- 0 + 0 - -

(1)

a)

𝑡 −𝜋

2 −𝜋

4 0 +𝜋

4 +𝜋

2

𝑥′ 𝑡 = 2𝑐𝑜𝑠 2𝑡 -2

-

⁰

+

⁰

-

^-

𝑥 𝑡 = 𝑠𝑖𝑛 2𝑡

0

1

-1 0

𝑦 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡

1

− 2

2 2

2

0 0

𝑦^′(𝑡) = −𝑠𝑖𝑛 𝑡 1 0 -1

Γ est donc bien un chemin fermé, on a 𝑀 −^𝜋₂ = 𝑀 ^𝜋₂ = (0; 0) et on ne parcourt qu’une seule fois le chemin sur l’intervalle donné.

(2)

b) Aire de S.

Calcul d’aires planes.

Avec 𝜔 𝑥, 𝑦 =¹₂ −𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 , ou 𝜔 𝑥, 𝑦 = −𝑦𝑑𝑥 ou 𝜔 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑑𝑦 on a :

𝜕𝑄

𝜕𝑥− 𝜕𝑃

𝜕𝑦= 1

et donc : 𝐴𝑖𝑟𝑒 𝐷 = ∬ 1 𝑑𝑥𝑑𝑦_𝐷 = ∬ _𝐷 ^𝜕𝑄_𝜕𝑥−^𝜕𝑃_𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦= ∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦_𝐷 = ∫_{𝛤= 𝜕𝐷} 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦

𝐴𝑖𝑟𝑒(𝐷) = 1

2 𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥

𝛤= 𝜕𝐷

= − 𝑦𝑑𝑥

𝛤= 𝜕𝐷

= 𝑥𝑑𝑦

𝛤= 𝜕𝐷

En coordonnées polaires cela donne : 𝐴𝑖𝑟𝑒(𝐷) = ¹₂∫_{𝛤= 𝜕𝐷}𝑟²𝑑𝜃 Attention ici, le sens de parcours n’est pas le sens direct : 𝒜𝑖𝑟𝑒 𝑆 = − 𝑥𝑑𝑦

𝛤= 𝜕𝐷 = − sin 2𝑡 × (− sin 𝑡) 𝑑𝑡

𝜋 2

−𝜋 2

= 2 𝑠𝑖𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 × (𝑠𝑖𝑛 𝑡) 𝑑𝑡

𝜋 2

−𝜋 2

= 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 × 𝑠𝑖𝑛² 𝑡 𝑑𝑡

𝜋 2

−𝜋 2

𝒜𝑖𝑟𝑒 𝑆 = 2 sin 𝑡 ³ 3 ₋𝜋

2 𝜋

2 = 𝟒

𝟑 c) ∬ 𝒙𝒅𝒙𝒅𝒚_𝑺

Formule de Green-Riemann

Soit S un compact simple de ℝ², on note Γ la courbe délimitant S, orientée dans le sens direct. On note Γ = ∂S le bord de S.

Soit 𝜔 une forme différentielle de classe C¹ définie dans S. ∬ _𝑆 ^𝜕𝑄_𝜕𝑥−^𝜕𝑃_𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦= ∫_{Γ= ∂S}𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦

Avec 𝜔 𝑥, 𝑦 = 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = −𝑥𝑦𝑑𝑥 on a : ^𝜕𝑄_𝜕𝑥− ^𝜕𝑃_𝜕𝑦 = 𝑥.

Puis on applique Green-Riemann (attention au sens de parcours)

𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑆 = 𝜕𝑄

𝜕𝑥−𝜕𝑃

𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑆 = − 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦

Γ= ∂S = 𝑥𝑦𝑑𝑥

Γ= ∂S = sin 2𝑡 × cos 𝑡 × (2 cos 2𝑡)𝑑𝑡

𝜋 2

−𝜋 2

∬ 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦_𝑆 = 0 car l’intégrande est impaire et on intègre sur un intervalle symétrique par rapport à 0.

