apprendre ‼ ‼ °) recopier chez soi dans son cahier de cours, 4°) Portion à : 1 °) compléter , 2 °) montrer au professeur, 3 1

(1)

Agrandissement, réduction, rotation et angles

Rotations – Angles inscrits et au centre.

a. 3^ème : savoir construire un triangle équilatéral connaissant son centre et un sommet.

b. 3^ème : savoir construire un carré connaissant son centre et un sommet.

c. 3^ème : [Pas dans le socle commun] connaître et utiliser la relation entre un angle inscrit et l’angle au centre qui intercepte le même arc.

d. 3^ème : [Pas dans le socle commun] savoir construire un hexagone régulier connaissant son centre et un sommet.

Agrandissement et réduction

i. 3^ème : [Abordable en 4^ème] savoir agrandir ou réduire une figure donnée.

ii. 3^ème : savoir calculer l’aire d’une surface réduite ou agrandie à partir de l’aire de la surface de départ et du coefficient de réduction ou d’agrandissement.

iii. 3^ème : savoir calculer le volume d’un solide réduit ou agrandi à partir du volume du solide de départ et du coefficient de réduction ou d’agrandissement.

Les codes et règles de fonctionnement :

* : exercice un peu plus complexe.

** : exercice de recherche.

[25] : temps moyen estimé, en minute, si le cours est su.

En italique : question en option, à voir avec le professeur en fonction du temps restant.

: à SAVOIR par cœur (un conseil : contrôler que l’on sait au moins une fois par écrit, avec la méthode par accordéon : on copie, on cache en pliant, et on essaie de réécrire le savoir de mémoire – à faire au moins six fois* ).

: à savoir REFAIRE, sur feuille, sans regarder la solution.

: attention, danger : piège, etc.

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Portion à : 1°) compléter, 2°) montrer au professeur, 3°) recopier chez soi dans son cahier de cours, 4°) apprendre ‼ ‼

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LES 6 REGLES D’OR

1. Sauf précision, tout travail est à faire sur le cahier, (et non sur la feuille).

2. INDISPENSABLE : Vérifiez votre travail en consultant les solutions données à la fin.

Une remarque : ces résultats sont un moyen de savoir si l’on a juste ou faux. Ils ne sont pas la réponse à la question posée. Toute réponse doit être justifiée par un calcul ou un

raisonnement.

3. En cas d’erreur (voir les résultats ou indications à la fin du document), refaites la question.

En cas d’erreur à nouveau, appelez le professeur. Il est INTERDIT de passer à un autre exercice sans avoir vérifier les solutions de l’exercice précédent.

4. En fin de séance, écrire sur un petit papier : votre nom, et les travaux que vous ferez pour la prochaine fois. Il faut au minimum 20 minutes de travail par soir. Dans la mesure du possible, prévoyez 3 travaux (ex : un cours à recopier et deux exercices à faire)

5. Une fois validé par le professeur, le cours est alors à recopier CHEZ SOI dans le cahier de cours, et à APPRENDRE.

6. En cas de blocage sur un cours, refaites les exercices situés juste avant : ce sont ces exercices qui amènent à découvrir la nouvelle notion.

(2)

M H

U

S

Z

C

Exercice n°1

1. Tracer un cercle C de centre O et de rayon 3 cm.

2. Placer 3 points A, B et M sur le cercle.

3. Construire les trois tangentes à C en A, B, et M .

♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥Cours n°1♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥

Portion à : 1°) compléter, 2°) montrer au professeur, 3°) recopier chez soi dans son cahier de cours, 4°) apprendre ‼‼

Chapitre …. : Angles - Rotation - Agrandissement

I) Angles inscrits - Vocabulaire :

Définition n°1

♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥Cours n°1♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥

Exercice n°2 (Sésamath)

La figure ci-dessous représente un cercle () de centre O. Les points B, O, D et H sont alignés.

Les angles cités ci après sont ils des angles inscrits dans le cercle () ?

Justifie chaque réponse.

a. aBOA

b. aECG

c. aAGD

d. aBCH

e. aGFE

f. aBEA

La figure ci contre représente un cercle (C) de centre C.

