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q✉❛♥t✐q✉❡ ~2 ∂2 ∂x2Ψ(x, ~) = (x2− c2)Ψ(x, ~) ♣♦✉r ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞✬♦♥❞❡ Ψ(x, ~)✳ ◆♦✉s ❛✈♦♥s ❛♣♣❡❧é ♥♦tr❡ ❝♦✉r❜❡ ❧❛ ❝♦✉r❜❡ ❞✬♦s❝✐❧❧❛t❡✉r ❤❛r♠♦♥✐q✉❡✳ ◆♦✉s ❛✈♦♥s ❞é♠♦♥tré ❧❛ ❝♦♥❥❡❝✲ t✉r❡ ❡①♣❧✐❝✐t❡♠❡♥t ❞❛♥s ❝❡ ❝❛s ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r✳ ■❧ s✬❡st ❛✈éré ♣❛r ❧❛ s✉✐t❡ q✉❡ ❧❛ ré❝✉rs✐♦♥ t♦♣♦❧♦❣✐q✉❡ s✉r ♥♦tr❡ ❝♦✉r❜❡ ❡st éq✉✐✈❛❧❡♥t❡ à ❧❛ ré❝✉rs✐♦♥ s✉r ✉♥❡ ❛✉tr❡ ❝♦✉r❜❡ ♣♦✉r ❧❛q✉❡❧❧❡ ❧❡ rés✉❧t❛t ❛✈❛✐t ❞é❥à été ❞é♠♦♥tré✳ ✺
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❙✉r❢❛❝❡s ❞❡ ❘✐❡♠❛♥♥ ❝♦♠♣❛❝t❡s
✶✳✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥
❉❛♥s ❝❡ ❝❤❛♣✐tr❡✱ ❜❛sé s✉r ❬✼❪✱ ❬✹✻❪✱ ❬✹✶❪✱ ❬✶✾❪✱ ❬✸✻❪✱ ♥♦✉s é♥♦♥ç♦♥s q✉❡❧q✉❡s t❤é♦rè♠❡s ♣r✐♥❝✐♣❛✉① ❞❡ ❧❛ t❤é♦r✐❡ ❞❡s s✉r❢❛❝❡s ❞❡ ❘✐❡♠❛♥♥ q✉❡ ♥♦✉s ✉t✐❧✐s❡r♦♥s ❞❛♥s ♥♦tr❡ tr❛✈❛✐❧✳ ❉é✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✶ ❯♥❡ s✉r❢❛❝❡ ❞❡ ❘✐❡♠❛♥♥ ❡st ✉♥ ❡s♣❛❝❡ t♦♣♦❧♦❣✐q✉❡ ❞❡ ❍❛✉s❞♦r✛ ❝♦♥♥❡①❡ ❛✈❡❝ ✉♥ r❡❝♦✉✈r❡♠❡♥t ❞✬♦✉✈❡rts {Uα} ❡t ✉♥❡ ❢❛♠✐❧❧❡ ❞❡ ❢♦♥❝t✐♦♥s zα : Uα → C✱ t❡❧❧❡ q✉❡ ✿ (1) ❈❤❛q✉❡ zα ❡st ✉♥ ❤♦♠é♦♠♦r♣❤✐s♠❡ ❡♥tr❡ Uα ❡t ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ♦✉✈❡rt zα(Uα)❀ (2) ❈❤❛q✉❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ zβ ◦ zα−1 ❡st ❤♦❧♦♠♦r♣❤❡ ❞❛♥s zα(Uα∩ Uβ)✱ s✐ Uα∩ Uβ 6= ∅✳ ❉é✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✷ ❯♥ ❡s♣❛❝❡ t♦♣♦❧♦❣✐q✉❡ ✈ér✐✜❛♥t ❧❛ ❉é✜♥✐t✐♦♥✶✳✶ s❛✉❢ ❧❛ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ (2) ❡st ❞✐t ✉♥❡ s✉r❢❛❝❡✳ ▲❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s zα s♦♥t ❛♣♣❡❧é❡s ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s ❧♦❝❛❧❡s✱ ❧❛ ♣❛✐r❡ (Uα, zα) ❡st ❞✐t❡ ✉♥❡ ❝❛rt❡ ❧♦❝❛❧❡ ❡t ❧❛ ❢❛♠✐❧❧❡ {(Uα, zα)} ❡st ❞✐t❡ ✉♥ ❛t❧❛s✳ ❙♦✐❡♥t ❞♦♥♥é❡s ❞❡✉① ❝❛rt❡s ❞✐✛ér❡♥t❡s ✻(Uα, zα)❡t (Uβ, zβ)✱ ♥♦t♦♥s φαβ = zβ ◦ zα−1 : zα(Uα∩ Uβ)→ zβ(Uα∩ Uβ) ✭✶✳✶✳✶✮ ❧❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s ❞❡ tr❛♥s✐t✐♦♥✳ ▲❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s ❞❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ♥♦✉s ♣❡r♠❡tt❡♥t ❞✬❛❧❧❡r ❞✬✉♥❡ ❝❛rt❡ à ✉♥❡ ❛✉tr❡✳ ❙❡❧♦♥ ❧❛ ❞é✜♥✐t✐♦♥ ❞✬✉♥❡ s✉r❢❛❝❡ ❞❡ ❘✐❡♠❛♥♥ ♥♦✉s ❡①✐❣❡♦♥s q✉✬❡❧❧❡s s♦✐❡♥t ❤♦❧♦♠♦r♣❤❡s✳ ❉❡✉① ❛t❧❛s {(Uα, zα)}✱ {(Uβ, zβ)} ❞é✜♥✐s s✉r ❧❛ ♠ê♠❡ s✉r❢❛❝❡ L s♦♥t ❞✐ts ❝♦♠♣❛t✐❜❧❡s s✐ {(Uα, zα)} ∪ {(Uβ, zβ)} ❡st ✉♥ ❛t❧❛s s✉r L✳ ▲❛ r❡❧❛t✐♦♥ ❞❡ ❝♦♠♣❛t✐❜✐❧✐té ❞é✜♥✐t ✉♥❡ r❡❧❛t✐♦♥ ❞✬éq✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ❞❛♥s ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞✬❛t❧❛s ❤♦❧♦♠♦r♣❤❡s ❞❡ L✳ ▲❛ ❝❧❛ss❡ ❞✬éq✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ❞✬✉♥ ❛t❧❛s ❡st ❞✐t❡ ✉♥❡ str✉❝t✉r❡ ❝♦♠♣❧❡①❡ s✉r L✳ ❆✉tr❡♠❡♥t ❞✐t✱ ❧❡s s✉r❢❛❝❡s ❞❡ ❘✐❡♠❛♥♥ s♦♥t ❞❡s s✉r❢❛❝❡s ♠✉♥✐❡s ❞✬✉♥❡ str✉❝t✉r❡ ❝♦♠♣❧❡①❡✳ ❊①❡♠♣❧❡ ✶ ▲❡ ♣❧❛♥ ❝♦♠♣❧❡①❡ ❀ ❧❡s s♦✉s✲❡♥s❡♠❜❧❡s ♦✉✈❡rts ❞✉ ♣❧❛♥ ❝♦♠♣❧❡①❡ ❀ ❧❛ s♣❤èr❡ ❞❡ ❘✐❡♠❛♥♥✱ q✉❡ ♥♦✉s ♣♦✉✈♦♥s ✐❞❡♥t✐✜❡r ❛✈❡❝ ❧❡ ♣❧❛♥ ❝♦♠♣❧❡①❡ ❝♦♠♣❛❝t✐✜é ♣❛r ❧✬❛❥♦✉t ❞✬✉♥ ♣♦✐♥t à ❧✬✐♥✜♥✐ ✿ CP1 := C∪ {∞} ❡t ❝❛rt❡s φ 1(z) = z ♣♦✉r z 6= ∞ ❡t φ2(z) = 1z ♣♦✉r z 6= 0✳
✶✳✷ ❈♦✉r❜❡s ❛❧❣é❜r✐q✉❡s ♥♦♥ s✐♥❣✉❧✐èr❡s
❉é✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✸ ❯♥❡ ❝♦✉r❜❡ ❛❧❣é❜r✐q✉❡ C ❡st ✉♥ s♦✉s✲❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡ C2 C =(µ, λ)∈ C2|P(µ, λ) = 0 , ♦ù P(µ, λ) ❡st ✉♥ ♣♦❧②♥ô♠❡ ✐rré❞✉❝t✐❜❧❡ ❡♥ µ ❡t λ P(µ, λ) = N X i=0 N X j=0 pijµiλj. ▲❛ ❝♦✉r❜❡ C ❡st ❞✐t❡ ♥♦♥ s✐♥❣✉❧✐èr❡ s✐ ❣r❛❞CP|P=0= ∂P ∂µ, ∂P ∂λ |P(µ,λ)=0 6= 0. ✼❉é✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✹ ▲❡ ❞❡❣ré ❞ ❞❡ ❧❛ ❝♦✉r❜❡ C ❡st ❧❡ ❞❡❣ré ❞✉ ♣♦❧②♥ô♠❡ P(µ, λ)✳ ❙✉r ✉♥❡ ❝♦✉r❜❡ ❛❧❣é❜r✐q✉❡ ♥♦♥ s✐♥❣✉❧✐èr❡ C✱ ♥♦✉s ♣♦✉✈♦♥s ✐♥tr♦❞✉✐r❡ ✉♥❡ str✉❝t✉r❡ ❝♦♠✲ ♣❧❡①❡✱ ❝✬❡st✲à ❞✐r❡✱ ❧❛ ✈♦✐r ❝♦♠♠❡ ✉♥❡ s✉r❢❛❝❡ ❞❡ ❘✐❡♠❛♥♥✱ ❞❡ ❧❛ ❢❛ç♦♥ s✉✐✈❛♥t❡ ✿ ✶✳ ❙♦✐t (z1, z2) ∈ C t❡❧ q✉❡ ∂z2P(z1, z2) 6= 0✳ ❉✬❛♣rès ❧❡ t❤é♦rè♠❡ ❞❡ ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ✐♠♣❧✐❝✐t❡✱ ✐❧ ❡①✐st❡ ❞❡s ✈♦✐s✐♥❛❣❡s U1 ∋ z1✱ U2 ∋ z2 ❡t ✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❤♦❧♦♠♦r♣❤❡ f1 : U1 → U2 t❡❧❧❡ q✉❡ C ∩ (U1× U2) = {(z, f1(z))|z ∈ U1} . ▲❛ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ s✉r ❧❛ ♣r❡♠✐èr❡ ❝♦♠♣♦s❛♥t❡ π1(z, f (z)) = z ❞♦♥♥❡ ✉♥ ❤♦♠é♦♠♦r✲ ♣❤✐s♠❡ ❡♥tr❡ C ∩ (U1× U2) ❡t U1✳ ✷✳ ❙♦✐t (z1, z2) ∈ C t❡❧ q✉❡ ∂z1P((z1, z2)) 6= 0✳ ❉✬❛♣rès ❧❡ t❤é♦rè♠❡ ❞❡ ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ✐♠♣❧✐❝✐t❡✱ ✐❧ ❡①✐st❡ ❞❡s ✈♦✐s✐♥❛❣❡s U1 ∋ z1✱ U2 ∋ z2 ❡t ✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❤♦❧♦♠♦r♣❤❡ f2 : U2 → U1 t❡❧❧❡ q✉❡ C ∩ (U1× U2) = {(f2(z), z)|z ∈ U2} . ▲❛ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ s✉r ❧❛ ❞❡✉①✐è♠❡ ❝♦♠♣♦s❛♥t❡ π2(f (z), z) = z ❞♦♥♥❡ ✉♥ ❤♦♠é♦♠♦r✲ ♣❤✐s♠❡ ❡♥tr❡ C ∩ (U1× U2) ❡t U2✳ ❙✉♣♣♦s♦♥s ✉♥ ♣♦✐♥t (z1, z2) t❡❧ q✉❡ ∂z1P(z1, z2) 6= 0 ❡t ∂z2P(z1, z2)6= 0 ❛❧♦rs ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ❞é✜♥✐❡ ♣♦✉r z ∈ U1 ❡st ❞♦♥♥é❡ ♣❛r π2◦ π1−1(z) = π2(z, f1(z)) = f1(z), q✉✐ ❡st ❤♦❧♦♠♦r♣❤❡ ❞✬❛♣rès ❧❡ t❤é♦rè♠❡ ❞❡ ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ✐♠♣❧✐❝✐t❡✳ ❉❡ ❝❡tt❡ ❢❛ç♦♥ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ♠✉♥✐ ❧❛ ❝♦✉r❜❡ ❛❧❣é❜r✐q✉❡ C ❞✬✉♥ ❛t❧❛s ❤♦❧♦♠♦r♣❤❡✳ ✽