(3)

𝒜𝑖𝑟𝑒 𝑆 = ∫_{𝛤= 𝜕𝐷}𝑥𝑑𝑦 où 𝛤 = 𝛤1∪ 𝛤2 avec 𝛤1= courbe paramétée par γ et 𝛤2= segment de A 2π; 0 à O(0; 0)

 ∫ 𝑥𝑑𝑦_𝛤

1 = ∫ 𝑡 − sin 𝑡 × sin 𝑡 𝑑𝑡₀^2𝜋 = ∫ 𝑡 sin 𝑡 𝑑𝑡₀^2𝜋 − ∫ sin 𝑡 ₀^2𝜋 ²𝑑𝑡 𝑡 − sin 𝑡 × sin 𝑡 𝑑𝑡

2𝜋

0 = sin 𝑡 − 𝑡 cos 𝑡 ₀^2𝜋− 𝑡 2−sin 2𝑡

4 0 2𝜋

= −2𝜋 − 𝜋 = −3𝜋

 ∫ 𝑥𝑑𝑦_𝛤₂ = 0

𝓐𝒊𝒓𝒆 𝑺 = 𝒕 − 𝐬𝐢𝐧 𝒕 × 𝐬𝐢𝐧 𝒕 𝒅𝒕

𝟐𝝅

𝟎 = 𝟑𝝅

(4)

Sur 𝜞𝟏 :

Par passage en coordonnées polaires, 𝑥 = 𝑥 𝑡 = 2 cos 𝑡 𝑦 = 𝑦 𝑡 = 2 sin 𝑡 avec 𝑡 qui varie de 0 à 𝜋. Donc 𝑥^′(𝑡) = −2 sin 𝑡

𝑦^′(𝑡) = 2 cos 𝑡 Sur 𝜞𝟐 :

𝑥 = 𝑥 𝑡 = 𝑡 𝑦 = 𝑦 𝑡 = 0

avec 𝑡 qui varie de2 à − 2. Donc 𝑥^′(𝑡) = 1 𝑦^′(𝑡) = 0

𝑎 = 4𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦

𝛤1

= 8 − sin 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠² 𝑡 sin 𝑡

𝜋 0

𝑑𝑡 = 8 cos 𝑡 − cos 𝑡

³

3

₀

𝜋

= − 𝟑𝟐 𝟑

𝑏 = 4𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦

𝛤₂

= −𝟏𝟔

𝑐 = ∬ 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦

_𝑆

On passe en polaires

𝑐 = 𝑟² sin 𝑡 𝑑𝑡

^𝜋

0 2 0

𝑟𝑑𝑟 = 𝑟

³

3

₀

2

× − cos 𝑡

₀^𝜋

= 𝟏𝟔 𝟑

b)

En posant : 𝜔 𝑥, 𝑦 = 4𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 = 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 , on a : ^𝜕𝑄_𝜕𝑥− ^𝜕𝑃_𝜕𝑦 = 𝑦 − 0 = 𝑦 Formule de Green-Riemann

Soit D un compact simple de ℝ², on note Γ la courbe délimitant D, orientée dans le sens direct. On note Γ = ∂D le bord de D.

Soit 𝜔 une forme différentielle de classe C¹ définie dans D. ∬ _𝐷 ^𝜕𝑄_𝜕𝑥−^𝜕𝑃_𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦= ∫_{Γ= ∂D}𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦

Attention au sens de parcours.

𝑐 = ∬ ^𝜕𝑄_𝜕𝑥−^𝜕𝑃

𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑆 = ∬ 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦_𝑆 = ∫_Γ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦

1∪Γ₂= ∂D = ∫_Γ 4𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦

1∪Γ₂= ∂D D’après le th. de Green-Riemann

𝑐 = ∫_Γ 4𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦

1∪Γ₂= ∂D = ∫ 4𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 _Γ

1 − ∫ 4𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 _Γ

2 = 𝑎 − 𝑏

D’après la relation de Chasles Donc 𝒂 = 𝒃 + 𝒄

A(2,0) B(-2,0)

(5)

On intègre sur un cylindre.

Il faut faire attention à l’ordre d’intégration.

