(1)ERRATA ET COMPL ´EMENTS DU LIVRE DE COURS •Page 14 5i`eme ligne en partant du haut : rajouterθ6= 0[π]

ERRATA ET COMPL ´EMENTS DU LIVRE DE COURS

•Page 14 5^i`eme ligne en partant du haut : rajouterθ6= 0[π].

•Page 16 : dans la proposition 1.2.1 lire :

(x =x^′cosθ−y^′sinθ+a y =x^′sinθ+y^′cosθ+b

•Page 19 12^i`eme en partant du bas : lire−−−→

AM₀ =k

−→ u k−→uk².

•Page47 la remarque 3.1.1 est fausse (il existe un contre-exemple non ´el´ementaire).

• Page93 : une impr´ecision dans la remarque 5.2.2 (ii), lire : (ii) SiF(a, b) = 0 mais avec ∂F

∂y(a, b) = 0, si ∂F

∂x(a, b)6= 0 alors on peut exprimer xcomme fonction implicite d’y.

•Page 108 m´ethode de d´emonstration lire

(iii) D´emonstration de la contrapos´ee (P ⇒Q) ⇔ (¬Q⇒ ¬P) i.e. prouver queP impliqueQ est ´equivalent `a prouver que non Q implique nonP .

•Page 109 apr`es laRemarque 7.1.2. lire

¬(∀x∈E, P(x))⇔(∃x∈E | ¬P(x) )

¬(∃x∈E |P(x))⇔(∀x∈E, ¬P(x) )

•Page 177 bas de page : lireu `a a la place deE `a la fin de la d´efinition 2.2.4 .

• Page202 milieu de page, d´efinition 2.4.10 lire

• a=±∞,E =Ron dit que lim

x→af(x) =bssi_d´ef

∀ε >0,∃c∈R tq

(∀x^>c, kf(x)−bk⁶ε sia= +∞

∀x⁶c, kf(x)−bk⁶ε sia=−∞.

• Page204 fin de page, d´emonstration du th´eor`eme 4.8 lire

N^′(u(x))⁶ Xp

i=1

|x_i|N^′(u(e_i))⁶sup

i

|x_i|

| {z }

=N∞(x)

Xp

i=1

N^′(u(e_i))⁶α Xp

i=1

N^′(u(e_i))

| {z }

=C

N(x)

• Page 206 haut de page : dans le th´eor`eme du point fixe, rajouter l’hypoth`ese f(A)⊂A.

•Page 231 bas de page, d´emonstration du th´eor`eme 5.40 : lire

D´em : ϕ est strictement monotone (sinon on obtient une contradiction avec le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, cf. question (iv) page 65). Quitte `a changer ϕ en −ϕon peut supposer que ϕ^′ >0. Si (J_n) est une suite de segments croissante de r´eunion I^′ alors (ϕ(J_n)) est une suite de segments croissante, de r´eunion I et on a R

Jnf =R

ϕ(Jn)f ◦ϕ.ϕ^′ d’o`u l’´egalit´e par passage `a la limite

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2 ERRATA ET COMPL´EMENTS DU LIVRE DE COURS

•Page 231 bas de page, dans la remarque 5.5.2 : lire

(i) Il faut faire tr`es attention lorsqu’on utilise le th´eor`eme 5.40 et son corollaire car l’int´egrale d’une fonction continue par morceaux peut se transformer en int´egrale impropre. Prendre par exemple

Z π/2 0

cos(x²) dxlorsqu’on fait le chan- gement de variable t=x².

• Page 234 : au corollaire 5.46 rajouter l’hypoth`ese f continue par rapport au couple (x, t) ce qui donne

Corollaire 5.46. SiJ est un intervalle quelconque de R, siI est une partie de R et si f est continue par rapport au couple (x, t) alors

• Page250 : remplacer le deuxi`eme point du th´eor`eme 6.19 par

• La s´erie S(f) =c₀(f) +

+∞

P

n=1

a_n(f) cosnt+b_n(f) sinntconverge normalement versf sur R.

•Page 304 : question (ii) lire

(ii) x=x^′3+ 2x^′ −1 (prendres=x^′ comme param`etre).