2G Vecteurs (résultats finaux des exercices) 1
EXERCICE 03
u 4 2
1
v 3
3
w 2
2
p 0
1
q 1
0
r 3
1
s 4
3
t 1
EXERCICE 04
EXERCICE 05 4 AB 2
1
2 AC 1
3
2 BC 3
2
5 BD 5
2
3 CD 2
4
1 DA 3
1
5 DB 5
2
2 CB 3
2
EXERCICE 06 a) u 2AB 4CD
4 3 0 7 7 7 14 28 42
1 2 1 0 1 1 2 4 6
2 4 2 4
0 5 1 3 5 2 10 8 2
v AC BD
7 3 0 4 4 4 0
0 2 1 1 2 2 0
3 5 1 0 8 1 7
w 3BC 2AD
7 4 0 3 11 3 33 6 39
0 1 1 2 1 3 3 6 3
3 2 3 2
3 0 1 5 3 6 9 12 3
b)
E E E
x 4 y 1 BE
z 0
et
0 3 3
1 2 3
AD AD
1 5 6
E E
E E
E E
x 4 3 x 7
y 1 3 y 2
BE AD
z 0 6 z 6
donc E(−7 ; −2 ; −6)
7 3 4
0 2 2
AC AC
3 5 8
F F F
x 0 y 1 DF
z 1
F F F F F
F F F F F
F F F F F
4 x 0 0 4 2x 0 4 2x 0 2x 4 x 2
2 y 1 2 2(y 1) 0 2 2y 2 0 2y 0 y 0
AC 2DF 0 2 0
8 z 1 0 8 2(z 1) 0 8 2z 2 0 2z 6 z 3
donc F(‐2 ; 0 ; 3)
2G Vecteurs (résultats finaux des exercices) 2
EXERCICE 07 a) u
etv
sont colinéaires ( k ) u kv
3 6
1 k 2
2 4
3 6k 1 2k 2 4k
1 2 1 2 1 2
k k k
donc uetv
ne sont pas colinéaires.
b) u etw
sont colinéaires ( k ) u kw
3 2
1 k x
2 y
3 2k
1 xk 2 yk
3 2 1 x 2 y
k (1)
k (2)
k (3)
(1) dans (2) : 1 3 x 2
3x = −2 x 2
3 (1) dans (3) : 2 3
y2 3y = 4 4 y3
donc 23
4 3
2 w
c) AB
et CD
sont colinéaires ( k ) AB kCD
4 5 2 1
4 1 k 1
4 2 3 1
9 3k 3 1k 6 2k
k 3
k 3
k 3
donc AB
et CD
ne sont pas colinéaires.
d) BC
etED
sont colinéaires ( k ) BC kED
1 4 2 a
0 4 k 1 b
1 4 3 6
3 k(2 a) 4 k( 1 b) 5 9k
3 2 a
4 1 b 5 9
k (1)
k (2)
k (3)
(3) dans (1) : 3 5 2 a9
5(2 − a) = 27 10 − 5a = 27 5a = −17 17 a 5 (3) dans (2) : 4 5
1 b 9
5(−1 –b) = −36 −5 – 5b = −36 5b = 31 31 b 5 donc E(175 ;315 ; 6)
EXERCICE 08
a) AB =
2 1
2 1 3
2 0 2
2 12 ( 4)222 1 16 4 21AC =
6 1
2 3 3
2 1 2
2 52 ( 6)212 25 36 1 62BC =
6 2
2 3 1
2 1 0
2 42 22 ( 1)2 16 4 1 21donc AB = BC et le triangle est isocèle de sommet principal B. Il n’est pas équilatéral.
b) DE =
3 1
2 6 3
2 2 1
2 2232 ( 1)2 4 9 1 14EF =
0 3
2 4 6
2 0 2
2 ( 3)2 ( 2)222 9 4 4 17 DF =
0 1
2 4 3
2 0 1
2 ( 1)2 12 12 1 1 1 3on remarque que EF2 = DE2 + DF2, donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle DEF est rectangle en D.
2G Vecteurs (résultats finaux des exercices) 3
3 1
(3) dans (1):
x 2 4
x 2 12 x 14
2 1
(3) dans (2):
2 y 4
2 y 8
y 6
donc F( 2; 6;1) et G( 14;2; 3).
EXERCICE 09
a) A, B et C sont alignés b) A, D et E sont alignés c) (CD) et (EB) sont parallèles
1 2 1 2 1 2
AB et AC sont colinéaires ( k ) AB kAC
1 4 2 4
1 1 k 3 1 3 2 4 2 3 6k
2 4k 1 2k k k k
1 8
1 2
AD et AE sont colinéaires ( k ) AD kAE
5 4 4 4
6 1 k 0 1
1 2 4 2
1 8k 5 k
1 2k k k 5 k
7 5
1 3
CD et EB sont colinéaires ( k ) CD kEB
5 2 1 4
6 3 k 1 0
1 4 3 4
7 5k 9 k
3 k k k 9 k
Donc A, B et C sont alignés. Donc A, D et F ne sont pas alignés. Donc (CD) et (EB) pas parallèles.
d) (AB) et (DE) sont parallèles e) (AB) et (FG) sont parallèles
1 3 1 3 1 3
AB et DE sont colinéaires ( k ) AB kDE
1 4 4 5
1 1 k 0 6
3 2 4 1
3 9k 2 6k 1 3k k k k
3 x 2
2 2 y 1 4
AB et DE sont colinéaires ( k ) AB kFG
1 4 x 2
1 1 k 2 y
3 2 3 1
3 k(x 2) 2 k(2 y) 1 4k
k (1)
k (2)
k (3)
Donc (AB) et (DE) sont parallèles.