Méthode 1 :

Le volume D est la région comprise à l’intérieur du cylindre d’équation : 4 = 𝑥² + 𝑦², sous le plan horizontal d’équation 𝑧 = 1 et au dessus du plan (xOy).

𝐷 = 𝑥; 𝑦; 𝑧 ∈ ℝ³, 𝑥² + 𝑦² ≤ 4 , 0 ≤ 𝑧 ≤ 1 .

On peut faire varier z de 0 à 1 et prendre (x ;y) dans le disque de centre O et de rayon 2.

𝐷 = 𝑥; 𝑦; 𝑧 ∈ ℝ³, 0 ≤ 𝑧 ≤ 1, 𝑥; 𝑦 ∈ 𝐷_𝑧 . 𝐷_𝑧 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ², 𝑥² + 𝑦² ≤ 4 = 𝐷𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒 𝑂; 𝑅 = 2 . Par passage en coordonnées cylindriques on obtient :

𝐼 = 𝑧^{𝑥²+𝑦²} 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷_𝑧 𝑑𝑧

2

0 = 𝑟 𝑧¹ ^𝑟²𝑑𝑟𝑑𝑡

0 2𝜋

0 𝑑𝑧

2 0

En appliquant Fubini :

𝐼 = 𝑟 𝑧¹ ^𝑟²𝑑𝑟𝑑𝑡

0 2𝜋

0 𝑑𝑧

2

0 = 𝑟 𝑧¹ ^𝑟²𝑑𝑧

0 𝑑𝑟

2

0 𝑑𝑡

2𝜋 0

𝐼 = 𝑟 𝑧^𝑟²+1 𝑟² + 1 ₀

1

𝑑𝑟

2 0

𝑑𝑡

2𝜋

0 = 𝑟

𝑟² + 1𝑑𝑟

2

0 𝑑𝑡

2𝜋 0

= ln(𝑟²+ 1)

2 ₀

2

𝑑𝑡

2𝜋 0

𝑰 = 𝝅 𝐥𝐧 𝟓

Méthode 2 :

𝐼 = 𝑟 𝑧^𝑟²𝑑𝑡

2𝜋 0 2

0 𝑑𝑟 𝑑𝑧

1 0

= 𝝅 𝒛^𝟒− 𝟏 𝒍𝒏 𝒛

𝟏 𝟎

𝒅𝒛

(6)

Sphériques

𝑥 = 𝑟 sin 𝜑 cos 𝜃 𝑦 = 𝑟 sin 𝜑 sin 𝜃

𝑧 = 𝑟 cos 𝜑

0 ≤ 𝑟 ≤ 2 𝜃 ∈ 0;𝜋

2 𝜑 ∈ 0 ; 𝜋

𝐝𝐞𝐭 𝑱 = −𝒓² 𝐬𝐢𝐧 𝝋

𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝐷

= 𝑓

𝑟 sin 𝜑 cos 𝜃 𝑟 sin 𝜑 sin 𝜃

𝑟 cos 𝜑 × 𝒓² 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝜑

K=𝜙⁻¹(𝐷)

𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝑉

= 𝑟⁵ sin 𝜑 ³ cos 𝜑 cos 𝜃 sin 𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜑 𝑑𝜃

𝜋2 0 𝜋 0 2 0

𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝑉

= 𝑟⁶ 6 ₀

2

× sin 𝜑 ⁴

4 ₀

2

× − cos² 𝜃

2 ₀

2

= 𝟎

(7)

a)

Le volume V est la région comprise à l’intérieur du paraboloïde d’équation : 𝑧 = 𝑥² + 𝑦², sous le plan horizontal d’équation 𝑧 = 1 .

𝑉 = 𝑥; 𝑦; 𝑧 ∈ ℝ³, 𝑥² + 𝑦² ≤ 𝑧 ≤ 1 . On peut faire varier z de 0 à 1 et prendre (x ;y) dans le disque de centre O et de rayon 𝑧.

