SUITES I) DEFINITION ET GENERALITES

SUITES

I) DEFINITION ET GENERALITES (faire ex 1 , 2 et 3 feuille)

Dans tout ce chapitre I est une partie de et représente l'ensemble de définition de la suite ℕ u_n . 1) D éfinition :

On appelle suite réelle toute application u d’une partie I de vers .ℕ ℝ on note u_n_n∈I au lieu de u : I  ℝ

n u(n) u_n est l’image de n par la suite u.

Deux manières de définir les suites :

Suite définie par une formule explicite : u_n = f(n) : u_n = -3n² +n - 4 n ∈ ℕ Suite définie par une relation de récurrence : un1 = fu_n

v0 = 2 et vn+1 = - 2 vn + 1 ∀n ∈ ℕ

Pour v , utiliser la calculatrice ( 2 EXE, -2ans + 1 EXE...EXE...EXE....) + mode recur + tableur +algo Représentation graphique :

Remarque : pour un suite ^un=fn les termes sont les ordonnées des points d'abscisses entières de la courbe représentative de f

Construction des termes d'une suite du type : un1=fu_n ex : Pour représenter cette suite dans un repère orthonormé : 1) on trace la droite d'équation  :y = x

2) on trace la courbe d'équation C :y = f(x) 3) on place u0 sur l'axe des abscisses

4) à l'aide de D on trace u1=f(u0) sur l'axe des ordonnées 5) à l'aide de  on place u1 sur l'axe des abscisses

puis on recommence l'étape 3) pour placer ^u2…...

2) Monotonie :

(u_n) est croissante sur I pour tout n de I, u⇔ n+1  un . (u_n) est décroissante sur I pour tout n de I, u⇔ n+1  un . (u_n) est constante pour tout n de I , u⇔ n+1 = un .

3) Majorant et minorant :

(u_n) est majorée il existe un réel M tel que pour tout n de I, u⇔ n  M . (u_n) est minorée il existe un réel m tel que pour tout n de I, u⇔ n  m . (u_n) est bornée elle est minorée et majorée.⇔

Remarque :

- si une suite admet un majorant M alors elle en admet une infinité, tous les nombres supérieurs à M.

- si une suite admet un minorant m alors elle en admet une infinité, tous les nombres inférieurs à m.

II) SUITES ARITHMÉTIQUES ( Faire ex 4 et 5 de la feuille ) D

éfinition :

(u_n) est arithmétique ⇔ pour tout n de I, un+1 = un + r où r est un réel . r s’appelle la raison.

Exemple : vn=5 n2 vn1=5n12=5 n25=v_n5 donc arithmétique de raison 5 P

ropriété :

Si u est une suite arithmétique de raison r alors : u_n = u₀ + n r et u_n = u_k + ( n - k ) r P ropriété :

1 + 2 + ... + n = ^nn1

2 P ropriété :

Si u est une suite arithmétique de raison r alors : u₀ + u₁ + u₂ +...+ u_n = (n+1) u₀+u_n 2 u_j + u_j+1 + u_j+2 +...+ u_n = (n – j + 1 ) u_j+u_n

2

Remarque : Si r > 0 alors u est croissante , si r < 0 alors u est décroissante.

III) SUITES GEOMETRIQUES ( Faire ex 6 et 7 de la feuille ) Soit I une partie de ℕ et u_n une suite définie sur I.

D

éfinition :

(u_n) est géométrique ⇔ pour tout n de I, un+1 = q un où q ∈ ℝ ^* . q s’appelle la raison P

ropriété :

Si u est une suite géométrique de raison q alors : u_n = qⁿ u₀ et u_n = q ^n-k u_k P

ropriété :

Si u est une suite telle que pour tout n ∈ I, u_n=a.qⁿ alors u est une suite géométrique de raison q.

P

ropriété :

Soit la suite u définie par u_n=qⁿ avec q > 0.

si 0 < q < 1 alors u est décroissante si q = 1 alors u est constante si q > 1 alors u est croissante P

ropriété :

Si q ≠ 1 alors 1qq²...qⁿ = 1 – q^n1 1 – q P

ropriété :

Si u est une suite géométrique de raison q ≠ 1 alors : u₀ + u₁ +...+ u_n = u_o 1 – qⁿ⁺¹ 1 – q u_j + u_j+1 + u_j+2 +...+ u_n = u_j 1 – q^n−j+1

1 – q Exercice : 58 (tant que) - 59 – 63 p 41

IV) LIMITES On cherche la limite d’une suite quand n tend vers +∞ . (faire ex intro limites 8-9-10) 1) définitions

