ERRATA ET COMPL´EMENTS - FORMAT LIVRE
•Page 14 5i`eme ligne en partant du haut :
. . . .
(ii) Montrer que Z = eiθ+z
1 +zeiθ ∈R⇔ |z|= 1, θ6= 0[π].
. . . .
• Page16 : dans la proposition 1.2.1 lire :
. . . . (x =x′cosθ−y′sinθ+a
y =x′sinθ+y′cosθ+b
. . . .
•Page 19 12i`eme en partant du bas : lire
. . . .
• L’ensemble des points M du plan v´erifiant det(−→ u ,−−→
AM) = k est la droite de vecteur directeur −→
u et passant par le point M0 d´efini par −−−→
AM0 =k
−
→u k−→
uk2 o`u le vecteur −→
v est directement perpendiculaire `a −→
u et de mˆeme norme (i.e. si
−
→u = (x, y) alors −→
v = (−y, x)).
. . . .
•Page47 la remarque 3.1.1 est fausse (il existe un contre-exemple non ´el´ementaire).
. . . .
•Page 93 : une impr´ecision dans la remarque 5.2.2 (ii), lire :
. . . . (ii) SiF(a, b) = 0 mais avec ∂F
∂y(a, b) = 0, si ∂F
∂x(a, b)6= 0 alors on peut exprimer x comme fonction implicite d’y.
. . . .
• Page108 m´ethode de d´emonstration lire
. . . .
(iii) D´emonstration de la contrapos´ee (P ⇒Q) ⇔ (¬Q⇒ ¬P) i.e. prouver queP
impliqueQ est ´equivalent `a prouver que nonQimplique non P.
. . . .
• Page109 apr`es laRemarque 7.1.2. lire
. . . .
¬(∀x∈E, P(x))⇔(∃x∈E | ¬P(x))
¬(∃x∈E |P(x))⇔(∀x∈E, ¬P(x))
. . . .
• Page 177 bas de page : lire u `a la place de E `a la fin de la d´efinition 2.2.4. ce qui donne
. . . . D´efinition2.2.4. Endomorphisme diagonalisable
Soit u ∈ L(E), on dit que u est diagonalisable ssid´ef E est somme directe des sous-
espaces propres de u.
. . . .
•Page 202 milieu de page, d´efinition 2.4.10 lire
. . . .
• a=±∞, E =Ron dit que lim
x→af(x) =b ssid´ef
∀ε >0, ∃c∈R tq
(∀x>c, kf(x)−bk6ε si a= +∞
∀x6c, kf(x)−bk6ε si a=−∞.
. . . .
• Page204 fin de page, d´emonstration du th´eor`eme 4.8 lire
. . . .
N′(u(x))6 Xp
i=1
|xi|N′(u(ei))6sup
i
|xi|
| {z }
=N∞(x)
Xp
i=1
N′(u(ei))6α Xp
i=1
N′(u(ei))
| {z }
=C
N(x)
. . . .
• Page 206 haut de page : dans le th´eor`eme du point fixe, rajouter l’hypoth`ese
f(A)⊂A.
. . . . Th´eor`eme 4.9. Th´eor`eme du point fixe
Soitf :A→K o`uA⊂K,K=Rou Cadmettant un point fixea∈A.
Sif est contractante sur A (i.e. ∃k <1,∀(x, y) ∈A2,|f(x)−f(y)|6k|x−y|) et sif(A)⊂Aalors aest l’unique point fixe def.
Si on posex0 =b∈A,xn+1 =f(xn) alors la suite (xn) converge vers a, de plus on a|xn−a|6kn|b−a|.
. . . .
• Page231 bas de page, d´emonstration du th´eor`eme 5.40 : lire
. . . .
D´em : ϕ est strictement monotone (sinon on obtient une contradiction avec le
th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, cf. question (iv) page 65). Quitte `a changer ϕ en −ϕon peut supposer que ϕ′ >0. Si (Jn) est une suite de segments croissante de r´eunion I′ alors (ϕ(Jn)) est une suite de segments croissante, de r´eunion I et on a R
Jnf =R
ϕ(Jn)f ◦ϕ.ϕ′ d’o`u l’´egalit´e par passage `a la limite
. . . .
•Page 231 bas de page, dans la remarque 5.5.2 : lire
. . . . (i) Il faut faire tr`es attention lorsqu’on utilise le th´eor`eme 5.40 et son corollaire
car l’int´egrale d’une fonction continue par morceaux peut se transformer en int´egrale impropre. Prendre par exemple
Z π/2
0
cos(x2) dxlorsqu’on fait le chan- gement de variable t=x2.
. . . .
• Page 234 : au corollaire 5.46 rajouter l’hypoth`ese f continue par rapport au
couple (x, t) ce qui donne
. . . . Corollaire 5.46. SiJ est un intervalle quelconque deR, siI est une partie deRet sif est continue par rapport au couple (x, t) alors
. . . .
• Page250 : th´eor`eme 6.19 lire
. . . .
Th´eor`eme 6.19. Convergence normale d’une s´erie de Fourier Soitf ∈ C2π de classeC1 par morceaux.
• les s´eries P
|fb(n))|, P
|fb(−n))|sont convergentes.
• La s´erieS(f) =c0(f)++ P∞ n=1
an(f) cosnt+bn(f) sinntconverge normalement vers f sur R.
• En particulier, pour tout nombre r´eelt, la s´erie de Fourier def converge en ce point, et sa somme est ´egale `af(t) ce que l’on peut ´ecrire
f(t) =
+∞
X
n=−∞
fb(n)eint=c0(f) +
+∞
X
n=1
an(f) cosnt+bn(f) sinnt
. . . .
•Page 258 : question (ii) lire
. . . . (ii) x=x′3+ 2x′−1 (prendres=x′ comme param`etre).
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