𝑉 = 𝑥; 𝑦; 𝑧 ∈ ℝ³, 0 ≤ 𝑧 ≤ 1, 𝑥; 𝑦 ∈ 𝐷𝑧 . 𝐷_𝑧= 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ², 𝑥² + 𝑦² ≤ 𝑧 = 𝐷𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒 𝑂; 𝑅 = 𝑧 . Par Fubini on obtient :

𝑉 = 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷_𝑧 𝑑𝑧

1

0

𝑉 = 𝜋 𝑧 ¹ ² 𝑑𝑧

0

= 𝜋𝑧 𝑑𝑧¹

0

= 𝜋 𝑧² 2 ₀

1

𝑽 =𝝅 𝟐

b) ∭ 𝑥²𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧_𝑉 = ∫ ∬ 𝑥²𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦₀¹ _𝐷_𝑧 𝑑𝑧= ∫ 𝑧 ∬ 𝑥²𝑑𝑥𝑑𝑦₀¹ _𝐷_𝑧 𝑑𝑧

 ∬ 𝒙_𝑫 ^𝟐𝒅𝒙𝒅𝒚

𝒛 On va passer en coordonnées polaires.

𝑥²𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷_𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠 𝑡 ² 𝑑𝑡

2𝜋

0 𝑧

0 𝑟𝑑𝑟 =𝜋𝑧²

4

𝑥²𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝑉 = 𝑧 𝑥²𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷_𝑧 𝑑𝑧

1

0 = 𝑧 𝜋𝑧²

4 𝑑𝑧

1

0 = 𝝅

𝟏𝟔

(8)

Autre exemple :

(9)

t de -20 à 20 t de -3 à 3

t de -2 à 2

(10)

a) Symétrie.

On utilise un changement de paramétrage pour Γ d’équation : 𝛾 𝑡 = 𝑥 = 𝑥 𝑡 = 3𝑡² − 1

𝑦 = 𝑦 𝑡 = 𝑡³− 3𝑡 sur 𝐼 = ℝ

Soit 𝑔 ∶ 𝑡 ↦ 𝑔(𝑡) de I dans I telle que 𝐼 = 𝐼^′ ∪ 𝑔(𝐼^′) et 𝐼^′ ∩ 𝑔 𝐼^′ = ∅ 𝑜𝑢 𝑢𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑔𝑙𝑒𝑡𝑜𝑛 Suivant la formule liant 𝛾𝑜𝑔 et 𝛾, on fait varier t dans I’, d’où une courbe Γ’, puis une courbe Γ’’

déduite de Γ’, et 𝛤 = 𝛤’⋃𝛤’’

Isométrie permettant de passer de Γ’ à Γ’’

𝑥 𝑔(𝑡) = 𝑥(𝑡)

𝑦 𝑔(𝑡) = 𝑦(𝑡) Identité

𝑥 𝑔(𝑡) = 𝑥 𝑡 + 𝑎

𝑦 𝑔(𝑡) = 𝑦 𝑡 + 𝑏 Translation de vecteur 𝑎 𝑖 + 𝑏𝑗 𝑥 𝑔(𝑡) = −𝑥(𝑡)

𝑦 𝑔(𝑡) = 𝑦(𝑡) Symétrie par rapport à (Oy) 𝑥 𝑔(𝑡) = 𝑥(𝑡)

𝑦 𝑔(𝑡) = −𝑦(𝑡) Symétrie par rapport à (Ox) 𝑥 𝑔(𝑡) = −𝑥(𝑡)

𝑦 𝑔(𝑡) = −𝑦(𝑡) Symétrie par rapport au point O 𝑥 𝑔(𝑡) = 𝑦(𝑡)

𝑦 𝑔(𝑡) = 𝑥(𝑡) Symétrie par rapport à la première bissectrice

Généralement on teste :

 𝒈(𝒕) = −𝒕 pour 𝐼 = ] − 𝑎; 𝑎[ et alors I’ = [0; 𝑎[

 𝒈 𝒕 = 𝒂 + 𝒃 − 𝒕 pour 𝐼 = [𝑎; 𝑏] et alors 𝐼’ = [𝑎 ;^𝑎+𝑏

2 [

 𝒈 𝒕 =^𝟏_𝒕 pour 𝐼 = ] 0; + ∞[ et alors I’ = ]0; 1]