Il y a 4 possibilités : limite finie

u converge vers L signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient tous les u_n à partir d’un rang n₀ . Dans ce cas on dit que la suite est convergente et on écrit lim_n→+∞u_n = l

limite infinie

u admet pour limite +∞ signifie que tout intervalle ]A;+∞[ contient tous les u_n à partir d’un rang n₀ . u admet pour limite –∞ signifie que tout intervalle ]–∞;A[ contient tous les u_n à partir d’un rang n₀ .

graphique pour +∞

u n’a pas de limite : exemple – 1ⁿ ; cos(n) ; sin(n) Dans ces trois autres on dit qu'elle est divergente 2) limites de référence

propriété :

Pour tout entier k  1, lim_n∞n^k=∞ ; lim

n∞

1

n^k=0 ; lim

n∞



n∞

1



lim_n→+∞eⁿ = +∞ ; lim_n→+∞e⁻ⁿ = 0

faire ex 11 (fp exo limites:tableau opérations)

3) Opérations sur les limites l et l ' désignent deux réels Somme de suites :

lim ^un l l l ^{∞ –∞ ∞}

lim ^vn l ' ∞ –∞ ∞ –∞ –∞

limu_nv_n

l + l ' ^{∞ –∞} ∞ –∞ ONPC

Produit de suites :

lim un l L >0 ou ∞ L <0 ou –∞ L >0 ou ∞ l < 0 ou –∞ 0

lim vn l ' ∞ ∞ –∞ –∞ ∞ ou –∞

limu_n. v_n L + l ' ^{∞ –∞ –∞ ∞} ONPC

Quotient de suites

lim ^un l l 0 l >0 ou

∞

l >0 ou

∞ ^∞

L <0 ou –∞

L <0 ou

–∞ ^–∞ ∞

lim vn l ' ≠ 0 ∞ 0 0 avec

v_n0 0 avec

v_n0 l ' ≠0 0 avec

v_n0 0 avec

v_n0 l ' ≠ 0 ∞

lim u_n

vn l / l ' 0 ONPC ∞ –∞

∞ si l ' >0

–∞ ∞

–∞ si l ' >0 –∞ si ONPC

l ' <0

∞ si l ' <0 Exercices : 35-36-38-39-42-43-44-45 p40

Ex d'introduction : Programmer sur la calculatrice : 2ⁿ ; 3ⁿ ; 1 2

n

;





P

ropriété admise :

Soit q est un réel positif.

Si 0 < q < 1 alors lim_n∞qⁿ= 0 et si q > 1 alors lim_n∞qⁿ = +∞

Exercices : 54 -57 p 41

4) limites et comparaison

Th :

Soient u et v deux suites et p ∈ ℕ tel que pour tout n p  ^un≤v_n Si lim_n∞u_n=∞ alors lim_n∞v_n=∞

Si lim_n∞v_n=−∞ alors lim_n∞u_n=−∞

Démonstration : si lim u = +∞ alors A il existe ∀ ⁿ0 tel que si n > ⁿ0 alors ^unA soit N le plus grand de p et n0 donc si n > N alors ^vn  ^un > A Th :

Soient u, v et w trois suites, l un réel et p ∈ ℕ tel que pour tout n p ,  ^un≤v_n≤w_n si u et w converge vers la même limite l alors v converge également vers l.

Exercices : 46-47-48 – 49 -50 p 40

V) SUITES ARITHMETICO-GEOMETRIQUES ( faire act p 29 )

Définition :

Une suite arithmético-géométrique est une suite u définie par la donnée de son premier terme et de la relation de récurrence un1=a.u_nb où a et b sont deux réels donnés

Exemple : u0=1 et un1=2u_n3 donc u1=5 …...

Cas particuliers : si a = 0 alors u est constante

si a ≠ 0 et b = 0 alors u est géométrique de raison a si a = 1 alors u est arithmétique de raison b

( faire ex 66 p 42) attention erreur n-1 au lieu de n+1 pour a.

Représentation graphique : Méthode

Soit la suite u définie par u0 et pour tout n, un1=a.u_nb . Pour représenter cette suite dans un repère orthonormé : 1) on trace la droite d'équation  :y = x

2) on trace la droite d'équation D:y = a x + b 3)on place u0 sur l'axe des abscisses

4) à l'aide de D on trace ^u1=au₀b sur l'axe des ordonnées 5) à l'aide de  on place u1 sur l'axe des abscisses

puis on recommence l'étape 3) pour placer ^u2…...

Modélisation : 70-71 p 42

EXERCICE 1 : Calcul et représentation graphique d’une suite explicite.

Soit les suites définies sur ℕ par ^un=2 n−10 , vn=−2 n²+1 et wn=3×1,2ⁿ. 1) Calculer les les trois premiers et le ₁₁^{i éme}termes de ces suites.

2) Représenter ces suites (jusqu’à n =10) et conjecturer leur sens de variation et leur limite.

