M1 MEEF 2nd degr´ e, CAPES de Maths/info Ecrit blanc du 28 novembre 2016 ´
Dur´ ee : 5h
Une attention particuli`ere sera port´ee lors de la correction `a la lisibilit´e de la copie et `a la qualit´e de la r´edaction, et notamment `a l’utilisation des quantificateurs. Il est fondamental, lorsque l’on utilise un r´esultat du cours, de l’´enoncer clairement et de v´erifier que l’on est bien dans son champ d’application !
Par ailleurs, si un(e) candidat(e) d´etecte ce qu’il/elle pense ˆetre une erreur d’´enonc´e, il/elle le signale tr`es clairement sur sa copie, propose une correction et poursuit l’´epreuve en cons´e- quence.
Ce sujet, compos´e de cinq exercices ind´ependants les uns des autres, comporte 5 pages num´erot´ees de 1 `a 5. Merci d’indiquer dans l’entˆete de votre copie que vous ˆetes en option info ! Exercice 1.
1. On d´efinit une suite (fn)n≥2de fonctions sur [0, 1] par : pour tout n ≥ 2 et tout t ∈ [0, 1],
fn(t) =
n2t si t ∈ [0, 1/n]
2n − n2t si t ∈ ]1/n, 2/n]
0 si t ∈ ]2/n, 1]
(a) Soit n ≥ 2. V´erifier que fn est continue sur [0, 1], tracer l’allure de sa courbe repr´e- sentative. Calculer R1
0 fn(t) dt.
(b) Justifier que, pour tout x ∈ [0, 1], la limite de (fn(t))n existe et est ´egale `a 0.
(c) A-t-on l’´egalit´e (∗)
(∗) lim
n
Z
fn(t) dt = Z
limn fn(t) dt ? 2. On consid`ere maintenant la suite de fonctions (gn)n≥1 d´efinies par :
gn(t) =
t/n2 si t ∈ [0, n]
(2n − t)/n2 si t ∈ ]n, 2n]
0 si t > 2n
(a) V´erifier que, pour tout n ≥ 1, gn est continue et calculer R+∞
0 gn(t) dt.
(b) D´eterminer, pour tout t ∈ R+, limngn(t), puis R+∞
0 limngn(t) dt.
(c) A-t-on l’´egalit´e
limn
Z
gn(t) dt = Z
limn gn(t) dt ?
3. Soit (hn) une suite de fonctions d´efinies sur [0, 1]. On suppose que, pour tout t ∈ [0, 1]
fix´e, la suite (hn(t)) converge, vers une valeur que l’on notera h(t), et que l’on a de plus : limn sup
t∈[0,1]
|hn(t) − h(t)| = 0
Montrer alors que la suite (R1
0 |hn(t) − h(t)| dt) tend vers 0 et en d´eduire que la suite (R1
0 hn(t) dt) converge et donner la valeur de sa limite.
Exercice 2. La sorci`ere se pr´esente un matin devant Blanche-Neige avec 10 pommes dans son panier, dont trois sont empoisonn´ees. Blanche-neige en prend deux successivement, avant de les manger. Expliciter l’espace probabilis´e utilis´e pour r´epondre aux 3 questions suivantes, et r´epondre `a toutes les questions comme vous le feriez devant une classe :
1. Quelle est la probabilit´e que Blanche-Neige survive ?
2. Quelle est la probabilit´e qu’elle soit empoisonn´ee avec la 2`eme pomme ? 3. Quelle est la probabilit´e que la 2`eme pomme choisie soit empoisonn´ee ?
4. Si Blanche-Neige ne succombe pas le premier jour, la sorci`ere revient le lendemain avec un panier de 10 pommes dont trois empoisonn´ees, et ainsi de suite. Combien de jours la sorci`ere doit-elle pr´evoir de venir pour que la probabilit´e que Blanche-Neige meure soit sup´erieure `a 0.99 ?
Exercice 3. Soit q ∈]0, 1[ et (X, Y ) un couple de variables al´eatoires discr`etes dont la loi est donn´ee par : pour tout (j, k) ∈ N2, P(X = j, Y = k) = αq2j+k o`u α est un r´eel strictement positif.
1. D´eterminer la valeur de α.
2. Calculer P(X = Y ).
3. D´eterminer la loi de X.
4. D´etailler le calcul de l’esp´erance et de la variance de X.
5. D´eterminer la loi de Y .
6. Les variables al´eatoires X et Y sont-elles ind´ependantes ? 7. D´eterminer la loi de (X, X + Y ) et en d´eduire la loi de X + Y . 8. Les variables al´eatoires X et X + Y sont-elles ind´ependantes ?
