Chapitre 7
Produit scalaire dans le plan
Les savoir-faire
310. Calculer un produit scalaire à l’aide de normes et d’un angle.
311. Calculer le produit scalaire de deux vecteurs avec une projection orthogonale.
312. Calculer un produit scalaire dans un repère.
313. Calculer le produit scalaire de deux vecteurs avec des normes.
314. Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité, pour calculer une longueur ou un angle.
315. Choisir une méthode adaptée pour le calcul d’un produit scalaire en vue de la résolution d’un problème.
I. Produit scalaire dans le plan
1. Définition avec normes et angle
Soit~uet~v deux vecteurs non nuls du plan. Il existe trois pointsA,B et C tels que~u=−−→
AB et~v=−→
AC.
On appelleproduit scalairedes vecteurs~uet~vle nombre réel noté~u·~vdéfini par :~u·~v=k~uk×k~vk×cos(BAC).’ Autrement dit,−−→
AB·−→
AC=AB×AC×cos(BAC’).
Définition : produit scalaire
Remarques :
Si~u=~0 ou~v=~0 alors~u·~v= 0.
On appellecarré scalairedu vecteur−−→
ABla quantité
−−→ AB·−−→
ABet on la note−−→ AB2. Ainsi :−−→
AB2=k−−→
ABk2=AB2. A
B C
~ u
~ u
~ v
~ v
2. Cas de vecteurs colinéaires
— Si−→
AB et−→
AC sont colinéaires et de même sens, alors−−→ AB·−→
AC =AB×AC.
— Si−→
AB et−→
AC sont colinéaires et de sens contraire, alors−−→ AB·−→
AC=−AB×AC.
Propriété : produit scalaire et vecteurs colinéaires
Exemple :
Soit un triangle équilatéralABC de côté 5.
Calculer−−→ AB·−→
AC. Vidéo
1
3. Définition avec la projection orthogonale
Soit trois pointsA,B etC avecAetB distincts.
SoitH le projeté orthogonal deC sur la droite (AB). Alors :
−−→ AB·−→
AC=−−→ AB·−−→
AH
A B
C
~u
~v
H
A B
C
~ u
~ v
H Propriété : produit scalaire et projection orthogonale
Exemple :
ABCD est un carré. Calculer le produit scalaire :−−→ AB·−→
AC. Vidéo
4. Symétrie et bilinéarité
Soit~u,~v etw~ trois vecteurs du plan etkun réel.
— Symétrie:~u·~v=~v·~u
— Bilinéarité: (k~u)·~v=~u·(k~v) =k×(~u·~v) et
~
u·(~v+w) =~ ~u·~v+~u·w~ Propriétés : symétrie et bilinéarité du produit scalaire
II. Propriété du produit scalaire
1. Expression en base orthonormé
Dans une base orthonormée (~ı , ~), on considère~u(x; y) et~v(x′ ; y′) deux vecteurs.
Alors :
~
u·~v=xx′+yy′
Propriété : expression du produit scalaire dans une base orthonormée
Exemple :
On donne deux vecteurs~u −3
4
et~v −1
5
. Calculer~u·~v. Vidéo
2. Norme d’un vecteur
Dans une base orthonormée (~ı , ~), on considère le vecteur~u(x; y).
Alors lanorme du vecteur~u, notéek~uk, est donnée par : k~uk=p
x2+y2 Propriété : expression de la norme en base orthonormée
2
3. Vecteurs orthogonaux
Soit~uet~vdeux vecteurs non nuls du plan et A, B, C et D quatre points tels que~u=−−→
ABet~v=−−→
CD. Les vecteurs~uet ~v sont dits orthogonaux lorsque les droites (AB) et (CD) sont perpendicu- laires. On note ~u⊥~v.
Définition : vecteurs orthogonaux
A
B
C
~ u
D
~ v
Le vecteur nul~0 est orthogonal à tout vecteur du plan.
Deux vecteurs~uet~v sont orthogonaux si et seulement si :
~ u·~v= 0 Propriété : nullité du produit scalaire
4. Critère d’orthogonalité
Dans une base orthonormé, on considère deux vecteurs~u(x; y) et~v(x′ ; y′) : Alors,~uet~v sont orthogonaux si et seulement si :
xx′+yy′= 0 Propriété : critère d’orthogonalité
Exemple :
On donne les pointsA(2 ; 1),B(5 ; 3),C(1 ; 4) etD(5 ; −2).
Démontrer que (AB) et (CD) sont perpendiculaires. Vidéo
III. Applications du produit scalaire
1. Expression du produit scalaire à l’aide de normes
Pour tous vecteurs~uet~v :
k~u+~vk2=k~uk2+k~vk2+ 2~u·~v Propriété : calcul de k~u+~vk2
Pour tous vecteurs~uet~v :
~ u·~v= 1
2 k~u+~vk2− k~uk2− k~vk2 Propriété : expression du produit scalaire à l’aide de normes
2. Formule d’Al-Kashi
SoitABC un triangle. On note : a=BC,b=AC, c=AB. Alors :
a2=b2+c2−2bccosAb Propriété : Formule d’Al-Kashi
A
B C
a b
c
Remarques :
• On a de même :b2=a2+c2−2accosB“et c2=a2+b2−2abcosC.“
• LorsqueAb= 90˚, la relation s’écrit :a2=b2+c2. 3
Exemple :
Calculer la mesure de l’angleBAC.’
Vidéo : A ?
B C
4 5
6
3. Ensemble de points
A etB sont deux points distincts donnés.
L’ensemble des pointsM tels que −−→
M A·−−→
M B= 0 est le cercle de diamètre [AB].
Propriété : ensemble de points et produit scalaire
I
B
A
M
4
