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Toute calculatrice interdite

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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DS n 1 : Algèbre

mercredi 12 septembre 2018 (durée 4 heures)

Toute calculatrice interdite

Rappel : Bien traiter quelques questions rapporte des points, les bâcler toutes n'en rapporte aucun.

Problème 1

Soitαun complexe. On noteZ[α] ={a+bα/(a, b)∈Z2}

Préliminaire

1. Supposons queZ[α]est un anneau. En considérant α∈Z[α] et en s'intéressant )α2, montrer queαest racine d'un polynôme à coecients entiers, de degré 2, à coecient dominant égal à 1.

2. Réciproquement, supposons qu'il existe a, b ∈ Z tel que α2+aα+b = 0. Montrer qu'alors Z[α] est un sous anneau deR.

On a donc montré que Z[α]est un anneau si et seulement si αest racine d'un polynôme unitaire (i.e. de coecient dominant égal à 1), de degré égal à 2 et à coecients dans Z.

L'anneau Z [ √ n]

Soitnun entier naturel qui n'est pas le carré d'un entier.

1. Justier rapidement queZ[√

n]est un sous-anneau deR. Est-il intègre ? 2. Montrer que l'application

(Z2 →Z[√ n]

(a, b) →a+b√

n est bijective.

3. Soitx∈Z[√

n]. Pourx=a+b√

navec(a, b)∈Z2, on note ˆxl'élémentˆx=a−b√ n. Montrer que l'application f :

(Z[√

n] →Z[√ n]

x →xˆ est un automorphisme d'anneaux involutif (Rappel : une applicationf est dite involutive lorsqu'elle vérief−1=f).

4. Pourx∈Z[√

n]on poseN(x) =xˆx. Montrer que : (a) ∀x∈Z[√

n], N(x) = 0 ⇐⇒ x= 0 (b) ∀(x, y)∈Z[√

n]2, N(xy) =N(x)N(y) 5. Montrer quexest inversible dans Z[√

n]si et seulement si|N(x)|= 1. 6. Dans cette question on posen= 7.

(a) Montrer que8 + 3√

7 est inversible et donner son inverse.

(b) Montrer qu'il existe une innité d'éléments inversibles dansZ[√ 7]. 7. On revient au cas général surn.

On note G l'ensemble des éléments inversibles deZ[√

n] et G+ l'ensemble des éléments inversibles positifs de Z[√

n].

(a) Montrer rapidement que(G+,×)est un groupe.

(b) Soitx∈G: x=a+b√

navec(a, b)∈Z2. Montrer quex>1 ⇐⇒ (a>1 etb>0) (c) Montrer que∀M >1, G∩[1, M]est ni.

(d) Montrer que (G+,×)est monogène.

(2)

Exercice 1

Soit (A,+,×) un anneau commutatif. On dira que Aest un anneau principal si et seulement si tout idéal de Aest engendré par 1 élément

1. Ecrire mathématiquement le fait que l'anneauAest principal.

2. Donner deux exemples d'anneau principal.

3. On noteZ[X]l'ensemble des polynômes à coecients entiers. Montrer que(Z(X],+,×)est un anneau commu- tatif.

4. SoitJ={2n+P X/n∈Z, P ∈Z[X]}. Montrer queJ est un idéal deZ[X]. 5. Montrer queZ[X]n'est pas un anneau principal.

Exercice 2

Soit(G,×)un groupe cyclique engendré parade cardinaln.

1. Soitdun diviseur entier den. Montrer queH=< ad>est un sous-groupe deG. 2. SoitH un sous-groupe de (G,×). Montrer queH est cyclique.

3. Que conclure ?

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