Analyse I pour Ing´enieurs - Exercices 2006-2007

Analyse I pour Ing´enieurs - Exercices 2006-2007

Joachim STUBBE

20 octobre 2006

Nombres

1.1 Exercices

1. Axiomes. En utilisant les axiomes alg´ebriques d’un corps K montrez l’´el´ement neutre de l’addition 0 est unique.

2. Axiomes. En utilisant les axiomes alg´ebriques pour les nombres r´eels montrez que pour toutx∈Ron a : 0·x= 0 et (−1)·x=−x. En d´eduire que (−1)·(−1) = 1.

3. Axiomes. En utilisant les axiomes d’ordre pour les nombres r´eels et le r´esultat de l’exercice 2 montrez que pour toutx6= 0 on a :x²:=x·x >0, i.e. le carr´e d’un nombre r´eel nonz´ero est positif.

4. La progression g´eom´etrique.Montrez que pour toutx, y∈R et tout entier positifn:

xⁿ−yⁿ = (x−y)·

n−1

X

k=0

x^n−k−1y^k

En d´eduire que la somme d’une progression g´eom´etrique, `a savoir pour tout r´eela6= 1 et tout entier positifn:

n

X

k=0

a^k= 1−aⁿ⁺¹ 1−a . 5. Montrez que pour 2000²⁰⁰⁰−1 est divisible par 1999.

6. In´egalit´e de Young. Montrer que pour tout entier positif n et tout a, b >0 :

b(bⁿ−aⁿ)−naⁿ(b−a)≥0.

En d´eduire pour toutx, y >0l’in´egalit´e de Young : xy≤ xⁿ⁺¹

n+ 1+nyⁿ⁺¹ⁿ n+ 1. 2

CHAPITRE 1. NOMBRES 3

7. Une progression arithm´etrique.Montrez que pour tout entier positif n:

n

X

k=1

k=n(n+ 1)

2 .

8. La somme de carr´es d’entiers. Montrez que pour tout entier positif n:

n

X

k=1

k²= n(n+ 1)(2n+ 1)

6 .

En d´eduire la somme suivante :

1000

X

k=0

(k+ 1)(3k+ 2).

9. La somme altern´ee de carr´es d’entiers.Montrer par r´ecurrence que pour toutn∈N

n

X

k=0

(−1)^n−kk²= n(n+ 1) 2

10. Une in´egalit´e pour le factoriel. Montrez qu’il existen0 ∈ Ntel que pour toutn > n0 :

n!>2ⁿ. Donner le plus petitn0 possible.

11. La somme de cubes d’entiers.Pour tout entier positifndonner

n

X

k=1

k³

Id´ee : Appliquer l’identit´e

n

X

k=1

ak =

n

X

k=1

a_n+1−k

et les r´esultats des exercices 7 et 8.

12. La formule de binˆome de Newton. Soient k, n des entiers tels que 0≤k≤n. On d´efinit le coefficient binomial C_n^k par

C_n^k= n

k

= n!

k!(n−k)!. V´erifiez que pour toutn≥k≥1 :

n+ 1 k

= n

k−1

+ n

k

.

Montrez que pour tout x, y ∈ R et tout entier positif n la formule de binˆome de Newton :

(x+y)ⁿ=

n

X

k=0

n k

x^ky^n−k.

(a) Constater que pour tout entiern >1 : 2ⁿ=

n

X

k=0

n k

(b) Montrez que pour tout entiern >1, l’´equationaⁿ+bⁿ=cⁿ n’admet aucune solution poura, b, c∈Navec 0< a, b < n.

13. Sommes t´el´escopiques I.

Soitf :N→ Rune fonction d´efinie pour tout entier naturel n. Montrer par r´ecurrence la somme t´el´escopique

f(n+ 1)−f(0) =

n

X

k=0

f(k+ 1)−f(k) pour toutn∈N.

(a) En posantf(n) =aⁿpour una∈R,a6= 1 d´emontrer ainsi la formule pour la progression g´eom´etrique (voir l’exercice 4)

(b) Poserf(n) =n²et en d´eduire la formule pour la progression arithm´etique (voir l’exercice 7)

(c) Trouver une formule pour

n

X

k=0

ka^k.

14. Sommes t´el´escopiques II.En posantf(n) = sin((n+a)x) aveca, x∈R choisir a convenablement et donner pour tout x ∈ R la somme trigo- nom´etrique

n

X

k=0

coskx.

15. L’in´egalit´e de Bernoulli.Montrez que pour toutx∈R+et tout entier positifnl’in´egalit´e de Bernoulli :

(1 +x)ⁿ≥1 +nx.

CHAPITRE 1. NOMBRES 5

16. L’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz I.Soientx₁, . . . , x_n∈Rety₁, . . . , y_nR. Montrerl’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, `a savoir

ⁿ X

k=1

x_ky_k ²

≤

n

X

k=1

x²_k

n

X

k=1

y²_k.

En d´eduire que

ⁿ X

k=1

xk

2

≤n

n

X

k=1

x²_k.

