DS n ◦ 4
mercredi 20 novembre 2019 (durée 4 heures) Sujet normal
Toute calculatrice interdite
Rappel : Bien traiter quelques questions rapporte des points, les bâcler toutes n'en rapporte aucun.
Exercice 1 : cours
1. Rappeler la dénition (à l'aide de suites) d'une partie compacte d'un espace vectoriel normé.
2. SoitEet F deux evn, etf une application continue deE dansF.
SoitAune partie compacte de E. Démontrer quef(A)est une partie compacte de F (On demande la démon- stration de ce résultat de cours).
L'image réciproque parf d'une partie compacte deF est-elle nécessairement une partie compacte deE ?
Exercice 2
SoitE un evn etC un convexe deE.
Montrer queC (l'adhérence deC) est un convexe deE.
Exercice 3
On s'intéresse ici aux fonctions f continues en tout point où elles sont dénies et vériant la relation
∀(x, y), f(xy) =f(x) +f(y) (1)
1. (a) Montrer que sif est dénie en 0 alorsf est la fonction nulle.
A partir de maintenant on suppose que f n'est pas la fonction nulle, ce qui revient à dire quef n'est pas dénie en 0, et on suppose alors que (1) est vraie pour tout (x, y)∈R∗2.
(b) Déterminerf(1)et f(−1).
(c) Étudier la parité def. On ne s'intéressera alors qu'aux valeurs def(x)pourx >0. (d) Pourx >0, exprimerf(1
x)en fonction def(x)
2. Montrer qu'il existe un réelastrictement positif tel quef(a) = 1. 3. Déterminerf(x)pourx=ar avecr∈N puisr∈Zet ennr∈Q.
4. (a) Determiner le réelutel quex=au.
(b) Á l'aide d'une suite de rationnels convergeant versu, déterminerf(x)pourx >0. 5. Conclure (penser à la réciproque).
Exercice 4
SoitK une partie compacte de l'espace vectoriel norméE de dimension nie et soitf une application deK dansK telle que :
∀(x, y)∈K2, x6=y=⇒ kf(x)−f(y)k<kx−yk
1. (a) Montrer quex→ kx−f(x)kest continue surK.
(b) Démontrer qu'il existe uncdansK tel quekc−f(c)k=inf{kx−f(x)k/ x∈K}. (c) Montrer quecvérief(c) =c (on pourra considérerkb−f(b)kavecb=f(c)).
Montrer quecest l'unique élément xdeK tel quef(x) =x(un tel élémentxest appelé point xe def).
2. Poura∈K on construit la suite(an)n∈N dénie par :
a0=aet ∀n∈N, an+1=f(an) le but de la question est de montrer que cette suite converge versc.
(a) Posonsun=kc−ank. S'il existen0∈N tel quean0 =c, conclure.
(b) Sinon, étudier les variations de la suite (un)et en déduire qu'elle converge vers un réel noté`.
(c) En supposant ` > 0, et en utilisant le fait que la suite (an) est une suite d'un compact, aboutir à une absurdité.
(d) Conclure