Exercice 4. Quelques propri´et´es de la fonction exponentielle.
Le but de ce probl`eme est de construire la fonction exponentielle et de montrer quelques unes de ses propri´et´es, comme on le ferait devant une classe de Terminale.
Il est donc fondamental de ne pas supposer ces propri´et´es v´erifi´ees !
On suppose, dans tout l’exercice, l’existence et l’unicit´e d’une fonction f de classe C1 sur R, solution de l’´equation diff´erentielle (E)
(E) f0(x) = f (x) f (0) = 1
On appellera cette fonction la fonction exponentielle, et on la notera f ou exp.
1. On note g la fonction d´efinie sur R par g(x) = exp(x) exp(−x).
(a) Quelle est la valeur de g(0) ?
(b) Montrer, en utilisant (E), que g est constante.
(c) En d´eduire que exp ne s’annule pas sur R.
2. Soit a un r´eel fix´e. On note ha la fonction d´efinie sur R par ha(x) = f (x + a)/f (x).
Montrer que ha est constante.
3. En d´eduire que pour tous r´eels a et b, on a exp(a + b) = exp(a) exp(b).
4. Montrer que exp est `a valeurs dans R+. En d´eduire le sens de variation de cette fonction.
2/5 Tournez SVP
5. ´Etudier la convexit´e de la fonction exp et traduire le r´esultat obtenu par deux propri´et´es de la courbe repr´esentative de exp.
6. Montrer maintenant que pour tout r´eel a et pour tout entier n (naturel puis relatif), exp(na) = (exp(a))n
7. Puis que pour tout r´eel x et pour tout rationnel r, exp(ra) = (exp(a))r.
8. Pourquoi est-il l´egitime `a partir de maintenant de noter exp(x) = ex. Comment est d´efini e ? Les ´el`eves de Terminale ont-ils les outils pour d´efinir axpour tous r´eels x et a ? Quelles sont les valeurs de x et/ou a pour lesquelles cela ne devrait pas poser de probl`eme ? 9. Comportement asymptotique
(a) D´eterminer l’´equation de la tangente `a la courbe repr´esentative de exp au point (0, 1).
Justifier que la courbe repr´esentative de exp est « au-dessus » de cette tangente. En d´eduire la limite de exp en +∞ puis en −∞.
(b) En vous appuyant sur les r´esultats obtenus `a la question pr´ec´edente, expliciter une constante α > 0 telle que pour tout x ∈ [1, +∞[,
exp(x/2)
x ≥ α
et en d´eduire que exp(x)/x tend vers +∞ en +∞, puis ´etudier la limite de x exp(x) en −∞.
(c) Pour tout n ∈ N∗, ´etudier de mˆeme les limites de x−nexp(x) en +∞ et de xnexp(x) en −∞.
10. Dans cette question, on ´etudie les int´egrales g´en´eralis´ees In = R+∞
0 tnexp(−t) dt pour n ∈ N.
(a) Justifier la convergence de I0 et donner sa valeur.
(b) On fixe un entier n ∈ N. Justifier, comme vous le feriez devant une classe, la conver- gence de l’int´egrale In.
(c) Pour tout entier n et tout r´eel A > 0, montrer que Z A
0
tn+1exp(−t) dt = −An+1e−A+ (n + 1) Z A
0
tnexp(−t) dt (d) En d´eduire une relation entre In et In+1, puis la valeur de In pour tout n.
11. D´eterminer, pour tout λ r´eel, le sens de variation, la d´eriv´ee et la primitive nulle en 0 de la fonction t 7→ exp(−λt).
12. Utilisation en probabilit´es. On note X une variable al´eatoire de loi exponentielle, c’est-
`
a-dire de densit´e fλ : t 7→ λ exp(−λt)1R+(t), o`u λ est un r´eel strictement positif fix´e.
(a) D´eterminer l’esp´erance de X.
(b) Expliciter, pour tout t ≥ 0, P(X ≥ t).
(c) Montrer que, pour tout (s, t) ∈ (R+)2, on a
P{X≥t}(X ≥ t + s) = P(X ≥ s).
On dit que X suit une loi sans m´emoire.
(d) Soit Y une variable al´eatoire de loi sans m´emoire. On note G la fonction d´efinie pour tout t ≥ 0 par G(t) = P(Y ≥ t), et on supposera cette fonction G de classe C1 sur R+. Montrer que G(0) = 1 et que l’on a, pour tout (t, s) ∈ (R+)2, G0(t + s) = G0(t)G(s), puis qu’il existe un r´eel α tel que, pour tout s ∈ R+, G0(s) = αG(s). En d´eduire l’expression de G, puis celle de la densit´e de Y .