Les angles cités ci après sont ils des angles au centre dans ce cercle ? Justifie chaque réponse.

a. aSMZ

b. aZCS

c. MCHa

d. aSUC

e. aZHS

f. aHCU

On appelle ANGLE INSCRIT l’angle de sommet un p……….. du cercle, et dont les côtés passent par deux points du cercle.

On dit que deux angles INTERCEPTENT le même arc l’intersection de ces deux angles avec le cercle est un même arc de ce cercle.

On appelle ANGLE AU CENTRE l’angle de sommet le c………. du cercle, et dont les côtés passent par deux points du cercle.

O A

B

C D

E

F G

H

(3)

La figure ci dessous représente un cercle (C ) de centre A.

Pour chaque angle inscrit cités ci après, indique l'angle au centre qui intercepte le même arc et précise le nom de l'arc.

a. aZER b. aRZL c. aKEL

d. aRKL e. aRIE f. aIKZ

Exercice n°5

Avec un logiciel de géométrie ou « à la main » :

1. Construire un cercle C de centre O, puis quatre points A, B, C et D sur ce cercle.

2. Établir la conjecture :

a. Mesurer les angles aAOB et aACB.

b. Si vous travaillez sur un logiciel de géométrie, bougez le point C sur le cercle.

c. Que semble-t-il se passer ? Énoncez-le le plus précisément possible, de façon générale, en utilisant le vocabulaire vu dans le cours :

………

……….

♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥Cours n°2♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥

II) Angles inscrits – Propriétés.

Propriété n°1

L’angle inscrit qui intercepte le même arc que l’angle au centre mesure

……… de l’angle au centre.

Exemple n°1 : « C est un cercle de centre O. A et B sont deux points du cercle tels que aAOB =45°.

C est un point deC tel que aACB est un angle aigu. Combien mesure aACB ?»

Réponse :

Dans l’énoncé, on voit que : aACB intercepte le même arc que aAOB et aAOB=45°

Or : L’angle inscrit qui intercepte le même arc que l’angle au centre mesure

……… de l’angle au centre.

Donc : aACB=………..°

♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥Cours n°2♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥

( ) I

Z

R

L E

K A

(4)

La figure ci contre représente un cercle de centre I.

Détermine, en justifiant, la mesure de l'angle aMIR Exercice n°7

Soit C le cercle circonscrit à un triangle ABC tel que aBAC = 70° et BA=5cm et AC=7cm.

On note O le centre de ce cercle.

1. Construire la figure.

2. On peut remarquer que BOCa est un angle au centre. Peut−on trouver un angle inscrit associé à cet angle au centre ?

3. D’après le cours, quelle relation y a−t−il entre cet angle inscrit etBOCa ? 4. En déduire la mesure deBOCa , en justifiant.

Exercice n°8

Soit ABCD un quadrilatère et son cercle circonscrit de centre O (construire d’abord le cercle, puis le quadrilatère quelconque dont les sommets sont sur le cercle).

1. Construire une figure.

2. ABDaest un angle inscrit. Quel arc intercepte−t−il ?

3. ACDa est lui aussi un angle inscrit. Quel arc intercepte−t−il ? 4. Que peut−on dire alors des angles ABDaetACDa ? Justifier.

♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥Cours n°3♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥

Si deux angles inscrits dans un même cercle intercepte le même arc, alors,

………..

Exemple n°2 : « C est un cercle de centre O. A, C et B sont trois points du cercle tels que aACB

=40°. D est un point deC . Combien mesure aADB ?»

Réponse :

Dans l’énoncé, on voit que : aACB et aADB interceptent le même arc et que aACB =40°. Or : Si deux angles inscrits dans un même cercle intercepte le même arc, alors,

………..

Donc : aADB=………..°

♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥Cours n°3♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥

La figure ci contre représente un cercle (C).

Détermine la mesure de l'angle aLAO. Justifie ta réponse.

E

R

M

7 8 °

I

H

O

A

L 2 7°

(5)

La figure ci contre représente un cercle (C) de centre S. ([NC] est un diamètre du cercle)

Détermine, en justifiant, la mesure de l'angle aNOA.

