l’on ne cherchera pas `a d´eter- miner dans cette question.
4. Soit n ∈ N. Justifier que
(n + 2) sinn+2(t) = (n + 1) sinn(t) − sinn+1(t) cos(t)0
et en d´eduire que
(n + 2)Wn+2 = (n + 1)Wn 5. Montrer que, pour tout n ∈ N,
1 ≤ Wn
Wn+1 ≤ n + 2 n + 1
6. Montrer, comme vous le feriez devant une classe de Terminale S, que la suite (Wn/Wn+1)n converge et donner sa limite.
7. Pour tout n ∈ N, on pose un= (n + 1)Wn+1Wn. Montrer que la suite (un) est constante et d´eterminer sa valeur.
8. `A l’aide des questions pr´ec´edentes, ´etudier les limites des suite (Wn), (nWn2) et (√ nWn).
Partie B : Calcul de l’int´egrale de Gauss.
1. D´emontrer que, pour tout x ∈] − 1, +∞[, on a ln(x + 1) ≤ x 2. En d´eduire que, pour tout n ∈ N∗ et pour tout x ∈ [0,√
n], on a
1 −t2
n
n
≤ e−t2 ≤
1 + t2
n
−n
3. Montrer par exemple en effectuant le changement de variable t = √
n cos(u), que, pour tout n ∈ N, on a
Z
√n
0
1 − t2
n
n
dt =√ n
Z π/2 0
sin2n+1(u) du
4. Montrer par exemple en effectuant le changement de variable t = √
n cotan(u), que, pour tout n ∈ N, on a
Z
√n
0
1 + t2
n
−n
dt =√ n
Z π/2 π/4
sin2n−2(u) du 5. En d´eduire que, pour tout n ∈ N, on a :
√nW2n+1 ≤ Z
√n
0
e−t2dt ≤ √
nW2n−2
6. En d´eduire la convergence de l’int´egrale de Gauss d´efinie par J = R+∞
0 e−t2dt et d´eter- miner sa valeur. Justifier finalement que
Z +∞
−∞
e−x2/2dx =√ 2π.
Partie C : Loi normale.
Dans cette partie, on note φ la fonction d´efinie surf R par φ(t) = e−x2/2/√
2π et on consid`ere une variable al´eatoire Z de loi de densit´e φ.
1. D´emontrer comme vous le feriez devant une classe de Terminale que la variable al´eatoire Z admet une esp´erance, et d´eterminer sa valeur.
2. D´emontrer ´egalement que la variable al´eatoire Z admet une variance et d´eterminer sa valeur.
3. On fixe un r´eel α ∈]0, 1[.
(a) Justifier l’existence et l’unicit´e d’un r´eel u tel que P(−u ≤ Z ≤ u) = 1 − α.
(b) On rappelle les valeurs suivantes :
P(Z ≤ 1.645) = 0.95, P(Z ≤ 1.96) = 0.975 Donner la valeur de u pour α = 0.05.
4. Dans cette question, on fixe deux r´eels σ > 0 et m et on note X la variable al´eatoire X = σZ + m. D´eterminer une expression de la densit´e de X, calculer son esp´erance et sa variance.
5. On note Y = Z2.
(a) D´eterminer l’esp´erance et la variance de Y .
(b) Expliciter la fonction de r´epartition de Y en fonction de celle de Z.
(c) En d´eduire une expression de la densit´e de Y .
Partie D : Utilisation de la loi normale en statistique.
1. Rappeler l’´enonc´e du th´eor`eme de de Moivre-Laplace, appliqu´e `a une suite de variables al´eatoires (Sn) de loi binomiale de param`etre (n, p).
2. Lors de la derni`ere ´election pr´esidentielle am´ericaine, parmi les ´electeurs ayant vot´e pour les deux principaux candidats, 50.8% ont vot´e pour Hillary Clinton et 49.2% pour Donald Trump.
(a) Dans le comt´e de Dutchess (´Etat de New-York), 115037 ´electeurs se sont prononc´es en faveur de Trump ou de Clinton. Sous l’hypoth`ese que la proportion d’´electeurs en faveur de Clinton est la mˆeme dans cet ´etat que dans l’ensemble des ´Etats-Unis,
(b) D´eterminer un intervalle de fluctuation asymptotique de la proportion d’´electeurs du comt´e de Dutchess votant pour Hillary Clinton.
(c) Dans ce comt´e, 58163 ´electeurs ont vot´e pour Trump et 56874 ont vot´e pour Clinton.
La proportion d’´electeurs ayant vot´e pour Clinton dans ce comt´e est-elle significati- vement diff´erente de la proportion g´en´erale d’´electeurs en faveur de cette candidate ?