Ici :

 𝛾 −𝑡 = 𝑥 = 𝑥 −𝑡 = 𝑥(𝑡)

𝑦 = 𝑦 −𝑡 = −𝑦(𝑡) Donc pour 𝐼 = ] − ∞; ∞[ , on a I’ = [0; ∞[

On passe de Γ’ pour t dans I’ à Γ’’ par symétrie par rapport à l’axe Ox

(11)

Soit Γ la trajectoire de l’arc paramétré 𝛾: 𝑡 ⟼ 𝛾 𝑡 = 𝑀(𝑡) de classe 𝐶¹ On dit que M(t) est un point régulier de Γ si et seulement si : 𝜸 (𝒕) ≠ 𝟎 ^′ Si 𝛾 est de classe 𝐶²

On dit que M(t) est un point birégulier de Γ si et seulement si : la famille 𝒇’(𝒕) ; 𝒇’′(𝒕) est libre.

Pour les déterminer on écrit que le déterminant de la famille est non nul Un point non régulier est dit stationnaire.

Théorèmes.

𝛾 un arc paramétré de classe 𝐶¹

En tout point régulier M t de Γ, Γ admet une tangente et celle-ci est dirigé par 𝜸 (𝒕). ^′

Soit M t point régulier de Γ, et T(t) la tangente en M(t)à Γ.

 Si 𝑥^′ 𝑡 ≠ 0, T(t) a pour coeff. directeur : ^𝑦_𝑥^′_′^𝑡_𝑡

 Si 𝑥^′ 𝑡 = 0, T t est parallèle à Oy dans ce cas on a y’ t non nul car M t régulier

Théorème.

𝛾 un arc paramétré de classe 𝐶^𝑘, et 𝐴(𝑡) = 𝛾 𝑡

Si l’un au moins des vecteurs dérivés successifs 𝒇’(𝒕) ; 𝒇’′(𝒕) ; … . ; 𝒇 est non nul, alors Γ ^(𝒌)(𝒕) admet en A(t) une tangente et celle-ci est dirigée par le premier vecteur dérivé successif qui soit non nul.

(12)

Allure de la courbe au voisinage d’un point.

Soit p le plus petit entier ≥ 1 tel que : 𝒇 ≠ 𝟎 ^(𝒑)(𝒕)

Soit q le plus petit entier > p tel que : 𝒇 ;𝒇^𝒑 𝒕 soit libre ^𝒑 𝒕

Points réguliers de l’arc paramétré 𝜸.

Ici : 𝛾 𝑡 = 𝑥 = 𝑥 𝑡 = 3𝑡² − 1

𝑦 = 𝑦 𝑡 = 𝑡³− 3𝑡 donc 𝛾′ 𝑡 = 𝑥^′ 𝑡 = 6𝑡 𝑦^′ 𝑡 = 3𝑡²− 3 𝛾^′ 𝑡 = 0 ⟺ 𝑥^′ 𝑡 = 6𝑡 = 0

𝑦^′ 𝑡 = 3𝑡²− 3 = 0

ce qui est impossible car si 𝑥^′ 𝑡 = 0, alors 𝑡 = 0 or 𝑦’ 0 = −3 ≠ 0 De ce fait l’arc paramétré 𝜸 est régulier car tous ces points sont réguliers.

Points biréguliers de l’arc paramétré 𝜸.

𝛾′ 𝑡 = 𝑥^′ 𝑡 = 6𝑡

𝑦^′ 𝑡 = 3𝑡²− 3 donc 𝛾′′ 𝑡 = 𝑥^′′ 𝑡 = 6 𝑦^′′ 𝑡 = 6𝑡

Alors : 𝑥^′ 𝑡 × 𝑦^′′ 𝑡 − 𝑦^′ 𝑡 × 𝑥^′′ 𝑡 = 36𝑡² − 18𝑡² + 18 = 0 implique : 18𝑡² + 18 = 18 𝑡²+ 1 = 0.

