Toute calculatrice interdite

DS n ^◦ 4

mercredi 21 novembre 2018 (durée 4 heures) Sujet normal

Toute calculatrice interdite

Rappel : Bien traiter quelques questions rapporte des points, les bâcler toutes n'en rapporte aucun.

Exercice 1 :

On s'intéresse ici aux fonctions f continues en tout point où elles sont dénies et vériant la relation

∀(x, y), f(xy) =f(x) +f(y) (1) 1. (a) Montrer que sif est dénie en 0 alorsf est la fonction nulle.

A partir de maintenant on suppose que f n'est pas la fonction nulle, ce qui revient à dire quef n'est pas dénie en 0, et on suppose alors que (1) est vraie pour tout (x, y)∈R^∗2.

(b) Déterminerf(1)et f(−1).

(c) Étudier la parité def. On ne s'intéressera alors qu'aux valeurs def(x)pourx >0. (d) Pourx >0, exprimerf(1

x)en fonction def(x)

2. Montrer qu'il existe un réelastrictement positif tel quef(a) = 1. 3. Déterminerf(x)pourx=a^r avecr∈N puisr∈Zet ennr∈Q.

4. (a) Determiner le réelutel quex=a^u.

(b) Á l'aide d'une suite de rationnels convergeant versu, déterminerf(x)pourx >0. 5. Conclure (penser à la réciproque).

Exercice 2

SoitK une partie compacte de l'espace vectoriel norméE de dimension nie et soitf une application deK dansK telle que :

∀(x, y)∈K², x6=y=⇒ kf(x)−f(y)k<kx−yk 1. (a) Montrer quex→ kx−f(x)kest continue surK.

(b) Démontrer qu'il existe uncdansK tel quekc−f(c)k=inf{kx−f(x)k/ x∈K}. (c) Montrer quecvérief(c) =c (on pourra considérerkb−f(b)kavecb=f(c)).

Montrer quecest l'unique élément xdeK tel quef(x) =x(un tel élémentxest appelé point xe def).

2. Poura∈K on construit la suite(an)_n∈N dénie par :

a₀=aet ∀n∈N, a_n+1=f(a_n) le but de la question est de montrer que cette suite converge versc.

(a) Posonsun=kc−ank. S'il existen0∈N tel quean₀ =c, conclure.

(b) Sinon, étudier les variations de la suite (un)et en déduire qu'elle converge vers un réel noté`.

(c) En supposant ` > 0, et en utilisant le fait que la suite (an) est une suite d'un compact, aboutir à une absurdité.

(d) Conclure

Exercice 3

SoitI un intervalle deRetf une fonction deI dansRde classeC^∞.

On dira que f est absolument monotone (en abrégé AM) surI si et seulement si

∀n∈N,∀x∈I, f⁽ⁿ⁾(x)>0

1. (a) Déterminer parmi les fonctions suivantes celles qui sont absolument monotones :

x→exp(x)surR, x→cosh(x)surR(on notecoshla fonction cosinus hyperbolique) x→ −1

x sur]− ∞,0[

(b) Soientf etg deux fonctions AM dénies surI. Montrer quef+g et f gsont AM surI. (c) Soitf est une fonction AM surI. On considère la fonctiong=e^f

i. Calculer g⁰ et exprimer g⁰ en fonction des fonctions f et g et éventuellement de leurs dérivées. En déduire pour tout entiern>1, une expression deg⁽ⁿ⁺¹⁾faisant intervenir les dérivées successives deg et def.

ii. Démontrer queg est absolument monotone surI. (d) Montrer que la fonctiontanest AM sur[0,π

2[.

2. (a) On considère la fonction f dénie sur ]−1,+1[ par f(x) = 1

√

1−x². Montrer que f est inniment dérivable et que f⁽ⁿ⁾ s'écrit sous la forme f⁽ⁿ⁾(x) = P_n(x)

(1−x²)ⁿ⁺¹² avec P_n polynôme à coecients réels vériant∀n∈N, P_n+1= (2n+ 1)XP_n+ (1−X²)P_n⁰.

(b) Étudier la parité de P_n.

(c) Vérier que pour toutx∈]−1,+1[,(1−x²)f⁰(x)−xf(x) = 0

(d) Montrer que pour toutn∈N− {0},Pn+1= (2n+ 1)XPn+n²(1−X²)Pn−1et P_n⁰ =n²Pn−1. (e) Montrer queArcsinest AM sur]0,1[.

3. Dans cette question on suppose quef absolument monotone sur]a, b[avecaetbréels.

(a) Montrer qu'il existe λ∈Rtel que λ= lim

a⁺ f

(b) On prolonge f par continuité en posantf(a) =λ. Montrer quef est dérivable à droite enaet quef⁰ est continue à droite ena.

(c) Montrer quef ainsi prolongée est une fonction absolument monotone sur[a, b[. (d) Le même phénomène se produit-il enb ? (on pourra utiliser les exemples du dessus) 4. On suppose ici que−∞< a <0< b <+∞. Soitf absolument monotone sur]a, b[.

On poseSn(x) =

n

X

k=0

x^k

k!f^(k)(0)et Rn(x) =f(x)−Sn(x). (a) Montrer que pour toutx>0,Rn(x) = xⁿ⁺¹

n!

R1

0(1−u)ⁿf⁽ⁿ⁺¹⁾(xu)du. (b) Montrer que la fonctionx→ R_n(x)

xⁿ est croissante sur]0, b[. (c) Montrer que∀x>0, ∀n∈N, S_n(x)6f(x).

Justier que∀x>0, la sérieXx^k

k!f^(k)(0) converge. Soitg(x)sa somme.

Prouver queg=f sur[0, b[ (on pourra prendre0< x < y < b et montrer que06Rn(x)6 x

y n

f(y)) (d) Montrer que pour toutc∈]a, b[, la sérieX(x−c)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁾(c)converge versf(x)pour x>c. (e) En déduire que s'il existex0∈]a, b[tel quef(x0) = 0 alors∀x > a, f(x) = 0.

RAPPEL : Formule de Taylor avec reste intégrale Soitn∈N,f de classeCⁿ⁺¹ sur l'intervalleI, eta∈I. Alors∀x∈I, f(x) =

n

X

k=0

f^(k)(a)(x−a)^k

k! +

Z x

a

(x−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt.