.
Contrôle : suites, produit scalaire
.E 1
.. correctionOn considère la suite u définie par u0=6 et, pour tout entier naturel n un+1=1
3un−2
1. Préciser les cinq premiers termes de la suite u. Démontrer que u n'est ni géo- métrique, ni arithmétique.
2. On considère la suite v définie par vn=un+3. Démontrer que la suite v est géométrique. Donner l'expression de vn en fonction de n (expression du terme général).
3. En déduire le terme général de u. Préciser la valeur exacte des termes u7 et u8, puis une valeur approchée à 10−2 près.
E 2
.. correctionSoit (un)n∈N une suite géométrique non décroissante.
1. Déterminer la raison de cette suite sachant que : u2= −1 et u3−u1= −8 3. 2. Expliciter un en fonction de n.
3. Exprimer Sn=n∑−1
i=0
ui =u0+u1+. . .+un−1 en fonction de n. 4. Conjecturer la limite de Sn lorsque n tend vers +∞.
E 3
.. correctionDéterminer le sens de variations des suites suivantes :
1. (un) est définie pour tout n∈N par
u0=1
un+1=un+2n+3 2. (vn) est définie pour tout n∈N par vn=2−p
n+1.
E 4
.. correctionDans chacun des cas suivants, déterminer la ou les valeurs de x éventuelles pour que les vecteurs ⃗u et ⃗v soient orthogonaux.
1. ⃗u
1 3
et ⃗v
6 x+1
.
2. ⃗u
2x−1 2
et ⃗v
3x+2 x+1
.
E 5
.. correctionLe plan est rapporté à un repère orthonormé (O ;⃗ı,⃗ȷ) , ⃗u
x y
, ⃗v
x′ y′
sont deux
vecteurs.
1. (a) Donner :
□□
□ la définition de ⃗u·⃗v ;
□□
□ son expression analytique (i.e.avec les coordonnées) ;
□□
□ la formule du cosinus.
(b) On sait que ⃗u·⃗ı=3 et ⃗u·(
⃗ı+⃗ȷ)
= −2. Quelles sont les coordonnées de ⃗u ? (c) Déterminer les coordonnées des vecteurs ⃗v qui vérifient :
||⃗v|| =6
⃗
v·⃗ȷ= −3 2. Deux vecteurs ⃗u et ⃗v vérifient :
||⃗u|| =1, ||⃗v|| =3, et⃗u·⃗v=1.
On pose w⃗ =⃗u+k⃗v, avec k∈R.
(a) Déterminer k pour que w⃗ soit orthogonal à ⃗u.
(b) Déterminer k pour que w⃗ soit de norme 1.
(c) Déterminer k pour que ⃗v+w⃗ soit colinéaire à 2⃗u+⃗v.
E 6
.. correction1. Forage :
Une entreprise de forage estime le coût d'un forage : le premier mètre coûte 1000e , le deuxième coûte 1200e et chaque mètre supplémentaire coûte 200e de plus que le précédent.
Le pétrole se trouve à 500 mètres sous terre, de quels crédits a-t-on besoin ? 2. Rumeur :
Dans un lycée de 2000 élèves, un élève apprend, à 7h45 que « le bac est supprimé ».
Dans le quart d'heure qui suit il en fait part à 5 autres élèves puis il quitte le lycée.
Chacun de ces élèves en informe à son tour 5 autres dans le quart d'heure suivant puis quitte le lycée, et ainsi de suite.
À partir de quelle heure le lycée est-il vide ?
.
Correction
.E 1
.. énoncé1. u0=6; u1=0; u2= −2; u3= −8
3 ; u4= −26 9 .
□□
□ (un) n'est pas géométrique car u1=0 mais pas tous les autres termes ;
□□
□ (un) n'est pas arithmétique car un+1−un n'est pas constant. Effective- ment :u1−u0= −6 et u2−u1= −2.
2. Soit n∈N,
vn+1=un+1+3=1
3un−2+3=1
3(un+3)=1 3vn (vn) est donc géométrique de premier terme v0=9 et de raison q=1
3. vn=9×
(1 3
)n . 3. Soit n∈N, un=vn−3 on a donc :
un= 1 3n−2−3.
□□
□ u7= −728
243 ≈ −3, 00 ;
□
□
□ u8= −2 186
729 ≈ −3, 00.
E 2
.. énoncé1. Soit q la raison de la suite (un) . q̸=0 car sinon (un) serait constante et on aurait u3−u1=0.
On a u1=u2
q et u3=qu2 donc u3−u1= −8
3 ⇐⇒ qu2−u2
q = −8 3
⇐⇒ q2×(−1)−(−1)= −8 3q
⇐⇒ 3q2−8q−3=0 Résolvons l'équation du second degré 3x2−8x−3=0 :
∆=100, on obtient deux solutions x1=8−10 6 = −1
3 et x2=3+10 6 =3.