3) Démontrer les variations de ces suites.

EXERCICE 2 : Calcul et représentation graphique des termes d'une suite du type : un1=fu_n 1) Soit la suite définie par v0 = 2 et pour tout n ∈ ℕ , vn+1=3 v_n−1 .

Donner les 4 premiers termes de cette suite.

2) a) Soit la suite u_n définie par: u₀=0,1 et u_n+1 =

√

en annexe 1 on a tracé la droite d'équation y = x et la courbe représentative de la fonction

√

Placer ^u0 sur l'axe des abscisses puis à l'aide des courbes précédentes construire ^u1, ^u2, et ^u3 sur l'axe des abscisses et des ordonnées.

b) Quelles conjectures peut-on faire ? EXERCICE 3 :

1) Montrer que la suite définie par un=7 n−2

n est majorée par 7.

2) Montrer que la suite définie par 2 n²+8 est minorée par 8.

3) Montrer que la suite définie par 3 n²

n²4 est bornée.

EXERCICE 4 :

Une entreprise produit 100 objets au mois de janvier 2012 et décide d'augmenter sa production de 5 objets par mois.

1) Combien d'objets produira-t-elle en décembre 2014?

2) Combien d'objets aura-t-elle produit entre le 1° janvier 2012 et 31 décembre 2014?

EXERCICE 5 :

1) Montrer que la suite définie par ^un=3 n+8 est arithmétique.

2) Soit ^tn la suite arithmétique, définie sur , de raison 5 et de premier terme ℕ t₀=– 8 . a) Calculer ^t10 et ^t20.

b) Calculer t10 + t11 + ... + t20. EXERCICE 6 :

Un locataire paye un loyer mensuel de 300 € au 1° janvier 2012 et ce loyer est augmenté de 1,5 % tous les 1°

janvier.

1) Quel sera le loyer mensuel en 2020 ?

2) Combien cette location lui aura-t-elle coûté s'il reste jusqu'au 31 décembre 2020?

EXERCICE 7 :

1) Montrer que la suite définie sur par ℕ vn=8ⁿ8^n1 est géométrique.

2) Soit w_n la suite géométrique, définie sur ℕ^* , de raison 3 et de premier terme w1=– 2 . a) Calculer ^w₅.

b) Calculer w5 + w6 + ... + w16.

INTRODUCTION AUX LIMITES EXERCICE 8 : Pour tout n ∈ ℕ^* on pose un=3+5

n . 1) Déterminer un entier n0 tel que si n > n0 alors 3<u_n<3,000001 .

2) Montrer que pour tout réel positif  , il existe un entier n0 tel que si n > n0 alors 3< un < 3+ .

La distance entre un et 3 peut être rendu aussi petite que l'on veut, pourvu que n soit assez grand.

On dit que la limite de u est 3 et on écrit : lim_n→+∞u_n = 3

--- EXERCICE 9 : Pour tout n on pose ∈ ℕ un=3 n²+5 .

1) Déterminer un entier n0 tel que si n > n0 alors un > 10²⁰ .

2) Montrer que pour tout réel A > 0, il existe un entier n0 tel que si n > n0 alors un > A .

u_n peut être rendu aussi grand que l'on veut, pourvu que n soit assez grand.

On dit que la limite de u est +∞ et on écrit : lim_n→+∞u_n = +∞

--- EXERCICE 10 : Pour tout n on pose ∈ ℕ u_n=−5

√

1) Déterminer un entier n0 tel que si n > n0 alors un < - 10¹⁵.

2) Montrer que pour tout réel A < 0, il existe un entier n0 tel que si n > n0 alors un < A .

u_n peut être rendu aussi petit que l'on veut, pourvu que n soit assez grand.

On dit que la limite de u est −∞ et on écrit : lim_n→+∞u_n = −∞

EXERCICE 11 : compléter les tableaux suivants ( l et l ' désignent deux réels )

Somme de suites :

lim un l l l ∞ –∞ ∞

lim vn l ' ^{∞ –∞} ∞ –∞ –∞

limu_nv_n

Produit de suites :

lim un l L >0 ou ∞ L <0 ou –∞ L >0 ou ∞ l < 0 ou –∞ 0

lim vn l ' ∞ ∞ –∞ –∞ ∞ ou –∞

limu_n. v_n

Quotient de suites

lim un l l 0 l >0 ou

∞

l >0 ou

∞ ∞ L <0 ou

–∞

L <0 ou

–∞ –∞ ∞

lim ^vn l ' ≠ 0 ∞ 0 0 avec

v_n0 0 avec

v_n0 l ' ≠0 0 avec

v_n0 0 avec

v_n0 l ' ≠ 0 ∞

lim u_n v_n

Annexe 1 :

0 1

1

x

y