❊①❡♠♣❧❡ ✷ ❙♦✐t n ∈ N t❡❧ q✉❡ n ≥ 3. ▲✬éq✉❛t✐♦♥ µ2 = n Y j=1 (λ− λj), ✭✶✳✷✳✶✮ ♦ù λj ∈ C ❞é❝r✐t ✉♥❡ ❝♦✉r❜❡ ❛❧❣é❜r✐q✉❡ ♥♦♥ s✐♥❣✉❧✐èr❡ C s✐ λi 6= λi ♣♦✉r i 6= j ❀ ❝❡tt❡ ❝♦✉r❜❡ ❡st ❛♣♣❡❧é❡ ❤②♣❡r❡❧❧✐♣t✐q✉❡✳ • ▲❡ ♣❛r❛♠ètr❡ ❧♦❝❛❧ ❞❛♥s ✉♥ ✈♦✐s✐♥❛❣❡ ❞✬✉♥ ♣♦✐♥t (µ0, λ0) ❛✈❡❝ λ0 6= λj ❡st ❞♦♥♥é ♣❛r ❧✬❤♦♠é♦♠♦r♣❤✐s♠❡ (µ, λ) → λ✳ • ▲❡ ♣❛r❛♠ètr❡ ❧♦❝❛❧ ❞❛♥s ✉♥ ✈♦✐s✐♥❛❣❡ ❞❡ ❝❤❛q✉❡ ♣♦✐♥t (0, λj) ❡st ❞é✜♥✐ ♣❛r ❧✬❤♦✲ ♠é♦♠♦r♣❤✐s♠❡ (µ, λ) →pλ− λj✳ • ❙✐ n ❡st ✐♠♣❛✐r✱ ˆC = C∪{∞} ❡st ✉♥❡ s✉r❢❛❝❡ ❞❡ ❘✐❡♠❛♥♥ ❝♦♠♣❛❝t❡ ♦ù ❧❡ ♣❛r❛♠ètr❡ ❧♦❝❛❧ ❛✉t♦✉r ❞✉ ♣♦✐♥t à ❧✬✐♥✜♥✐ ∞ ❡st ❞♦♥♥é ♣❛r (µ, λ) → λ−12✳ • ❙✐ n ❡st ♣❛✐r✱ ˆC = C ∪ {∞+,∞−} ❡st ✉♥❡ s✉r❢❛❝❡ ❞❡ ❘✐❡♠❛♥♥ ❝♦♠♣❛❝t❡ ♦ù ❧❡ ♣❛r❛♠ètr❡ ❧♦❝❛❧ ❛✉t♦✉r ❞❡s ♣♦✐♥ts à ❧✬✐♥✜♥✐ ∞± ❡st ❞♦♥♥é ♣❛r (µ, λ) → λ−1✳ ▲❡ t❤é♦rè♠❡ s✉✐✈❛♥t ♥♦✉s ❞♦♥♥❡ ✉♥❡ ❝❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥ t♦♣♦❧♦❣✐q✉❡ ❞❡s s✉r❢❛❝❡s ❞❡ ❘✐❡♠❛♥♥ ❜❛sé❡ s✉r ❧❡✉r ❣❡♥r❡ ✿ ❚❤é♦rè♠❡ ✶✳✺ ❚♦✉t❡ s✉r❢❛❝❡ ❞❡ ❘✐❡♠❛♥♥ ❝♦♠♣❛❝t❡ ❡t ❝♦♥♥❡①❡ ❡st ❤♦♠é♦♠♦r♣❤❡ à ✉♥❡ s♣❤èr❡ ❛✈❡❝ ❞❡s ❛♥s❡s✳ ▲❡ ♥♦♠❜r❡ ♥❛t✉r❡❧ g ❞✬❛♥s❡s ❡st ❛♣♣❡❧é ❧❡ ❣❡♥r❡ ❞❡ ❧❛ s✉r❢❛❝❡ ❞❡ ❘✐❡♠❛♥♥✳ P❛r ❡①❡♠♣❧❡✱ t♦✉t❡ s✉r❢❛❝❡ ❞❡ ❣❡♥r❡ ③ér♦ ❡st t♦♣♦❧♦❣✐q✉❡♠❡♥t ✉♥❡ s♣❤èr❡ S2✳ ❯♥❡ s✉r❢❛❝❡ ❞❡ ❣❡♥r❡ g ♣❡✉t êtr❡ ✐❞❡♥t✐✜é❡ t♦♣♦❧♦❣✐q✉❡♠❡♥t ❛✈❡❝ ✉♥ ♣♦❧②❣♦♥❡ à 4g ❛rêt❡s ♦ù ❧❡s ❛rêt❡s s♦♥t ✐❞❡♥t✐✜é❡s ❞❡✉① à ❞❡✉① ❞✬✉♥❡ ❢❛ç♦♥ ❛♣♣r♦♣r✐é❡✳ ❊①❡♠♣❧❡ ✸ ▲❡ ❣❡♥r❡ ❞❡ ❧❛ ❝♦♠♣❛❝t✐✜❝❛t✐♦♥ ˆC ❞❡ ❧❛ ❝♦✉r❜❡ ❤②♣❡r❡❧❧✐♣t✐q✉❡ ✭✷✮ ❛✈❡❝ n = 2g + 1 ♦✉ n = 2g + 2 ❡st é❣❛❧ à g✳ ✾
■♥✈♦❧✉t✐♦♥ ❤②♣❡r❡❧❧✐♣t✐q✉❡ ▲✬❛✉t♦♠♦r♣❤✐s♠❡ ❞é✜♥✐ s✉r ❧❛ ❝♦✉r❜❡ ✭✷✮ ♣❛r σ(µ, λ) = (−µ, λ) ❡st ❛♣♣❡❧é ✐♥✈♦❧✉t✐♦♥ ❤②♣❡r❡❧❧✐♣t✐q✉❡✳ ◆♦t♦♥s q✉❡ σ ◦σ = Id s✉r ❝❡tt❡ s✉r❢❛❝❡✳ ▲✬✐♥✈♦❧✉t✐♦♥ ❤②♣❡r❡❧❧✐♣t✐q✉❡ ❞✬✉♥ ♣♦✐♥t Q s✉r ❧❛ s✉r❢❛❝❡ ✭✷✮ ❡st ♥♦té❡ Q∗✱ ✐✳❡✳✱ σ(Q) = Q∗✳
✶✳✷✳✶ ❊s♣❛❝❡s ♣r♦❥❡❝t✐❢s ❝♦♠♣❧❡①❡s
❉é✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✻ ▲✬❡s♣❛❝❡ ♣r♦❥❡❝t✐❢ ❝♦♠♣❧❡①❡ CPn❞❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♥ ❡st ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡ ✭♥✰✶✮✲ ✉♣❧❡ts ❞❡ ♥♦♠❜r❡s ❝♦♠♣❧❡①❡s z = (z0, . . . , zn)∈ Cn+1|z 6= (0, . . . , 0) ∼ ♠✉♥✐ ❞❡ ❧❛ r❡❧❛t✐♦♥ ❞✬éq✉✐✈❛❧❡♥❝❡ z ∼ w s✐ z = λw, ♣♦✉r ✉♥ λ ∈ C∗. ▲❡s ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s ❞❡ z = (z0, . . . , zn) ∈ Cn+1 s♦♥t ❞✐t❡s ❧❡s ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s ❤♦♠♦❣è♥❡s ❞❛♥s CPn✳ ◆♦t♦♥s [z0, . . . , zn] ❧❛ ❝❧❛ss❡ ❞✬éq✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ❞❡ z✳✶✳✸ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ♠ér♦♠♦r♣❤❡s ❡t r❡✈êt❡♠❡♥ts