Exercice 5. La loi normale figure au programme de la classe Terminale des diff´erentes s´eries du lyc´ee. Ce probl`eme a pour objet d’´etablir plusieurs r´esultats essentiels pour l’´etude de cette loi.
Les parties A et B visent `a d´emontrer, grˆace `a l’´etude d’une suite, la convergence de l’int´e- grale de Gauss. La partie C consiste `a justifier la validit´e de la d´efinition de la loi normale et `a calculer les principaux param`etres relatifs `a cette loi.
Partie A : Int´egrales de Wallis.
Pour tout entier naturel n, on pose : Wn=
Z π/2 0
sinn(t) dt 1. Calculer les valeurs de W0, W1 et W2.
2. Montrer que la suite (Wn)n≥0 est strictement d´ecroissante et strictement positive.
3. Montrer que (Wn)n converge vers une limite ` ∈ R+, que l’on ne cherchera pas `a d´eter- miner dans cette question.
4. Soit n ∈ N. Justifier que
(n + 2) sinn+2(t) = (n + 1) sinn(t) − sinn+1(t) cos(t)0 et en d´eduire que
(n + 2)Wn+2 = (n + 1)Wn 5. Montrer que, pour tout n ∈ N,
1 ≤ Wn
Wn+1 ≤ n + 2 n + 1
6. Montrer, comme vous le feriez devant une classe de terminale S, que la suite (Wn/Wn+1)n converge et donner sa limite.
7. Pour tout n ∈ N, on pose un= (n + 1)Wn+1Wn. Montrer que la suite (un) est constante et d´eterminer sa valeur.
8. `A l’aide des questions pr´ec´edentes, ´etudier les limites des suite (Wn), (nWn2) et (√ nWn).
Partie B : Calcul de l’int´egrale de Gauss.
1. D´emontrer que, pour tout x ∈] − 1, +∞[, on a ln(x + 1) ≤ x 2. En d´eduire que, pour tout n ∈ N∗ et pour tout x ∈ [0,√
n], on a
1 −t2
n
n
≤ e−t2 ≤
1 + t2
n
−n
3. Montrer par exemple en effectuant le changement de variable t = √
n cos(u), que, pour tout n ∈ N, on a
Z
√n
0
1 − t2
n
n
dt =√ n
Z π/2 0
sin2n+1(u) du 4. Montrer par exemple en effectuant le changement de variable t = √
n cotan(u), que, pour tout n ∈ N, on a
Z
√n
0
1 + t2
n
−n
dt =√ n
Z π/2 π/4
sin2n−2(u) du
4/5 Tournez SVP
5. En d´eduire que, pour tout n ∈ N, on a :
√nW2n+1 ≤ Z
√n
0
e−t2dt ≤ √
nW2n−2
6. En d´eduire la convergence de l’int´egrale de Gauss d´efinie par J = R+∞
0 e−t2dt et d´eter- miner sa valeur. Justifier finalement que
Z +∞
−∞
e−x2/2dx =√ 2π.
Partie C : Loi normale.
Dans cette partie, on note φ la fonction d´efinie sur R par φ(t) = e−x2/2/√
2π et on consid`ere une variable al´eatoire Z de loi de densit´e φ.
1. D´emontrer comme vous le feriez devant une classe de Terminale que la variable al´eatoire Z admet une esp´erance, et d´eterminer sa valeur.
2. D´emontrer ´egalement que la variable al´eatoire Z admet une variance et d´eterminer sa valeur.
3. On fixe un r´eel α ∈]0, 1[.
(a) Justifier l’existence et l’unicit´e d’un r´eel u tel que P(−u ≤ Z ≤ u) = 1 − α.
(b) On rappelle les valeurs suivantes :
P(Z ≤ 1.645) = 0.95, P(Z ≤ 1.96) = 0.975 Donner la valeur de u pour α = 0.05.
4. Dans cette question, on fixe deux r´eels σ > 0 et m et on note X la variable al´eatoire X = σZ + m. D´eterminer une expression de la densit´e de X, calculer son esp´erance et sa variance.
5. On note Y = Z2.
(a) D´eterminer l’esp´erance et la variance de Y .
(b) Expliciter la fonction de r´epartition de Y en fonction de celle de Z.
(c) En d´eduire une expression de la densit´e de Y .
