Lycée Ste-Marie Fénelon – la Plaine Monceau Classe de MP
Année 2018-2019 Mathématiques
Devoir maison n ◦ 3
À rendre le lundi 15 octobre
Durée : 2 heures pour le premier jet
Toute calculatrice interdite Exercice 1. Des normes sur R
2.
On considère dansR2, espace vectoriel surR, les normes définies pourX(x1, x2)par : kXk1=|x1|+|x2| et kXk∞= sup (|x1|,|x2|). 1. Déterminer deux réels positifsαetβ tels que αkXk∞≤ kXk1≤βkXk∞. 2. On pose, pour aet bréels, etX ∈R2,N(x) =akXk1+bkXk∞.
On considère les vecteursX(1,0),Y(0,1),X0(1,1)et Y0(−1,1).
CalculerN(X),N(Y),N(X0)etN(Y0).
En déduire une condition nécessaire et suffisante sur aetbpour que N soit une norme.
On supposera cette condition vérifiée par la suite.
3. Le plan est rapporté à un repère orthonormé d’origine O. Pour toute norme k · k, on appelle boule de centreO et de rayon R, et on noteB(O, R)l’ensemble des pointsM deR2 tels que
−−→OM ≤R.
SoitBune telle boule. Démontrer queBest convexe, c’est-à-dire que siAet B appartiennent àB, alors tout le segment[AB]est inclus dansB.
4. La sphère unité étant l’ensemble des points M tels que
−−→OM
= 1, construire sur un même repère les sphères unitésS1pourk · k1,S∞pourk · k∞ etSN pour la normeN dans le casa=b= 1
2. (On indiquera d’abord leurs éléments de symétries).
5. On suppose toujoursa=b=1 2.
On noteB1(O, R),B∞(O, R)etBN(O, R)les boules de centreOet de rayonRpour les normes respectivesk · k1, k · k∞et N. Montrer qu’il existe un nombreR tel que :
B1(O, R)⊂ BN(O,1)⊂ B∞(O, R).
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Exercice 2. Continuité de la longueur d’une courbe.
Pour toute fonctionf : [a, b]→Rde classeC1, on note
L(f) = Z b
a
p1 + (f0(t))2dt
une expression intégrale de la longueur de la courbe représentative def. Remarquons que cette application longueurn’est pascontinue.
On rappelle que l’application
f 7→ kfk∞ = sup
t∈[0,1]
|f(t)|
définit une norme sur l’espaceE=C0([0,1],R)des fonctions continues de[0,1]dansR.
On note E1 = C1([0,1],R) l’espace des fonctions continûment dérivables de[0,1]dans R et pour toute fonction f ∈E1, on note
kfk = |f(0)|+kf0k∞. 1. Comparaison des normesk · k etk · k∞
1.1 Montrer que l’applicationf 7→ kfk définit une norme surE1. 1.2 Montrer que
∀f ∈E1, kfk∞ ≤ kfk.
1.3 Les normes k · ket k · k∞sont-elles équivalentes surE1? 2. Continuité de la fonction longueur selon la norme considérée.
On désigne par(fn)n∈N∗ la suite de fonctions définie sur [0,1]par
∀n∈N∗, ∀t∈[0,1], fn(t) = sin(nπt)
√n .
2.1 Montrer que la suite (fn)n converge uniformément vers la fonction nulle sur[0,1], c’est-à-dire kfn−0k∞ n→+∞−→ 0.
2.2 On désigne, pour tout entiern∈N∗, parIn=L(fn)la longueur de la courbe représentative defn. Montrer que
∀n∈N∗, In ≥ 2√ n.
2.3 L’applicationL : f 7→L(f)est-elle continue sur(E1,k · k∞)?
2.4 L’applicationL : f 7→L(f)est-elle continue sur(E1,k · k)?On pourra majorer|L(f)−L(g)|pourf etg dansE1.
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