❯♥❡ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ f : M → N ❡st ❛♣♣❡❧é❡ ❤♦❧♦♠♦r♣❤❡ s✐ ♣♦✉r ✉♥ ✭❞♦♥❝ ❝❤❛q✉❡✮ ♣❛r❛♠ètr❡ ❧♦❝❛❧ (U, z) ❞❛♥s M ❡t ♣♦✉r ✉♥ ✭❞♦♥❝ ❝❤❛q✉❡✮ ♣❛r❛♠ètr❡ ❧♦❝❛❧ (V, w) ❞❛♥s N t❡❧ q✉❡ U ∩ f−1(V )6= ∅ ❧✬❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ w◦ f ◦ z−1 : z(U ∩ f−1(V ))−→ w(V ) ✭✶✳✸✳✶✮ ✶✵❡st ❤♦❧♦♠♦r♣❤❡✳ ❉❡ ♣❧✉s✱ ✐❧ ❡①✐st❡ ❞❡s ♣❛r❛♠ètr❡s z ❡t w t❡❧s q✉❡ ❧✬❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ F = w◦ f ◦ z−1 s✬❡①♣r✐♠❡ ❧♦❝❛❧❡♠❡♥t ❝♦♠♠❡ F (z) = zn✱ ♣♦✉r ✉♥ n ∈ N✱ z ∈ C✳ ❯♥❡ ❛♣♣❧✐✲ ❝❛t✐♦♥ ❤♦❧♦♠♦r♣❤❡ à ✈❛❧❡✉rs ❞❛♥s C ❡st ❛♣♣❡❧é❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❤♦❧♦♠♦r♣❤❡ ❡t ✉♥❡ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❤♦❧♦♠♦r♣❤❡ à ✈❛❧❡✉rs ❞❛♥s CP1 ❡st ❛♣♣❡❧é❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ♠ér♦♠♦r♣❤❡✳ ▲❡s ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❤♦❧♦♠♦r♣❤❡s ♥♦♥ ❝♦♥st❛♥t❡s ❡♥tr❡ s✉r❢❛❝❡s ❞❡ ❘✐❡♠❛♥♥ s♦♥t ❛♣♣❡❧é❡s r❡✈êt❡♠❡♥ts ❤♦❧♦♠♦r♣❤❡s✳ ❙♦✐t f : M → N ✉♥ r❡✈êt❡♠❡♥t ❤♦❧♦♠♦r♣❤❡✳ ❯♥ ♣♦✐♥t p ∈ M ❡st ❞✐t ♣♦✐♥t ❞❡ r❛♠✐✜❝❛t✐♦♥ s✬✐❧ ♥✬❛ ♣❛s ❞❡ ✈♦✐s✐♥❛❣❡ U ❝♦♥t❡♥❛♥t p t❡❧ q✉❡ f|U ❡st ✐♥❥❡❝t✐✈❡✳ ❆✉ ✈♦✐s✐♥❛❣❡ ❞✬✉♥ t❡❧ ♣♦✐♥t ❧✬❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ F (z) = znp ❡st t❡❧❧❡ q✉❡ n p > 1✱ ❝❡ np ❡st ❞✐t ♠✉❧t✐♣❧✐❝✐té ❞❡ f ❡♥ p✳ ❯♥ r❡✈êt❡♠❡♥t ❛✈❡❝ ❞❡s ♣♦✐♥ts ❞❡ r❛♠✐✜❝❛t✐♦♥ ❡st ❛♣♣❡❧é r❡✈êt❡♠❡♥t r❛♠✐✜é✳ ❚❤é♦rè♠❡ ✶✳✼ ❙♦✐t f : M → N ✉♥❡ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❤♦❧♦♠♦r♣❤❡ ♥♦♥ ❝♦♥st❛♥t❡ ❡♥tr❡ s✉r✲ ❢❛❝❡s ❞❡ ❘✐❡♠❛♥♥✳ ❆❧♦rs✱ ✐❧ ❡①✐st❡ m ∈ N t❡❧ q✉❡ ❧❛ ❝❛r❞✐♥❛❧✐té ❞❡ f−1(c) ♣♦✉r t♦✉t c ∈ N ❡st é❣❛❧❡ à m ✭t❡♥❛♥t ❝♦♠♣t❡ ❞❡s ♠✉❧t✐♣❧✐❝✐tés✮✳ ❉é✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✽ ▲❡ ♥♦♠❜r❡ m ❡st ❛♣♣❡❧é ❧❡ ❞❡❣ré ❞❡ f✳ ▲❡ r❡✈êt❡♠❡♥t f : M → N ❡st ❞✐t r❡✈êt❡♠❡♥t r❛♠✐✜é à m ❢❡✉✐❧❧❡ts✳ ❙♦✐t np ❧❛ ♠✉❧t✐♣❧✐❝✐té ❞❡ f ❡♥ p✱ ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ p ∈ M ❧❡ ♥♦♠❜r❡ bf(p) = np− 1 ❡st ❛♣♣❡❧é ✐♥❞✐❝❡ ❞❡ r❛♠✐✜❝❛t✐♦♥ ❞❡ f ❡♥ p✳ ❊①❡♠♣❧❡ ✹ ❙♦✐t m ❧❡ ❞❡❣ré ❞✬✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ♠ér♦♠♦r♣❤❡ ♥♦♥ ❝♦♥st❛♥t❡ ❞é✜♥✐❡ s✉r ✉♥❡ s✉r❢❛❝❡ ❞❡ ❘✐❡♠❛♥♥✱ ❛❧♦rs m ❝♦ï♥❝✐❞❡ ❛✈❡❝ ❧❡ ♥♦♠❜r❡ ❞❡ ♣ô❧❡s ❞❡ ❝❡tt❡ ❢♦♥❝t✐♦♥✱ ❝✬❡st✲ à✲❞✐r❡✱ ❧❡ ♥♦♠❜r❡ ❞❡ ♣ré✐♠❛❣❡s ❞✉ ♣♦✐♥t à ❧✬✐♥✜♥✐❡✱ ❡♥ ❝♦♠♣t❛♥t ❧❡s ♠✉❧t✐♣❧✐❝✐tés ❞❡ ❝❡s ♣ré✐♠❛❣❡s✳ ❊①❡♠♣❧❡ ✺ ❈♦♥s✐❞ér♦♥s ❧❛ ❝♦♠♣❛❝t✐✜❝❛t✐♦♥ ˆC ❞❡ ❧❛ ❝♦✉r❜❡ ❤②♣❡r❡❧❧✐♣t✐q✉❡ ✭✷✮ ❡t ❧❛ ❢♦♥❝✲ t✐♦♥ ♠ér♦♠♦r♣❤❡ f : (µ, λ) → λ ❞❡ ❞❡❣ré ✷✳ ▲❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ f ♥♦✉s ♣❡r♠❡t ❞❡ ❝♦♥s✐❞ér❡r ˆC ❝♦♠♠❡ ✉♥ r❡✈êt❡♠❡♥t r❛♠✐✜é à ❞❡✉① ❢❡✉✐❧❧❡ts ❞❡ CP1 ♦ù ❧❡s ♣♦✐♥ts ❞❡ r❛♠✐✜❝❛t✐♦♥ s♦♥t ✶✶
• P♦✉r ♥❂✷❣✰✶ (0, λj), j = 1, . . . , n ❡t ∞, ✭✶✳✸✳✷✮ • P♦✉r ♥❂✷❣✰✷ (0, λj), j = 1, . . . , n, ✭✶✳✸✳✸✮ ♦ù ❧✬✐♥❞✐❝❡ ❞❡ r❛♠✐✜❝❛t✐♦♥ ❡st é❣❛❧ à ✶ à ❝❡s ♣♦✐♥ts✳
✶✳✹ ■♥❞✐❝❡ ❞✬✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥
P♦✉r ❞é✜♥✐r ❧❡s ✐♥❞✐❝❡s ❞✬✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ s✉r ✉♥❡ s✉r❢❛❝❡ ❞❡ ❘✐❡♠❛♥♥ ♥♦✉s ❛❧❧♦♥s ✐♥tr♦❞✉✐r❡ ❞❡s r❡❧❛t✐♦♥s ❞✬éq✉✐✈❛❧❡♥❝❡ r❡❧✐é❡s ❛✉① ❣r♦✉♣❡s ❞✬❤♦♠♦❧♦❣✐❡✳ P♦✉r ♣❧✉s ❞❡ ❞ét❛✐❧s ✈♦✐r ❬✼❪✳✶✳✹✳✶ Pr❡♠✐❡r ❣r♦✉♣❡ ❞✬❤♦♠♦❧♦❣✐❡
❈♦♥s✐❞ér♦♥s ✉♥❡ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥ ❧✐ss❡ ♦r✐❡♥té❡ ❞✬✉♥❡ s✉r❢❛❝❡ ❞❡ ❘✐❡♠❛♥♥ L✳ ▲❡s s♦♠♠❡s ❢♦r♠❡❧❧❡s ❞❡s ♣♦✐♥ts pi✱ ❞❡s ❛rêt❡s ♦r✐❡♥té❡s γi❡t ❞❡s tr✐❛♥❣❧❡s ♦r✐❡♥tés Di✱Pnipi✱ ✱Pniγi ❡t PniDi ♦ù ni ∈ Z s♦♥t ❛♣♣❡❧és ✵✲❝❤❛î♥❡s✱ ✶✲❝❤❛î♥❡s ❡t ✷✲❝❤❛î♥❡s✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t✳ ◆♦t♦♥s ✿ • C0 ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡ ✵✲❝❤❛î♥❡s✳ • C1 ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡ ✶✲❝❤❛î♥❡s✳ • C2 ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡ ✷✲❝❤❛î♥❡s✳ ❙♦✐t δ ❧✬♦♣ér❛t❡✉r ❢r♦♥t✐èr❡✳ ❯♥❡ ✶✲❝❤❛î♥❡ γ t❡❧❧❡ q✉❡ δγ = 0 ❡st ❛♣♣❡❧é❡ ✉♥ ❝②❝❧❡ ❀ ✉♥❡ ✶✲❝❤❛î♥❡ γ t❡❧❧❡ q✉❡ γ = δD ❡st ❛♣♣❡❧é❡ ❢r♦♥t✐èr❡✳ ◆♦t♦♥s Z ❧❡ s♦✉s✲❣r♦✉♣❡ ❞❡ ❝②❝❧❡s ❡t B ❧❡ s♦✉s✲❣r♦✉♣❡ ❞❡ ❢r♦♥t✐èr❡s✱ ✐✳❡✳ Z ={γ ∈ C1|δγ = 0}, B = δC2. ❈♦♠♠❡ δ2 = 0 ❝❤❛q✉❡ ❢r♦♥t✐èr❡ ❡st ✉♥ ❝②❝❧❡ ❞♦♥❝ B ⊂ Z ⊂ C 1✳ ✶✷▲❡ ❣r♦✉♣❡ q✉♦t✐❡♥t H1(L) = H1(L, Z) = Z/B ❡st ❛♣♣❡❧é ❧❡ ♣r❡♠✐❡r ❣r♦✉♣❡ ❞✬❤♦♠♦❧♦❣✐❡ ❞❡ ❧❛ s✉r❢❛❝❡ ❞❡ ❘✐❡♠❛♥♥ L✳ ❙✐ L ❡st ❝♦♠♣❛❝t❡ ❞❡ ❣❡♥r❡ g✱ ❛❧♦rs H1(L) ❡st ✉♥ ❣r♦✉♣❡ ❛❜é❧✐❡♥ ❧✐❜r❡ ❞❡ r❛♥❣ 2g✳ ❯♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡ ❣é♥ér❛t❡✉rs ♣♦✉r ❝❡ ❣r♦✉♣❡ ♣❡✉t êtr❡ ♦❜t❡♥✉ ❡♥ r❡♣rés❡♥t❛♥t L ♣❛r ✉♥ ♣♦❧②❣♦♥❡ ❛✈❡❝ 4g ❛rêt❡s✳ ◆♦t♦♥s ❧❡s ❣é♥ér❛t❡✉rs ✭❧❡s ❛rêt❡s ❞✉ ♣♦❧②❣♦♥❡✮ a1, b1, . . . , ag, bg✳
✶✳✹✳✷ ■♥❞✐❝❡ ❞✬✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥
❙♦✐t L ✉♥❡ s✉r❢❛❝❡ ❞❡ ❘✐❡♠❛♥♥ ❝♦♠♣❛❝t❡ ❡t γ1 ❡t γ2 ❞❛♥s H1(L) ❞❡✉① ❝②❝❧❡s q✉✐ s✬✐♥t❡r✲ s❡❝t❡♥t à ✉♥ ♣♦✐♥t p✳ ◆♦✉s ♣♦✉✈♦♥s ❛ss♦❝✐❡r à ❝❡ ♣♦✐♥t ✉♥ ♥♦♠❜r❡ (γ1◦ γ2)p = ±1 ♦ù ❧❡ s✐❣♥❡ ❡st ❞ét❡r♠✐♥é ♣❛r ❧✬♦r✐❡♥t❛t✐♦♥ ❞✉ r❡♣èr❡ (γ′ 1(p), γ2′(p))✱ ♦ù γk′(p) ♥♦t❡ ❧❡ ✈❡❝t❡✉r t❛♥❣❡♥t ❞❡ γk ❛✉ ♣♦✐♥t p✳ ❊♥ ❣é♥ér❛❧✱ s♦✐❡♥t γ1 ❡t γ2 ❞❡✉① ❝②❝❧❡s q✉✐ s✬✐♥t❡rs❡❝t❡♥t à ✉♥ ♥♦♠❜r❡ ✜♥✐ ❞❡ ♣♦✐♥ts✳ ▲✬✐♥❞✐❝❡ ❞✬✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ❞❡ γ1 ❡t γ2 ❡st ❞é✜♥✐ ♣❛r γ1◦ γ2 = X p ♣♦✐♥t ❞✬✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ (γ1◦ γ2)p. ▲✬✐♥❞✐❝❡ ❞✬✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ❡st ✉♥❡ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ ❛♥t✐s②♠étr✐q✉❡ ✐♥❞é♣❡♥❞❛♥t ❞✉ ❝❤♦✐① ❞❡ r❡♣rés❡♥t❛♥t ♣♦✉r γk ❞é✜♥✐❡ ♣❛r ◦ : H1(L) × H1(L) → Z (γ1, γ2) 7→ γ1◦ γ2. ✶✸✶✳✹✳✸ ❇❛s❡ ❝❛♥♦♥✐q✉❡ ❞❡ ❝②❝❧❡s