Donc 𝑥^′ 𝑡 × 𝑦^′′ 𝑡 − 𝑦^′ 𝑡 × 𝑥^′′ 𝑡 ≠ 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑟é𝑒𝑙 𝑡

De ce fait l’arc paramétré 𝜸 est birégulier car tous ces points sont biréguliers.

(13)

1°) 𝑓 𝑡 = cos³𝑡

sin³𝑡 = 𝑥(𝑡) 𝑦(𝑡)

 𝑓 −𝑡 est 2π-périodique, étude sur [-π ;π]

 Symétries.

o 𝑓 −𝑡 = 𝑥(𝑡)−𝑦(𝑡) donc Γ présente une symétrie / Ox , on réduit l’étude à 0 ;π . o 𝑓 π − 𝑡 = −𝑥(𝑡)𝑦(𝑡) donc Γ présente une symétrie / Oy), on réduit l’étude à [𝟎 ;^𝝅_𝟐].

Remarque on pouvait encore réduire l’intervalle d’étude mais bon …

 Variations.

𝑓′ 𝑡

= −3 sin t cos²𝑡

3 cos t sin²𝑡 et tableau de variations aisé.

t 0 𝝅

𝑥’(𝑡) 0 - 0 𝟐

𝑥 1

0 𝑦

0

1

𝑦’(𝑡) 0 + 0

 Points non réguliers.

Sur l’intervalle d’étude, 𝑓′ 𝑡 = 0 ssi 𝑡 = 0 𝑜𝑢 ^𝝅_𝟐 , ce sont les deux seuls points non réguliers.

(14)

 Etude aux points caractéristiques.

o Pour t=0 : En 𝑴(𝟎) = 𝑨(𝟏 ; 𝟎)

A=M(0) est un point non régulier car 𝑓′ 0 = 0

On calcule : 𝑓′′ 0 = −30 , dirige la tangente en A.

𝑓′′′ 0

= 06 et 𝒇 ; 𝒇^𝟐 𝒕 est libre ^𝟑 𝒕

donc p=2 et q=3, Γ présente en A un point de rebroussement de 1^ère espèce.

o Pour 𝒕 =^𝝅_𝟐 : En 𝑴(^𝝅_𝟐) = 𝑩(𝟎 ; 𝟏)

𝐵 = 𝑀 ^𝝅_𝟐 est un point non régulier car 𝑓′ 0 = 0 On calcule : 𝑓′′ ^𝝅_𝟐

= 0−3 , dirige la tangente en B.

𝑓′′′ ^𝝅

𝟐

= −6

0 et 𝒇 ; 𝒇^𝟐 𝒕 est libre ^𝟑 𝒕 donc p=2 et q=3, Γ présente en B un point de rebroussement de 1^ère espèce.

(15)

 Symétries.

o 𝑓 −𝑡 = 𝑥(𝑡)−𝑦(𝑡) donc Γ présente une symétrie / Ox), on réduit l’étude à 0 ;+∞ .

 Variations.

𝑓′ 𝑡

= 𝑠𝑕 𝑡

𝑐𝑕 𝑡 et tableau de variations aisé.

t 0 +∞

𝑥’(𝑡) 0 + 0

𝑥 1

+∞

0 𝑦

0

+∞

𝑦’(𝑡) 1 +

 Points non réguliers :

Il n’y a pas de points non réguliers car 𝑓′ 𝑡 ≠ 0 pour tous les t. En effet, si 𝑥′ 𝑡 ≠ 0 ∀ 𝑡 ∈ ℝ

o Pour t=0 : En 𝑴(𝟎) = 𝑨(𝟏 ; 𝟎) 𝐴 = 𝑀(0) , 𝑓′ 0 = 0

1 ≠ 0 qui dirige la tangente en A.