EXERCICE 10
1° ABCD est un parallélogramme
D D
D
D D
D
D D
D
7 2 x x 9
4 3 2 x
1 1 y y 0
AB DC 1 2 1 y
4 2 z z 2
3 1 2 z
donc D(9 ; 0 ; −2).
2° EFGH est un parallélogramme
5 3
3 2 0 3 non!
EF HG 4 1 4 3 5 1 non!
3 6
6 3 8 2 non!
donc EFGH n’est pas un parallélogramme.
3° a) 2 3 1 4 3 6 1 3 9
I ; ; I ; ;
2 2 2 2 2 2
, J 3 0; 4 4 6 8; J 3;0;7
2 2 2 2
0 3 4 3 8 2 3 7
K ; ; K ; ;5
2 2 2 2 2
et 3 2 3 1 2 3 1 5
L ; ; L ;2;
2 2 2 2 2
2G Vecteurs (résultats finaux des exercices) 4
b) IJKL est un parallélogramme
3 1 3 1
1 1 oui!
2 2 2 2
3 3
3 7 oui!
IJ LK 0 2 2 2 2 2
5 5
9 5 oui!
7 2 5 2 2 2
donc IJKL est un parallélogramme.
c) (IJ) et (EG) sont parallèles
1 2
3 3 1
2 2 2
5 5 1
2
2 2
IJ et EG sont colinéaires ( k ) IJ kEG
k
1 0 2 1 2k
k 4 1 3k k
8 3 5k k
donc (IJ) et (EG) sont parallèles.
EXERCICE 299
N.B. : Changer l’énoncé en « Démontre que ABDC est un parallélogramme. » ABDC est un parallélogramme
2 2
1 3 2 4 oui!
5 5
AB CD 3 2 4 1 oui!
2 2
2 4 4 2 oui!
EXERCICE 301 1) AB CD
:
4 3 3 3 7 6 13
0 2 4 1 2 5 7
2 4 1 2 6 1 7
2) AC 2AD
:
3 3 3 3 0 12 12
1 2 2 4 2 1 12 11
2 4 1 4 2 6 4
3) 2AB 1CD
3
:
14 2 16
4 3 3 3
1 5 17
2 0 2 1 4 4
3 3 3
2 4 2 1 1 37
12 3 3
4) 1(BC DB) 3(2DC) 1BC 1DB 3DC 2 2 22
: 7 1
18 14
2 2
3 4 4 3 3 3
1 1 1 33
1 0 0 4 3 1 4 2 15
2 2 2 2
2 2 2 1 2 1 3 1
2 3
2 2
EXERCICE 302
1) M, N et P sont alignés
1 6 1 3 1 3
MN et MP sont colinéaires
1 3 9 3 2 12k k
( k ) MN kMP 3 2 k 13 2 5 15k k
2 4 2 4 2 6k k
donc M, N et P ne sont pas alignés.
2G Vecteurs (résultats finaux des exercices) 5
2) M, N et P sont alignés
3 8 1 3 3 8
MN et MP sont colinéaires
1 5 11 5 6 16k k
( k ) MN kMP 0 2 k 4 2 2 6k k
2 4 12 4 6 16k k
donc M, N et P ne sont pas alignés.
EXERCICE 303
1 2 a 1 4
1 2
AB et CD sont colinéaires
3 6 3 6k k (1)
( k ) AB kCD a 1 k 4 a 1 4k k (2)
6 12 6 12k k (3)
(1) dans (2) : 1 a 1 4 2(a 1) 4 2a 2 a 1
2 4
EXERCICE 304
2 0 1 1 3 2 1
M ; ; M 1;1;
2 2 2 2
, 3 4 0 4 2 5 1 7
P ; ; P ; 2;
2 2 2 2 2
longueur du segment [MP] = MP = 1 1 2
2 1
2 7 1 2 9 9 9 9 36 36 81 92 2 2 4 4 4 2
EXERCICE 310
6 b 1 b 5
2 4 b 1
1 a 2 a 1
AB CD 1 a 3 1
c 5 8 c 3
c 5 10 2
EXERCICE 316
M M
M M
M M
M
M M M
M M M M
M M M
M
MK 2LM 3KL
3 x x 1 1 3
2 y 2 y 3 3 3 2
1 z z 2 2 1
x 1 3 x 2x 2 6 3x 1 3
2 y 2y 6 15 3y 19 y 19
1 z 2z 4 9 3z 12 z 34
Donc M( 1 19; ; 4)
3 3