❯♥❡ ❜❛s❡ ❞✬❤♦♠♦❧♦❣✐❡ (a1, . . . , ag, b1, . . . , bg) ❞✬✉♥❡ s✉r❢❛❝❡ ❞❡ ❘✐❡♠❛♥♥ ❝♦♠♣❛❝t❡ L ❞❡ ❣❡♥r❡ g ❛✈❡❝ ❧❡s ✐♥❞✐❝❡s ❞✬✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ai◦ bj = δij, ai◦ aj = bi◦ bj = 0, ❡st ❛♣♣❡❧é❡ ✉♥❡ ❜❛s❡ ❝❛♥♦♥✐q✉❡ ❞❡ ❝②❝❧❡s✳ ❊♥ ❞é❝♦✉♣❛♥t ❧❛ s✉r❢❛❝❡ s✉✐✈❛♥t ❝❡s ❝②❝❧❡s ♥♦✉s ♦❜t❡♥♦♥s ✉♥ ♠♦❞è❧❡ s✐♠♣❧❡♠❡♥t ❝♦♥♥❡①❡ ❞❡ ❧❛ s✉r❢❛❝❡ q✉✐ ❡st ✉♥ 4g✲❣♦♥❡ ❛♣♣❡❧é ♣♦❧②❣♦♥❡ ❢♦♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❞❡ L ♦ù ❝❤❛q✉❡ ❝②❝❧❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞ à ✉♥❡ ♣❛✐r❡ ❞✬❛rêt❡s ai, a−1i ♦✉ bi, b−1i ✳✶✳✺ ❉✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡s ❆❜é❧✐❡♥♥❡s
P❛r ❞é✜♥✐t✐♦♥✱ ✉♥❡ ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡ ❛❜é❧✐❡♥♥❡ s✉r ✉♥❡ s✉r❢❛❝❡ ❞❡ ❘✐❡♠❛♥♥ L ❡st ✉♥❡ ✶✲❢♦r♠❡ ♠ér♦♠♦r♣❤❡ ω s✉r L✳ ❆✉tr❡♠❡♥t ❞✐t✱ ❧♦❝❛❧❡♠❡♥t ω ♣❡✉t êtr❡ ✈✉❡ ❝♦♠♠❡ f(z)dz✱ ♦ù z ❡st ✉♥ ♣❛r❛♠ètr❡ ❧♦❝❛❧ ❡t f ❡st ✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ♠ér♦♠♦r♣❤❡✳ ▲❡s ③ér♦s ❡t ♣ô❧❡s ❞❡s ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡s ❛❜é❧✐❡♥♥❡s s♦♥t ❜✐❡♥ ❞é✜♥✐s ❡t ❧❛ ♥♦t✐♦♥ ❞❡ rés✐❞✉ ❛✉ss✐✳ ▲❡s ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡s ❛❜é❧✐❡♥♥❡s s♦♥t ❝❧❛ssé❡s ❡♥ tr♦✐s ❡s♣è❝❡s ✿ • ❉✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡s ❤♦❧♦♠♦r♣❤❡s✱ ❞✐t❡s ❞❡ ♣r❡♠✐èr❡ ❡s♣è❝❡✳ • ❉✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡s ♠ér♦♠♦r♣❤❡s ❛✈❡❝ ❧❡s rés✐❞✉s é❣❛✉① à ③ér♦ à t♦✉s ❧❡✉rs ♣ô❧❡s✱ ❞✐t❡s ❞❡ ❞❡✉①✐è♠❡ ❡s♣è❝❡✳ • ❉✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡s ♠ér♦♠♦r♣❤❡s q✉✐ ♦♥t ❞❡s rés✐❞✉s ♥♦♥ ♥✉❧s✱ ❞✐t❡s ❞❡ tr♦✐s✐è♠❡ ❡s♣è❝❡✳ ◆♦t♦♥s q✉❡ ♣♦✉r ❧❡s ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡s ❞❡ tr♦✐s✐è♠❡ ❡s♣è❝❡✱ ❧❛ s♦♠♠❡ ❞❡s rés✐❞✉s ❡st é❣❛❧❡ à ③ér♦✳ ❙♦✐t a ∈ L✱ n ∈ N, n > 1 ♥♦✉s ❞és✐❣♥♦♥s Ω(N ) a ❧❛ ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡ ❞❡ ❞❡✉①✐è♠❡ ❡s♣è❝❡ ❛②❛♥t ✉♥❡ s✐♥❣✉❧❛r✐té ❡♥ a ❞❡ ❧❛ ❢♦r♠❡ Ω(N )a = 1 ka(p)N + O(1) dka(p), p∈ L ✭✶✳✺✳✶✮ ✶✹♦ù ka❡st ❧❡ ♣❛r❛♠ètr❡ ❧♦❝❛❧ ❞❛♥s ✉♥ ✈♦✐s✐♥❛❣❡ ❞❡ a ❡t ❛✉❝✉♥❡ ❛✉tr❡ s✐♥❣✉❧❛r✐té✳ ◆♦t♦♥s q✉❡ ❧❛ ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡ Ω(N ) a ❞é♣❡♥❞ ❞✉ ♣❛r❛♠ètr❡ ❧♦❝❛❧ ka ❛✉t♦✉r ❞❡ a✳ ❙✉♣♣♦s♦♥s q✉❡ a, b ∈ L✳ ◆♦✉s ❞és✐❣♥♦♥s Ωb−a❧❛ ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡ ♠ér♦♠♦r♣❤❡ ❞❡ tr♦✐s✐è♠❡ ❡s♣è❝❡ ❞❡ rés✐❞✉ ✶ ❛✉ ♣♦✐♥t b ❡t rés✐❞✉ −1 ❛✉ ♣♦✐♥t a✳ ❚❤é♦rè♠❡ ✶✳✾ ❙♦✐t L ✉♥❡ s✉r❢❛❝❡ ❞❡ ❘✐❡♠❛♥♥ ❞❡ ❣❡♥r❡ g✳ ▲❛ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❞❡ ❧✬❡s♣❛❝❡ ✈❡❝t♦r✐❡❧ ❝♦♠♣❧❡①❡ ❞❡ ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡s ❤♦❧♦♠♦r♣❤❡s s✉r L ❡st é❣❛❧❡ à g. ❊①❡♠♣❧❡ ✻ P♦✉r ❧❛ ❝♦✉r❜❡ ❤②♣❡r❡❧❧✐♣t✐q✉❡ ✭✷✮✱ ✉♥❡ ❜❛s❡ ❞❡ ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡s ❤♦❧♦♠♦r♣❤❡s ❡st ❞♦♥♥é❡ ♣❛r ωj = λj−1 µ dλ, j = 1, . . . , g, ✭✶✳✺✳✷✮ ♦ù g✱ ❧❡ ❣❡♥r❡ ❞❡ ❧❛ s✉r❢❛❝❡✱ ❡st é❣❛❧ à n 2 − 1 s✐ n ❡st ♣❛✐r ❡t n−12 s✐ n ❡st ✐♠♣❛✐r✳ Pér✐♦❞❡s ❞❡ ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡s ❛❜é❧✐❡♥♥❡s ❙♦✐t {a1, . . . , ag, b1, . . . bg} ✉♥❡ ❜❛s❡ ❝❛♥♦♥✐q✉❡ ❞❡ ❝②❝❧❡s s✉r L✳ ▲❡s ♣ér✐♦❞❡s ❞❡ ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡s ❛❜é❧✐❡♥♥❡s ω ❞❡ ♣r❡♠✐èr❡ ❡t ❞❡✉①✐è♠❡ ❡s♣è❝❡ s♦♥t ❞é✜♥✐❡s ♣❛r Ai = I ai ω, Bi = I bi ω, i = 1, . . . , g. ❚❤é♦rè♠❡ ✶✳✶✵ ✭❘❡❧❛t✐♦♥s ❜✐❧✐♥é❛✐r❡s ❞❡ ❘✐❡♠❛♥♥ ✮ ❙♦✐t ω ❡t ω′ ❞❡✉① ❞✐✛ér❡♥✲ t✐❡❧❧❡s ❛❜é❧✐❡♥♥❡s s✉r L✳ ❈♦♥s✐❞ér♦♥s ✉♥❡ ❜❛s❡ ❝❛♥♦♥✐q✉❡ ❞❡ ❝②❝❧❡s B = {ai, bi|i = 1, . . . , g} s✉r L✳ ❆❧♦rs✱ Z Z L ω∧ ω′ = g X i=1 (AiBi′ − A′iBi). ✭✶✳✺✳✸✮ ♦ù Ai, Bi ❡t A′i, Bi′ ❞és✐❣♥❡♥t ❧❡s A✲♣ér✐♦❞❡s ❡t ❧❡s B✲♣ér✐♦❞❡s ❞❡ ω ❡t ω′ r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t✳ ❉✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡s ❛❜é❧✐❡♥♥❡s ♥♦r♠❛❧✐sé❡s ▲❛ ♠❛tr✐❝❡ ❝❛rré❡ ❞✬♦r❞r❡ g ❞❡ A✲♣ér✐♦❞❡s ❞✬✉♥❡ ❜❛s❡ ❞❡ ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡s ❤♦❧♦♠♦r♣❤❡s (ω1, . . . , ωg)✱ Akj = I ak ωj, j, k = 1, . . . , g, ✶✺
❡st ✐♥✈❡rs✐❜❧❡✳ ❈❡ ❢❛✐t ♥♦✉s ❛♠è♥❡ à ❞é✜♥✐r ❧❡s ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡s ❤♦❧♦♠♦r♣❤❡s ♥♦r♠❛❧✐sé❡s ❞❡ ❧❛ ❢❛ç♦♥ s✉✐✈❛♥t❡✳ ❙♦✐t B = {ai, bi|i = 1, . . . , g} ✉♥❡ ❜❛s❡ ❝❛♥♦♥✐q✉❡ ❞❡ H1(L)✳ ▲❛ ❜❛s❡ ❞✉❛❧❡ ❞❡ ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡s ❤♦❧♦♠♦r♣❤❡s ωj ♥♦r♠❛❧✐sé❡s ♣❛r I ak ωj = δjk j, k = 1, . . . , g, ✭✶✳✺✳✹✮ ❡st ✉♥✐q✉❡ ❡t ❡❧❧❡ ❡st ❛♣♣❡❧é❡ ❝❛♥♦♥✐q✉❡✳ ❊♥ ❝♦♥❝❧✉s✐♦♥✱ ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ ❜❛s❡ ❝❛♥♦♥✐q✉❡ ❞❡ ❝②❝❧❡s ✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥❡ ❜❛s❡ ✉♥✐q✉❡ ❞❡ ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡s ❤♦❧♦♠♦r♣❤❡s {ω1, . . . , ωg} q✉✐ ✈ér✐✜❡ ✭✶✳✺✳✹✮✳ ▲❡s ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡s ωj ❞❡ ❝❡tt❡ ❜❛s❡ s♦♥t ❞✐t❡s ♥♦r♠❛❧✐sé❡s ♣❛r r❛♣♣♦rt à ❧❛ ❜❛s❡ ❝❛♥♦♥✐q✉❡ ❞♦♥♥é❡✳ ❚❤é♦rè♠❡ ✶✳✶✶ ❙♦✐t ω ✉♥❡ ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡ ❤♦❧♦♠♦r♣❤❡ t❡❧❧❡ q✉❡ Hakω = 0 ♣♦✉r t♦✉t k = 1, 2, . . . , g✱ ❛❧♦rs ω = 0. ▼❛tr✐❝❡ ❞❡ ❘✐❡♠❛♥♥ ▲❛ ♠❛tr✐❝❡ ❝❛rré❡ ❞✬♦r❞r❡ g ❞❡ B✲♣ér✐♦❞❡s B ❞❡s ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡s ❤♦❧♦♠♦r♣❤❡s ♥♦r♠❛❧✐sé❡s ω1, . . . , ωg ❞é✜♥✐❡ ♣❛r Bkj = I bk ωj, j, k = 1, . . . , g ✭✶✳✺✳✺✮ ❡st ❛♣♣❡❧é❡ ♠❛tr✐❝❡ ❞❡ ❘✐❡♠❛♥♥ ❞❡ ❧❛ s✉r❢❛❝❡ L✳ ❉❡ ❧✬✐❞❡♥t✐té ✭✶✳✺✳✸✮ ❞é❝♦✉❧❡ ❧❡ t❤é♦rè♠❡ s✉✐✈❛♥t ✿ ❚❤é♦rè♠❡ ✶✳✶✷ ▲❛ ♠❛tr✐❝❡ ❞❡ ❘✐❡♠❛♥♥ ❞❡ ❧❛ s✉r❢❛❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❛♥t❡ à ✉♥❡ ❜❛s❡ ❝❛✲ ♥♦♥✐q✉❡ ❞❡ ❝②❝❧❡s {ai, bi|i = 1, . . . , g} ❡st s②♠étr✐q✉❡ ❡t s❛ ♣❛rt✐❡ ✐♠❛❣✐♥❛✐r❡ ❡st ❞é✜♥✐❡ ♣♦s✐t✐✈❡✳