 Branches infinies.

o Γ présente une branche infinie en +∞ car lim_𝑡→+∞ 𝑓(𝑡) = +∞.

o lim_+∞𝑥 𝑡 = +∞ = lim_+∞𝑦(𝑡) donc on étudie le rapport 𝑦/𝑥 o lim_𝑡→+∞^𝑦(𝑡)

𝑥 𝑡 = 1

lim_𝑡→+∞𝑦 𝑡 − 1 × 𝑥 𝑡 = 0,

alors Γ admet une pour asymptote la droite d’équation 𝒚 = 𝟏𝒙 + 𝟎 = 𝒙.

(16)

3°) 𝑓 𝑡 =

𝑡² 1+𝑡²

𝑡³ 1+𝑡²

= 𝑥(𝑡)

𝑦(𝑡) définie sur ℝ

 Symétries.

o 𝑓 −𝑡 = 𝑥(𝑡)−𝑦(𝑡) donc Γ présente une symétrie / Ox , on réduit l’étude à 0 ;+∞ .

 Variations. : 𝑓′ 𝑡 =

2𝑡 1+𝑡² ² 𝑡²(3+𝑡²)

1+𝑡² ²

et tableau de variations aisé.

t 0 +∞

𝑥’(𝑡) 0 + 0

𝑥 0

1 0 𝑦

0

+∞

𝑦’(𝑡) 0 +

Sur l’intervalle d’étude, 𝑓′ 𝑡 = 0 ssi 𝑡 = 0 , 𝐴(0; 0) = 𝑀(0) est le seul point non régulier.

o Pour t=0, 𝐴(0; 0) = 𝑀(0) est un point non régulier car 𝑓′ 0 = 0 On calcule : 𝑓′′ 0 = 20 , dirige la tangente en A.

𝑓′′′ 0

= 06 et 𝒇 ; 𝒇^𝟐 𝒕 est libre ^𝟑 𝒕

donc p=2 et q=3, Γ présente en A un point de rebroussement de 1^ère espèce.

o lim_𝑡→𝑎𝑦(𝑡) = +∞

lim_𝑡→𝑎𝑥 𝑡 = 1 ,

alors Γ admet pour asymptote la droite d’équation 𝒙 = 𝟏.

(17)

 Aucune Symétrie.

 Variations. : 𝑓′ 𝑡 = 2𝑡(2𝑡²+ 1)

𝑡(2 − 3𝑡) et tableau de variations aisé.

t -∞ 0 2/3 +∞

𝑥’(𝑡) - 0 + 68/27 + 0

𝑥 +∞

0

52/81

+∞

0

𝑦 +∞ 4/27

-∞

𝑦’(𝑡) - 0 + 0 -

Sur l’intervalle d’étude, 𝑓′ 𝑡 = 0 ssi 𝑡 = 0 , 𝐴(0; 0) = 𝑀(0) est le seul point non régulier.

o Pour t=0, 𝐴(0; 0) = 𝑀(0) est un point non régulier car 𝑓′ 0 = 0 On calcule : 𝑓′′ 0 = 22 , dirige la tangente en A.

𝑓′′′ 0

= 0−6 et 𝒇 ;𝒇^𝟐 𝒕 est libre ^𝟑 𝒕 donc p=2 et q=3, Γ présente en A un point de rebroussement de 1^ère espèce.

o Pour t=2/3 : En 𝑴 ^𝟐

𝟑 = 𝑩 ^𝟓𝟐

𝟖𝟏 ; ^𝟒

𝟐𝟕

𝐵 = 𝑴 ^𝟐_𝟑 est un point régulier car 𝑓′ ^𝟐_𝟑

= ⁶⁸²⁷

0 ≠ 0 qui dirige la tangente en B.

o lim_𝑡→±∞^𝑦(𝑡)_{𝑥 𝑡}= 0 ,

alors Γ admet une branche parabolique de direction asymptotique (Ox).

(18)

 Intersection de la courbe avec l’axe (Ox).

𝑦 𝑡 = 0 𝑠𝑠𝑖 𝑡 = 0 𝑜𝑢 1 et 𝑥 0 = 0, 𝑥 1 = 2

Donc les points d’intersection de la courbe avec l’axe (Ox) sont les points : 𝑀 0 = 𝐴(0; 0) 𝑀 1 = 𝐶(2; 0)