Corrigé exercices Espace

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1 sur 3 Ex 1. Vu au brevet.

Samia vit dans un

appartement dont la surface au sol est de 35 m².

Elle le compare avec une yourte, l’habitat traditionnel mongol.

1. Montrer que l’appartement de Samia offre une plus petite surface au sol que celle de la yourte.

𝑆𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 = 35 𝑚² 𝑆_{𝑦𝑜𝑢𝑟𝑡𝑒} = 𝜋𝑟² = 𝜋 × (7

2)

2

= 𝜋 × 3,5² = 12,25𝜋 ≈ 38 𝑚² La surface de la yourte est plus grande que la surface de l’appartement de Samia (38 m² > 35 m²).

2. Calculer le volume de la yourte en m3.

𝑉_{𝑦𝑜𝑢𝑟𝑡𝑒} = 𝑉_{𝑐𝑦𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑒}+ 𝑉_{𝑐ô𝑛𝑒}

= 𝐴_{𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑐𝑦}× ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑐𝑦 +𝐴_{𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑐ô}× ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑐ô 3

= 12,25𝜋 × 2,5 +12,25𝜋 × (4,5 − 2,5) 3

= 30,625𝜋 +24,5𝜋 3 ≈ 122 𝑚³

3. Samia réalise une maquette de cette yourte à l’échelle 1/25. Quelle est la hauteur de la maquette ?

échelle hauteur yourte

𝐻_{𝑚𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑡𝑒} = 4,5 × 1

25= 0,18 𝑚 = 18 𝑐𝑚

maquette 1 ?

réel 25 4,5

La maquette de la yourte sera haute de 18 cm.

Ex 2. Vu au brevet. Dans une station de ski, les responsables doivent enneiger la piste de slalom avec de la neige artificielle. La neige artificielle est produite à l’aide de canons à neige. La piste est modélisée par un rectangle dont la largeur est 25m et la longueur est 480 m. Chaque canon à neige utilise 1 m³ d’eau pour produire 2 m³ de neige. Débit de production de neige : 30 m³ par heure et par canon. Pour préparer correctement la piste de slalom, on souhaite produire une couche de neige artificielle de 40 cm d’épaisseur. Sur cette piste de ski, il y a 7 canons à neige qui produisent tous le même volume de neige.

Déterminer la durée nécessaire de fonctionnement des canons à neige pour produire le volume de neige souhaité. Donner le résultat à l’heure près.

1. Calcul du volume de neige à produire :

𝑉_{𝑛𝑒𝑖𝑔𝑒} = 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 × 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑒𝑢𝑟 × ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟 Epaisseur (= hauteur) = 40 cm = 0,4 m 𝑉_{𝑛𝑒𝑖𝑔𝑒} = 480 × 25 × 0,4

𝑉_{𝑛𝑒𝑖𝑔𝑒} = 4 800 𝑚³

Il faut produire 4 800 m³ de neige.

2 sur 3 2. Calcul du volume d’eau utilisé pour produire 4 800 m³ de neige :

𝑉_{𝑛𝑒𝑖𝑔𝑒} 2 𝑚³ 4 800 𝑚³

𝑉_𝑒𝑎𝑢 =4 800 × 1

2 = 2 400 𝑚³

𝑉_𝑒𝑎𝑢 1 𝑚³ ?

Il faut utiliser 2 400 m³ d’eau pour cela.

3. Un canon à neige produit 30 m³ de neige en une heure.

Sept canons à neige produisent donc 30 × 7 = 210 m³ de neige en une heure.

Calcul de la durée nécessaire pour avoir les 4 800 m³ de neige souhaités : 4 800

210 ≈ 22,9

Il faut environ 23 heures de fonctionnement pour produire la neige souhaitée.

Ex 7. Vu au brevet.

Antoine met 150 billes dans le vase.

Peut-il ajouter un litre d’eau colorée sans risque le

débordement ?