Id´ee : Pour montrer l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz noter que ⁿ

X

k=1

xkyk

²

=

n

X

k=1 n

X

l=1

xkykxlyl

et ´ecrirex_ky_kx_ly_lcomme somme et diff´erence des carr´es pour conclure.

17. L’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz II *. Montrer l’in´egalit´e de Cauchy- Schwarz, `a savoir

ⁿ X

k=1

x_ky_k 2

≤

n

X

k=1

x²_k

n

X

k=1

y²_k.

par r´ecurrence.

18. L’in´egalit´e des moyens g´eom´etriques et arithm´etiques I*.Soient x1, . . . , xn∈R+ dont le produit vaut 1. Montrer que

n≤

n

X

k=1

x_k.

19. L’in´egalit´e des moyens g´eom´etriques et arithm´etiques II*.Soient a1>0, . . . , an>0. Montrer que leurmoyenne g´eom´etrique, est inf´erieure

`

a leurmoyenne arithm´etique. Autrement dit, ⁿ

Y

k=1

ak

^1/n

≤ 1 n

n

X

k=1

ak.

20. Un produit fini.Montrez que pour tout entier positifn:

n

Y

k=1

1 + 1 k

^k

= (n+ 1)ⁿ n! . 21. Nombres rationnels et irrationels*

(a) Montrer qu’entre deus irrationnels distincts, il y a une infinit´e de rationnels.

(b) Montrer qu’entre deus rationnels distincts, il y a une infinit´e d’irra- tionnels.

22. Nombres complexes.Soitz=x+iy6=i. Ecrire, en fonction dexet y Re

z² z−i

et im z²

z−i

.

23. Nombres complexes.Soitz=re^iθ=rexp (iθ)6= 0. Ecrire, en fonction der etθ

<

z−1

z

≡Re

z−1 z

et=

z−1

z

≡Im

z−1 z

.

24. Nombres complexes.Soitz=e^iθ. Montrer que pour tout entiern≥1 : zⁿ− 1

zⁿ = 2isinnθ et

zⁿ+ 1

zⁿ = 2 cosnθ.

25. Nombres complexes. Pour le nombre complexe z = 1−i, calculer z,|z|,argz et z⁻¹.

26. Calculer

i+√ 3 2

¹⁹ .

27. Sommes trigonom´etriques. Soitθ6= 2πpavecp∈Z. Pour tout entier n≥1 calculer :

n

X

k=0

e^ikθ. En d´eduire les deux sommes suivantes :

n

X

k=0

sinkθet

n

X

k=0

coskθ.

28. Equations de degr´´ e 2.

(a) R´esoudre z²+z+ 1 = 0.

(b) R´esoudre z²+ 2z+ 5 = 0.

(c) R´esoudre 4z²+ 2z+ 1 = 0.

(d) R´esoudre z²−2iz−3 = 0.

(e) R´esoudre (1 +i)z²+ (−1 + 7i)z−(10−2i) = 0.

CHAPITRE 1. NOMBRES 7

29. Equations de degr´´ e 3.

(a) R´esoudre z³−4z²+ 6z−4 = 0.

(b) R´esoudre 2z³+ 14z²+ 41z+ 68 = 0.

30. Equations alg´´ ebriques.

(a) R´esoudre

z⁶+i= 0 .

(b) V´erifier que 2 +iest une solution de l’´equation z⁴−2z³−z²+ 2z+ 10 = 0.

Trouver les trois autres racines.

(c) R´esoudre l’´equation z³+ (√

3−i)z²+ (1−i√

3)z−i= 0 sachant qu’elle admet une racine qui est imaginaire pure.

(d) R´esoudre z⁴+ 3z²+ 1 = 0.

(e) R´esoudrez⁴+ 1 = 0. `Ecrirez<sup>4</sup>+ 1 comme produit de deux polynˆomes de degr´e 2 `acoefficients r´eels.

31. Point fixe d’une application.Soitf :C−→ C. On appelle p∈Cun point fixe de l’applicationf si p=f(p). Trouver les points fixes de f si f(z) =_z−i^z+i.

32. Equations d’un cercle dans le plan complexe.´ Soit r > 0 tel que r6= 0 etr6= 1. Montrer que pour toutz0∈Cl’ensembleS d´efinie par

S:={z∈C:

z−z0

z =r}

repr´esente un cecle. Donner son centre et son rayon.

33. Image d’un cercle sous une application affine.Soit S :={z ∈C :

|z−(1 + 2i)| = 1}. Soit f : C −→ C l’application affine donne´e par f(z) = (2 + 3i)z+ 4 + 5i. Donner l’ensemblef[S], i.e. l’image du cercleS sousf.

34. Image d’un cercle sous l’application f(z) =¹_z.*Pourz0∈CetR >0 tel que|z0| 6=Rsoit

S_R(z₀) ={z∈C:d(z, z₀) =|z−z₀|=R}.

D´emontrer la proposition suivante : L’image du cercleS_R(z₀) sous l’appli- cationz→ ¹_z est le cercle

S R

|R2−|z0|2|

¯ z₀

|z0|²−R²

Quels cercles sont identiques `a leurs immages sous cette application ?