.
Contrôle : suites, produit scalaire
.E 1
.. correctionDans chacun des cas suivants, déterminer la ou les valeurs de x éventuelles pour que les vecteurs ⃗u et ⃗v soient orthogonaux.
1. ⃗u
1 3
et ⃗v
6 x+1
.
2. ⃗u
2x−1 2
et ⃗v
3x+2 x+1
.
E 2
.. correctionSoit ABCD un carré de côté a. I et J sont les milieux des côtés [AB] et [BC] . On note θ l'angle (−→AJ ,−→
IC )
.
Dans cet exercice on cherche à déterminer une valeur exacte de cosθ.
A B
D C
I θ J
1. (a) Déterminer les longueurs AJ et IC en fonction de a.
(b) À l'aide de la formule du cosinus, exprimer −→AJ·−→
IC en fonction dea et cosθ. 2. (a) Montrer que −→IB ·−→
AJ = a2
2 (on considérera la projection orthogonale du vecteur −→AJ sur le −→IB ).
(b) Exprimer −−→BC ·−→
AJ en fonction de a (on pourra utiliser le même principe).
3. Montrer que −→AJ ·−→
IC =−→
AJ ·−→
IB +−→
AJ ·−−→
BC .
4. Déduire de ce qui précède la valeur exacte de cosθ. 5. On se place dans le repère (A ;−−→
AB ,−−→
AD ).
(a) Déterminer les coordonnées des vecteurs−→AJ et−→IC dans ce repère et calculer
−→AJ ·−→
IC .
(b) Retrouver la valeur de cosθ.
E 3
.. correction1. Dans chacun des cas suivants, la suite u est arithmétique de premier terme u0 et de raison r ; on demande de calculer u32, u59 et
S=u0+u33+ ··· +u59
(a) u2=13 et r=0, 25 ; (b) u11=20 et u17=25 ;
Page 1
2. On considère une suite géométrique de premier terme u0=10 et de raison q=3
7 ; on demande de calculer u4, u7 et
S=u0+u1+. . .+u6.
E 4
.. correction ( point )On définit la suite (un) par son terme initial u0=2 et la relation de récurrence : un+1=−2un+3
un−4 .
Soit f la fonction définie sur [−1 ; 3] par : f(x)=−2x+3
x−4
et Cf sa représentation graphique dans un repère (O ;⃗ı,⃗ȷ) .
1. (a) Tracer sur la figure ci-dessous, la droite d d'équation y=x et construire sur l'axe des abscisses u0, u1, u2 et u3.
(b) Quelle conjecture peut-on émettre sur le sens de variation de la suite (un) ainsi que sur sa limite éventuelle ?
1 2 3
−1
−2
1 2 3
−1
−2 0
Cf b
b
2. (vn) est la suite définie pour tout n∈N par : vn=un−3
un+1.
(a) Montrer que (vn) est une suite géométrique que l'on caractérisera.
(b) Pour tout n∈N, exprimer vn en fonction de n.
Page 3
(c) Pour tout n∈N, exprimer un en fonction de n.
.
Correction
.E 1
.. énoncé1.
⃗
u⊥⃗v ⇐⇒ ⃗u·⃗v=0
⇐⇒ 6+3x+3=0
⇐⇒ x= −3
2.
⃗
u⊥⃗v ⇐⇒ ⃗u·⃗v=0
⇐⇒ (2x−1) (3x+2)+2 (x+1)=0
⇐⇒ 6x2+3x=0
⇐⇒ x=0 oux= −1 2
E 2
.. énoncé1. AJ2=a2+a2 4 =5a2
4 ; IC2=a2+a2
4 =5a2 4 ; D'où −→AJ ·−→
IC =5a2 4 cosθ.
2. (a) −−→AB est le projeté orthogonal de −→AJ sur −→IB , −−→AB et −→IB sont de même
sens donc
−→IB ·−→
AJ =IB×AB=a2 2 .
(b) −→BJ est le projeté orthogonal de −→AJ sur −−→BC , −→BJ et −−→BC sont de même sens donc
−−→BC ·−→
AJ =BJ×BC=a2 2 . 3. −→IC ·−→
AJ =(−→
IB +−−→
BC )·−→
AJ =−→
IB ·−→
AJ +−−→
BC ·−→
AJ .
4. −→AJ ·−−→
AC =5a2
4 cosθ=a2 d'où cosθ=4 5.
E 3
.. énoncé1. Dans chacun des cas suivants, la suite u est arithmétique de premier terme u0 et de raison r ; on demande de calculer u32, u59 et
S=u32+u1+ ··· +u59
(a) Ici on trouve :
u32=13+30×0, 25=20, 5 u59=13+57×0, 25=27, 25
S=(59−32+1)×27, 25+20, 5
2 =668, 5 Page 5
(b) Ici on trouve dans un premier temps : r=5 6 u32=20+21×5
6=75 2 u59=20+48×5
6=60
S=(59−32+1)×60+37, 5
2 =1 365 2. Ici on trouve :
u4=10× (3
7 )4
= 810 2401 u7=10×
(3 7
)7
= 21 870 823 543
S=u0× 1−
(3 7
)7
1−3 7
=2 053 390 117 649