Calcul du volume intérieur du vase :

𝑉𝑣𝑎𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑡é𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑡é𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟𝑒× ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟_{𝑖𝑛𝑡é𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟𝑒}

𝑉𝑣𝑎𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑡é𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟 = 𝑐ô𝑡é_{𝑖𝑛𝑡é𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟}× 𝑐ô𝑡é_{𝑖𝑛𝑡é𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟}× ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟_{𝑖𝑛𝑡é𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟𝑒} 𝑉𝑣𝑎𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑡é𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟 = (9 − 2 × 0,2) × (9 − 2 × 0,2) × (21,7 − 1,7) 𝑉𝑣𝑎𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑡é𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟 = 8,6 × 8,6 × 20

𝑉𝑣𝑎𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑡é𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟 = 1 479,2 𝑐𝑚³

Calcul du volume d’une bille : 𝑉_{𝑏𝑖𝑙𝑙𝑒} =4

3𝜋𝑟³ 𝑉_{𝑏𝑖𝑙𝑙𝑒} =4

3× 𝜋 × (1,8 2 )

3

𝑉_{𝑏𝑖𝑙𝑙𝑒} =4

3× 𝜋 × 0,9³ 𝑉_{𝑏𝑖𝑙𝑙𝑒} ≈ 3,05 𝑐𝑚³

Calcul du volume de 150 billes : 𝑉_{150 𝑏𝑖𝑙𝑙𝑒𝑠} ≈ 150 × 3,05 ≈ 457,5 𝑐𝑚³

Calcul du volume restant dans le vase une fois les 150 billes installées : ( 𝑟𝑎𝑝𝑝𝑒𝑙 ∶ 1 𝑑𝑚³ = 1 𝐿 ) 𝑉_{𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡} = 𝑉𝑣𝑎𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑡é𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟− 𝑉_{150 𝑏𝑖𝑙𝑙𝑒𝑠} ≈ 1 479,2 − 457,5 ≈ 1 021,7 𝑐𝑚³ ≈ 1,0217 𝑑𝑚³ ≈ 1,0217 𝐿 Oui, Antoine peut ajouter un litre d’eau sans risque de débordement.

3 sur 3 Ex 10. ABCDEFGH est un cube de

côté 3 cm.

1.a. Quelle est la nature du triangle ABD ? Expliquer.

ABCD étant un carré de côté 3 cm,

le triangle ABD est donc rectangle et isocèle en A, avec 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 = 3 𝑐𝑚

b. Dessiner la face ABCD en vraie grandeur.

2.a. En déduire la valeur exacte de DB.

Dans le triangle ABD rectangle en A, d’après le théorème de Pythagore :

𝐵𝐷² = 𝐵𝐴² + 𝐴𝐷² 𝐵𝐷² = 3² + 3² 𝐵𝐷² = 9 + 9 = 18 𝐵𝐷 = √18 𝑐𝑚

b. Donner l’arrondi au millimètre de DB.

𝐵𝐷 ≈ 4,2 𝑐𝑚

3.a. Quelle est la nature du quadrilatère EDBG ? EDBG est un rectangle de largeur 𝐷𝐸 = 𝐺𝐵 = 3 𝑐𝑚 et de longueur 𝐸𝐺 = 𝐷𝐵 = √18 𝑐𝑚 ≈ 4,2 𝑐𝑚.

b. Dessiner EDBG en vraie grandeur.

4.a. Quelle est la nature du

triangle DBG ?

Le triangle DBG est un triangle rectangle en B, avec 𝐺𝐵 = 3 𝑐𝑚 et 𝐷𝐵 = √18 𝑐𝑚 ≈ 4,2 𝑐𝑚.

b. En déduire l’arrondi au millimètre de DG.

Dans le triangle DBG rectangle en B, d’après le théorème de Pythagore :

𝐷𝐺² = 𝐷𝐵²+ 𝐵𝐺² 𝐷𝐺² = (√18)²+ 3² 𝐷𝐺² = 18 + 9 = 27 𝐷𝐺 = √27 𝑐𝑚 𝐷𝐺 ≈ 5,2 𝑐𝑚

A

3 cm 3 cm

D C

B

D

3 cm 4,2 cm

E G

B