(un) est croissante donc q⩾1, ainsi q=3.
2. Pour tout n∈N, un=u2qn−2= −3n−2= −1 9×3n. 3. Pour tout n∈N,
Sn= −1 9+
(
−1 9 )
×3+. . .+ (
−1 9 )
×3n−1= −1 9
(1+3+. . .+3n−1)
= −1
9×1−3n 1−3 = 1
18×( 3n−1)
.
4. On conjecture que lim
n→+∞Sn= +∞.
E 3
.. énoncé1. Soit n∈N, un+1−un=2n+3⩾0 donc (un) est croissante.
2. Soit n∈N, vn+1−vn=2−p
n+2−( 2−p
n+1 )=p
n+1−p n+2
=
(pn+1−p
n+2)(p
n+1+p n+2) pn+1+p
n+2 = − 1
pn+1+p
n+2⩽0
(vn) est donc décroissante.
E 4
.. énoncé1.
⃗
u⊥⃗v ⇐⇒ ⃗u·⃗v=0
⇐⇒ 6+3x+3=0
⇐⇒ x= −3 2.
⃗
u⊥⃗v ⇐⇒ ⃗u·⃗v=0
⇐⇒ (2x−1) (3x+2)+2 (x+1)=0
⇐⇒ 6x2+3x=0
⇐⇒ x=0 oux= −1 2
E 5
.. énoncé1. (a) □□□ ⃗u·⃗v=1 2
(∥⃗u∥2+ ∥⃗v∥2− ∥⃗u−⃗v∥2) .
□□
□ ⃗u·⃗v=xx′+y y′.
□□
□ ⃗u·⃗v= ∥⃗u∥∥⃗v∥cos (⃗u;⃗v) .
(b) ⃗ı
1 0
donc ⃗u·⃗ı=x=3.
⃗ı+⃗ȷ
1 1
donc ⃗u·(
⃗ı+⃗ȷ)
=x+y= −2.
On en déduit que ⃗u
3
−5
.
(c)
∥⃗v∥ =6
⃗v·⃗ȷ= −3 ⇐⇒
x′2+y′2=36 y′= −3 ⇐⇒
x′2=27 y′2= −3 ⇐⇒
x′=3p
3 ou x′= −3p 3 y′= −3
donc
⃗v
−3p 3
−3
ou ⃗v
3p 3
−3
2. (a)
⃗
u⊥w⃗ ⇐⇒ ⃗u·w⃗ =0
⇐⇒ ⃗u·(⃗u+k⃗v)=0
⇐⇒ ⃗u2+k⃗u·⃗v=0
⇐⇒ 1+k×1=0
⇐⇒ k= −1
(b)
∥w⃗∥ =1 ⇐⇒ ∥⃗w∥2=1
⇐⇒ (⃗u+k⃗v)2=1
⇐⇒ ⃗u2+2k⃗u·⃗v+k2⃗v2=1
⇐⇒ 1+2k+9k2=1
⇐⇒ k(2+9k)=1
⇐⇒ k=0ouk= −2 9
(c) Les vecteurs ⃗u et ⃗v ne sont pas colinéaires car sinon, comme ∥⃗u∥ =1 et
∥⃗v∥ =3, on aurait ⃗u·⃗v=3ou −3. On peut donc considérer le repère (O;⃗u,⃗v) . Dans ce repère
⃗v+w⃗
1 k+1
et 2⃗u+⃗v
2 1
.
⃗
v+w⃗ et2⃗u+⃗v sont colinéaires ⇐⇒ 1×1−2 (k+1)=0
⇐⇒ k= −1 2
E 6
.. énoncé1. Soit (un)n∈N∗ la suite qui, à tout n∈N, associe le coût du n-ième mètre foré.
(un)n∈N∗ est une suite arithmétique de premier terme u1=1 000 et de raison 200, on a donc pour tout nN∗, un=1 000+200 (n−1)=800+200n.
Le coût du forage de n mètres est donc égal à :
Sn=u1+. . .+un=1 000+1 200+. . .+800+200n=n×1 000+800+200n
2 =
100n2+900n.
Le pétrole se trouve à 500 mètres :
S500=100×5002+900×500=25 450 000, il faudra donc 25,45 millions d'euros pour financer ce projet.
2. Chaque quart d'heure le nombre d'élèves qui sont mis au courant est multiplié par 5. On note un le nombre d'élève qui sont mis au courant le n-ième quart d'heure. (un) est une suite géométrique de raison 5 et de premier terme 1.
Pour tout n∈N, un=5n.
Soit Sn le nombre d'élève au courant au bout de n quarts d'heure : Sn=1+5+52+. . .+5n=1−5n
1−5 =1 4
(5n+1−1) .
(Sn) est une suite croissante, à l'aide de la calculatrice, on détermine que pour tout n⩾5, Sn⩾2 000.
À 9h tout le lycée est au courant.