Devoir de math´ ematiques n o 8 - 1` ereS
8 f´ evrier 2011 - 2H
Exercice 1
(2 points)Soit la fonctionf d´efinie sur R\{1}par :f(x) = x 1−x.
En utilisant le taux de variation def, montrer quef est d´erivable surR\{1}, et d´eterminer sa fonction d´eriv´ee.
Exercice 2
(3 points)Voici la courbe repr´esentativeCf d’une fonction f d´efinie sur [−6; 9] avec quatre de ses tangentes.
Le pointAde coordonn´ees (−2,4; 0), appartient `a la courbeCf
−5 −4 −3 A−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−4
−3
−2
−1 1 2 3 4 5
0
Cf
1. D’apr`es le graphique, donner les valeurs def′(−5),f′(−2),f′(2) etf′(6,5) (justifier).
2. On sait quef′(−3) = 2 ; tracerT−3, tangente `a la courbeCf au point d’abscisse−3.
3. R´esoudre graphiquement sur [−6; 9] : a)f(x)>0 b)f′(x)>0
Exercice 3
(3,5 points)ABC est un triangle rectangle enAavecAB= 3,AC= 4 etBC= 5 ; M est un point de [BC] tel queBM=x(06x65).
Le but est de savoir comment placerM pour que l’aire du quadrilat`ereAP M Qsoit maximale.
1. ExprimerP M etM Qen fonction de x.
2. Justifier que l’aire deAP M Qs’´ecritf(x) = 12
25x(5−x).
3. Etudier f sur [0; 5] et r´epondre au probl`eme pos´e.
1
Exercice 4
(11,5 points) Soientf et gles fonctions d´efinies respectivement surRet surR\{1}par :f(x) = 2x3−3x2−2x+ 3 g(x) = 2x2−x−3 x−1 On noteCf et Cg leurs courbes repr´esentatives dans un rep`ere orthonomal (O;−→
i ,−→ j ) .
1`ere Partie : Etude de la fonction f 1. D´eterminer les limites de la fonctionf.
2. Calculerf′ la fonction d´eriv´ee de f, puis dresser le tableau de variations def.
2`eme Partie : Etude de la fonction g
1. D´eterminer les limites de la fonctiong et interpr´eter graphiquement.
2. (a) D´eterminer les r´eelsa, betc tels que
g(x) =ax+b+ c x−1 (b) En d´eduire que la droiteD d’´equationy=ax+b est asymptote `aCg;
d´eterminer la position relative deD et Cg.
3. Calculerg′ la fonction d´eriv´ee deg, puis dresser le tableau de variations deg.
3`eme Partie :
1. (a) V´erifier quef(x) =g(x)⇐⇒x(x+ 1)(x−2)(2x−3) = 0
(b) En d´eduire les coordonn´ees de tous les points d’intersection deCf etCg. 2. (a) D´eterminer l’´equation de la droite (T), tangente `a Cf au point d’abscisse−1
2. (b) En quels pointsCg admet-elle une tangente parall`ele `a (T) ?
3. Construire les courbesCf etCg dans le rep`ere ci-joint.
O J
I
2