✶✳✺✳✶ ❏❛❝♦❜✐❡♥ ❞✬✉♥❡ s✉r❢❛❝❡ ❞❡ ❘✐❡♠❛♥♥ ❡t ❞✐✈✐s❡✉rs
❙♦✐t Λ ❧❡ rés❡❛✉ ❞❛♥s Cg ❞é✜♥✐❡ ♣❛r Λ = IZg + BZg ❡♥❣❡♥❞ré❡ ♣❛r ❧❡s A✲♣ér✐♦❞❡s ❡t B✲♣ér✐♦❞❡s ❞❡s ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡s ❤♦❧♦♠♦r♣❤❡s ♥♦r♠❛❧✐sé❡s ω1, . . . , ωg✳ ▲❡ t♦r❡ ❝♦♠♣❧❡①❡ ✶✻Jac(L) = Cg/Λ ❡st ❛♣♣❡❧é ❧❡ ❏❛❝♦❜✐❡♥ ❞❡ ❧❛ s✉r❢❛❝❡ ❞❡ ❘✐❡♠❛♥♥ L✳ ❉és✐❣♥♦♥s A P0 ❧✬❛♣✲ ♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❞✬❆❜❡❧ AP0 :L → C g/Λ ❞é✜♥✐❡ ♣❛r AP0 : P 7→ Z P P0 ω1, . . . , Z P P0 ωg T ✭✶✳✺✳✻✮ ♣♦✉r t♦✉t P ∈ L✳ ▲❡ ♣♦✐♥t P0 ❡st ❞✐t ❧❡ ♣♦✐♥t ❞❡ ❜❛s❡ ❞❡ ❧✬❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥✳ ❉é✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✶✸ ❯♥ ❞✐✈✐s❡✉r D s✉r ✉♥❡ s✉r❢❛❝❡ ❞❡ ❘✐❡♠❛♥♥ L ❡st ✉♥❡ s♦♠♠❡ ❢♦r♠❡❧❧❡ ❞❡ ♣♦✐♥ts ❞❡ ❧❛ s✉r❢❛❝❡ ✿ D = PN k=1nkPk ♦ù nk ∈ Z✱ N ∈ N ❡t Pk ∈ L. ▲❡ ❞❡❣ré ❞✉ ❞✐✈✐s❡✉r D ❡st ❞é✜♥✐ ♣❛r degD =PN k=1nk✳ ❙✐ t♦✉s ❧❡s nk s♦♥t ♥é❣❛t✐❢s✱ ❧❡ ❞✐✈✐s❡✉r ❡st ❞✐t ♣♦s✐t✐❢✳ ▲✬❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❞✬❆❜❡❧ ♣❡✉t êtr❡ ét❡♥❞✉❡ ❧✐♥é❛✐r❡♠❡♥t à t♦✉s ❧❡s ❞✐✈✐s❡✉rs✳ ❯♥ ❞✐✈✐s❡✉r D ❡st ❛♣♣❡❧é ♣r✐♥❝✐♣❛❧ s✬✐❧ ❞é❝r✐t ❧❡s ♦r❞r❡s ❞❡s ③ér♦s ❡t ❞❡s ♣ô❧❡s ❞✬✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ♠ér♦♠♦r♣❤❡ f s✉r L✱ ❝✬❡st✲à✲❞✐r❡ ❧❡ ❞✐✈✐s❡✉r (f) ❞✬✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ♠ér♦♠♦r♣❤❡ ❡st (f) = Pnj=1njPj − Pm j=1mjQj s✐ (f) ❛ ✉♥ ③ér♦ ❞✬♦r❞r❡ nj à Pj ♣♦✉r t♦✉t j ❡t ✉♥ ♣ô❧❡ ❞✬♦r❞r❡ mj à Qj ♣♦✉r t♦✉t j✳ ❉és✐❣♥♦♥s ✉♥ ❞✐✈✐s❡✉r ♣r✐♥❝✐♣❛❧ D = (f)✳ ▲❡ ❚❤é♦rè♠❡ ✶✳✼ ✐♠♣❧✐q✉❡ q✉❡ ❞❛♥s ❝❡ ❝❛s deg(f) = 0✳ ▼❛✐♥t❡♥❛♥t✱ ♥♦✉s ♣♦✉✈♦♥s ❞é✜♥✐r ✉♥❡ r❡❧❛t✐♦♥ ❞✬éq✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ❞❛♥s ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡ ❞✐✈✐s❡✉rs ✿ ❞❡✉① ❞✐✈✐s❡✉r D ❡t D′ s♦♥t ❧✐♥é❛✐r❡♠❡♥t éq✉✐✈❛❧❡♥ts s✐ ❧❡ ❞✐✈✐s❡✉r D − D′ ❡st ♣r✐♥❝✐♣❛❧✳ ▲❡ t❤é♦rè♠❡ ❞✬❆❜❡❧ ♥♦✉s ❞♦♥♥❡ ✉♥❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ♥é❝❡ss❛✐r❡ ❡t s✉✣s❛♥t❡ ♣♦✉r q✉✬✉♥ ❞✐✈✐s❡✉r s♦✐t ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ✿ ❚❤é♦rè♠❡ ✶✳✶✹ ❯♥ ❞✐✈✐s❡✉r D ❡st ♣r✐♥❝✐♣❛❧ s✐ ❡t s❡✉❧❡♠❡♥t s✐ degD = 0 ❡t AP0(D) ≡ 0. ❉✐✈✐s❡✉r ❞✬✉♥❡ ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡✳ ❙♦✐t P1, . . . , Ps ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡ ③ér♦s ❡t Q1, . . . , Qt ❧✬❡♥✲ s❡♠❜❧❡ ❞❡ ♣ô❧❡s ❞✬✉♥❡ ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡ ♠ér♦♠♦r♣❤❡ ω ❞é✜♥✐❡ s✉r L✳ ▲❡ ❞✐✈✐s❡✉r ❞❡ ω✱ ♥♦té (ω) ❡st ❞é✜♥✐ ♣❛r (ω) = s X i=1 niPi− t X i=1 miQi ♦ù ni ❡st ❧✬♦r❞r❡ ❞✉ ③ér♦ ❞❡ ω ❡♥ Pi ❡t mi ❡st ❧✬♦r❞r❡ ❞✉ ♣ô❧❡ ❞❡ ω ❡♥ Qi✳ ✶✼