Sur la figure ci dessous, les droites (NC) et (AE) se coupent en I, point d'intersection des cercles (C₁) et (C₂).

Explique pourquoi aNSE=aARC.

Sur la figure ci contre, les droites (NR) et (AE) sont parallèles.

Les cercles (C₁) et (C2) se coupent en R et A. Détermine, en justifiant, la mesure de l'angle aNCA

C

A N O

E

S 46°

A

R C

I N

E

S ( 2)

( ₁)

C

A N

R E

S 4 0° ( ₂)

( 1)

(6)

M

B

A

O

M

B

A

O ' M Exercice n°13 **

Démonstration de la propriété de l’angle au centre et de l’angle inscrit, dans le cas où le centre du cercle circonscrit au triangle est à l’intérieur du triangle.

1. Pourquoi les triangles AOB, AOM et BOM sont−ils isocèles ?

2. Quelle est la mesure de l’angle aAOBen fonction de la mesure de l’angleOABa ?

3. L’angle OABaest nommé aˆ. L’angle OMAa est nommé bˆ. L’angle OBMa est nommé cˆ. a. Exprimer la somme des angles du triangle

AMB en fonction de aˆ, bˆ, et cˆ.

b. En utilisant la propriété de la somme des angles dans un triangle, exprimer 2aˆ en fonction de bˆ

et cˆ.

c. Déduire du b et du 2 l’expression de l’angle aAOB en fonction de bˆ et cˆ.

d. En déduire, en factorisant par 2, l’expression de l’angle AOBaen fonction de l’angle inscritAMBa .

Exercice n°14

Démonstration du fait que deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure.

1. Exprimer l’angle AMBa en fonction de l’angleAOBa.

2. Exprimer l’angle AMa'Ben fonction de l’angleAOBa.

3. Conclure.

♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥Cours n°4♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥

III) Polygone régulier

Un polygone est une figure plane à n côtés.

On dit qu’un polygone est régulier si tous ses côtés sont égaux et tous ses angles sont de même mesure.

Exemple n°3

Un polygone régulier à trois côtés est un ……….

Un polygone régulier à quatre côtés est un ………..

Un polygone régulier à cinq côtés est un p……….

Un polygone régulier à six côtés est un h………..

♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥Cours n°4♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥

(7)

A. Les triangles

a. Parmi les triangles, lesquels sont des polygones réguliers ?

b. Construis un tel triangle CAR de côté 5 cm.

On appelle O le centre de son cercle circonscrit.

c. Que représentent les droites (AO), (RO) et (CO) pour ce triangle ?

d. Détermine la mesure des angles aCOA, aAORet aROC. Est-ce vrai dans n’importe quel triangle de ce type ?

e. Construis un triangle équilatéral inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 6 cm en utilisant le rapporteur et le point O.

B. Les quadrilatères

a. Parmi les quadrilatères, lesquels sont des polygones réguliers ?

b. Construis un tel quadrilatère DIME de côté 5 cm.

On appelle O le centre de son cercle circonscrit.

c. Détermine la mesure des angles aDOI, aIOM, aMOE et aEOD.

d. Construis un carré inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 4 cm, en utilisant le rapporteur et le point O.

C. Une rosace

a. Construis un cercle de centre O et de rayon 4 cm et la rosace inscrite dans ce cercle dont les sommets s'appellent A, B, C, D, E et F.

b. Quelle est la nature du polygone ABCDEF ?

c. Quelle est la nature des triangles AOB, BOC, COD, DOE, EOF et AOF ? Justifie ta réponse.

d. Montre que les angles de ce polygone ont la même mesure.

e. Quelles sont les mesures des angles au centre aAOB, aBOC, aDOE, aEOFet aFOA ?

f. Propose une méthode de construction de ce polygone utilisant le rapporteur et le centre O. D. Polygone à n côtés

a. En t'aidant des réponses aux questions précédentes, détermine la mesure d'un angle au centre déterminé par deux sommets consécutifs d'un polygone à n côtés.

b. Propose une méthode de construction d'un polygone régulier à n côtés.

c. Construis un polygone régulier à huit côtés inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 5 cm.

d. Calcule la mesure de l'angle formé par deux côtés consécutifs de cet octogone.

♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥Cours n°5♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥

Un polygone régulier à n côtés est inscrit dans un cercle. Tous les angles au centre déterminés par deux sommets consécutifs du polygone ont la ……….

Exemple n°4 : Construis un cercle de centre O. Inscrit un pentagone régulier ABCDE dans ce cercle.

Réponse : 360 ÷ 5=…. : l’angle au centre déterminée par deux sommets consécutifs vaudra ……°

♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥Cours n°5♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥

Faites le travail demandé, à l’aide du compas et du rapporteur.

(8)

Exercice n°16

La figure ci-dessous représente un octogone régulier AOUTIENS de centre C.

1. Quelle est la mesure de l'angle aACO? Justifie ta réponse.

2. Que peux-tu dire des droites (AC) et (CU) ? Justifie ta réponse.

Exercice n°17

HEXAGO est un hexagone régulier inscrit dans un cercle (C) de centre C.

a. Quelle est la mesure de l'angle aHCE? Justifie ta réponse.

b. Détermine la mesure de l'angle aHEC.Justifie.

c. Déduis en la nature du triangle HCE.

d. Cela justifie une méthode de construction de l'hexagone déjà vue, laquelle ?

e. Exprime le périmètre de l'hexagone régulier en fonction du rayon r du cercle.

f. Construis ce polygone si r = 5,5cm

Exercice n°18

PENTA est un pentagone régulier de centre O tel que OA = 4 cm.

a. Calcule la mesure de l'angle aPOE

b. Utilise cette mesure pour construire le pentagone à l'aide du rapporteur.

c. Quelle est la nature du triangle POE ?

d. Place O' le milieu du côté [PE]. Déduis-en la nature du triangle POO'. e. Détermine la mesure de chacun des angles du triangle POO'.

f. Calcule la longueur PO' et déduis en la longueur PE. Tu donneras pour chacune la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième.

g. Détermine le périmètre du pentagone. Tu donneras la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième.

h. Détermine la longueur OO'. Déduis en l'aire du triangle POE puis l'aire du pentagone. Tu donneras pour chacune la valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième.

Exercice n°19

La figure ci dessous représente un décagone régulier RECUSATION inscrit dans un cercle (C) de centre B.

a. Quel est le nombre de côtés d'un décagone ?

b. Quelle est la mesure de l'angle au centreaCBE ? Justifie. Construis ce polygone si BE=5 cm.

c. Quelle est la mesure de l'angle au centreaOBI? Justifie.

d. Quelle est la mesure de l'angleaCSE? Justifie.

e. Quelle est la mesure de l'angleaONI? Justifie.

A

O

U

T

I E N S

C

H

E

X A G

O C

( )

E R C

U

S

A T

I O N

B ( )

(9)

Exercice n°20

On choisit comme unité d’aire le carré suivant : 1. Quelle est l’aire du rectangle ci-dessous ?

2. On agrandi ce rectangle par 2. Quelle est l’aire du nouveau rectangle ainsi obtenu ?

3. On agrandit le rectangle de départ par 3. Quelle est l’aire du nouveau rectangle ainsi obtenu ? 4. On agrandit le rectangle de départ par un nombre k. Quelle est l’aire du nouveau rectangle ainsi

obtenu ? Montrez votre réponse au professeur pour validation.

Exercice n°21

On choisit comme unité de volume le cube suivant : 1. Quel est le volume du pavé droit suivant :

2. On agrandi ce pavé droit d’un facteur 2. Quel est le volume de ce nouveau pavé droit ?

3. On agrandit le pavé droit de départ d’un facteur 3. Quel est le volume de ce nouveau pavé droit ? 4. On agrandit le pavé droit de départ d’un facteur k. Quel est le volume de ce nouveau pavé droit ?

Montrez votre réponse au professeur pour validation.

♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥Cours n°6♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥

IV) Agrandissement et réduction

Si on agrandit une figure plane d’un facteur k (c'est-à-dire que l’on multiplie les longueurs par k), alors l’aire de la figure obtenue vaut ……… l’aire de la figure initiale

Exemple n°5 : « Un pentagone régulier a pour aire 35 km².On en fait une copie à l’échelle 1/100.

Calculer l’aire de la copie, en m². » Réponse :

L’aire vaut 35×



1 100

….

km² =0,………..km²=………….m².

Si on agrandit un solide d’un facteur k (c'est-à-dire que l’on multiplie les longueurs par k), alors le volume du solide obtenu vaut ……… le volume du solide initial.

Exemple n°6: « Un cône a pour volume 36π ^cm³.On en fait une copie en triplant ses dimensions. Quel sera le volume de la copie en cm³ ? »

Réponse :

Le volume vaut 36π× (3)^…=………..π cm³

(10)

♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥Cours n°6♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥

Exercice n°22

Une pyramide en verre a pour volume 75 m³. On en réalise une maquette au 1/100^e . Calculer le volume de la maquette en cm³.

Exercice n°23

Un immeuble a la forme d’un pavé droit, de dimension (en mètres) : 150m de long, 30m de large, et 15 m de haut.

a. Calculer son volume en m³.

b. Calculer l’aire totale des faces latérales.

c. On réalise une maquette au 1/50^e. Calculer le volume de la maquette en m³, puis en L.

d. Calculer l’aire totale des faces latérales de la maquette en cm².

Exercice n°24

Une pyramide à base carrée a pour volume 15360 dm³. Sa hauteur vaut 60 dm. On en fait une maquette au 1/10^e

a. Quel est le volume de la maquette ? b. Quel est l’aire de la base de la maquette ?

c. En déduire la longueur d’une arête de la base de la maquette.

(11)

Résultats

Ex.1 : Ex.2 : a. N b. O c. O d. N e. N f. O Ex.3 : a. N b. O c. O d. N e. N f.O. Ex.4 : a.aZARet cZIR b. aRAL et RKLcc. aKAL et cKL

d.aRAL et RKLc e.aRAE et RKLEc f. aZAI et cZI

Ex.5 : La moitié ? Le double ? Ex.6 :aMIR=156°

Ex.7 : 1. 2.aBAC 4.aBOC=140°.

Ex.8 : 1. 2.cAD 3. cAD 4. aABD=aACD

Ex.9 : 27° Ex.10 : 44° Ex.11 : aNIE=aAIC

Ex.12 : aRAE,aNRA(angles alternes internes entre deux droites parallèles), aNCA. On trouve 40°.

Ex.13 : 1. Rayon 2. aAOB=180-2aOAB 3.a.2db +2dc + 2da b. 2da =180-2db -2dc

c.aAOB= 2db +2dc d. aAOB=2aAMB

Ex.14 1. aAMB=1/2aAOB 2. AM’B=1/2a aAOB 3. aAMB=AM’Ba Ex.15 : A.d.120° B.c.90° C.c. Equilatéral d.60+60… e. 60 D.a. 360/n d. 67,5° Ex.16 : 1. 45° 2. Perpendiculaires. Ex.17 : a.60° b.60° c. Equilatéral e.6r Ex.18 : a. 72° c. Isocèle d. Rectangle e. 36°,90° et 54° f. 4×sin(36°)≈2,35 ; 8×sin(36°)≈4,70 g.

40×sin(36°)≈23,51 h. 4×cos(36°)≈3,24 ; 16×sin(36°)×cos(36°) ≈7,6 ; 80×sin(36°)×cos(36°) ≈ 38,0 Ex.19 : a.10 b.36° c. 36° d. 36° e. 36° Ex.20 : 1. 15 u.a. 2.60 u.a. 3. 135 u.a. Ex.21 : 1. 24 u.v. 2. 192 u.v. 3. 648 u.v. Ex.22 : 75 Ex.23 : a. 67500 m³ b. 5400 m² c. 0,54 m³ ; 540 L d. 21600 cm² Ex.24 : a. 15,36 dm³ b. 2,56 dm² c. 1,6 dm.

O

A B

M

A B

C O

A

B

C

D

O