On va donner quelques indications sur une d´emonstration de la formule de change- ment de variables

MT242, Cours n^o 22, Lundi 15 Mai 2000.

On va donner quelques indications sur une d´emonstration de la formule de change- ment de variables. Cela donne une excellente occasion de r´eviser le calcul diff´erentiel.

Principe 1 :on consid`ere une application T d´efinie sur un voisinage dex<sub>0</sub> ∈R<sup>2</sup>, `a valeurs dans R² et telle que T(x0)6= y0, o`u y0 est un autre point de R<sup>2</sup>. Si T est diff´erentiable au pointx<sub>0</sub> et (dT)<sub>x0</sub> inversible, on peut trouver des points x voisins de x<sub>0</sub> tels que Tx se rapproche dey0 (par rapport `a T(x0), c’est `a dire que kT(x)−y0k<kT(x0)−y0k).

Raison : on sait que pourt r´eel petit

T(x₀+th)∼T(x₀) +t(dT)_x0(h),

on choisit t > 0 et le vecteur h de fa¸con que la direction (dT)x0(h) = y0 −T(x0) aille vers le point y₀ vis´e. On peut trouver h puisque (dT)_x0 est inversible. Alors x=x₀+th convient pourt > 0 petit.

Principe 2.Si T est continue sur un carr´e ferm´e C, diff´erentiable avec (dT)x inversible pour tout point x de l’int´erieur C₀ du carr´e et s’il existe un point x₀ de l’int´erieur du carr´e tel que T(x0) soit plus proche de y0 que tous les points T(x⁰) image des points x⁰ du bord ∂C de C, alors y₀ est dans l’image T(C₀) de l’int´erieur du carr´e.

Raison : la fonction continue f :x → kT(x)−y0k atteint son minimum en un point x1

du compact C. Ce point ne peut pas ˆetre au bord de C puisque x0 fait d´ej`a mieux que tout point x⁰ du bord : f(x1) ≤ f(x0) < f(x⁰), donc x1 6= x⁰. Alors x1 ∈ C0, et (dT)x1

inversible par hypoth`ese. Si on avait T(x<sub>1</sub>) 6= y<sub>0</sub>, on pourrait faire un peu mieux pour des points voisins de x1 d’apr`es le principe 1, ce qui contredirait le fait quex1 minimise f sur C. On a donc y₀ = T(x₁)∈T(C₀).

Principe 3. On consid`ere un carr´e ferm´e C de cˆot´e 2δ et de centre a, et deux autres carr´es ferm´es Cint et Cext de mˆeme centre a, et respectivement de cˆot´e 2 (1−t)δ et 2 (1 +t)δ, avec 0< t <1, de fa¸con que C_int ⊂C⊂C_ext.

On suppose que T est continue sur C, diff´erentiable dans l’int´erieur C0 de C avec (dT)_x inversible pour toutx∈C₀, et on d´esigne parS_a l’application affine tangente `aT au pointa,

S_a(x) = T(a) + (dT)_a(x−a).

On suppose quem >0 est tel que pour touth ∈R² on ait

k(dT)_a(h)k ≥4mkhk, et on suppose kT(x)−S_a(x)k ≤t mkx−ak pour tout x∈C. Alors

S_a(C_int)⊂T(C₀)⊂T(C)⊂S_a(C_ext).

D´emonstration. Pour montrer que Sa(Cint) ⊂ T(C), on consid`ere un point quelconque x<sub>0</sub> ∈ C<sub>int</sub>, on pose y<sub>0</sub> = S<sub>a</sub>(x<sub>0</sub>) et on veut montrer qu’il existe x<sub>1</sub> ∈ C<sub>0</sub> tel que T(x<sub>1</sub>) = y0 = Sa(x0). Pour cela on applique le principe 2 : on va v´erifier que dans le probl`eme de minimiserf(x) =kT(x)−y₀ksur le compact C, le point x₀ int´erieur `a C fait mieux que tout point x⁰ ∈ ∂C. Le r´esultat voulu en r´esultera par le principe 2. On commence par estimer la performance de x₀,

f(x0) =kT(x0)−Sa(x0)k ≤t mkx0−ak ≤t m δ√ 2.

Soit maintenantx⁰ sur le bord de C ; alors kx⁰−x₀k ≥tδ (parce que x₀ ∈C_int et x⁰ au bord de C), et

kSa(x⁰)−Sa(x0)k=k(dT)a(x⁰−x0)k ≥4mkx⁰ −x0k ≥4tmδ.

D’autre part, kT(x⁰)−Sa(x⁰)k ≤tmkx⁰−ak ≤tmδ√

2. Par l’in´egalit´e triangulaire, f(x⁰) =kT(x⁰)−Sa(x0)k ≥ kSa(x⁰)−Sa(x0)k − kT(x⁰)−Sa(x⁰)k ≥tmδ(4−√

2)> f(x0).

D’ap`es le principe 2 on en d´eduit que Sa(x0) =y0 est dans l’image T(C0) de C0 par T.

Pour montrer que T(C)⊂Sa(Cext), on r´ep`ete en gros le mˆeme argument en ´echan- geant les rˆoles de T et S<sub>a</sub>; choisit un pointx<sub>0</sub> ∈C, on posey<sub>0</sub> = T(x<sub>0</sub>) et on veut montrer qu’il existex1 ∈Cext tel que Sa(x1) =y0 = T(x0). Pour cela on applique le principe 2 `a l’application affine S_a : on v´erifie que dans le probl`eme de minimiserg(x) =kS_a(x)−y₀k sur le compact Cext, le pointx0 fait mieux que tout pointx⁰ ∈∂Cext. On commence par estimer la performance de x₀,

g(x₀) =kS_a(x₀)−T(x₀)k ≤t mkx₀−ak ≤t m δ√ 2.

Soit maintenantx⁰ sur le bord de Cext; alors kx⁰−x0k ≥tδ et on a comme avant kSa(x⁰)−Sa(x0)k=k(dT)a(x⁰−x0)k ≥4mkx⁰−x0k ≥4tmδ.

D’autre part, kT(x0)−Sa(x0)k ≤tmkx0−ak ≤tmδ√

2. Par l’in´egalit´e triangulaire, g(x⁰) =kSa(x⁰)−T(x0)k ≥ kSa(x⁰)−Sa(x0)k−kT(x0)−Sa(x0)k ≥tmδ(4−√

2)> g(x0).

La philosophie est tr`es claire : si T est suffisamment proche de son application affine tangente, on a la situation du principe 3 avec t > 0 petit et l’ensemble image T(C) est encadr´e entre deux parall´elogrammes S<sub>a</sub>(C<sub>int</sub>) et S<sub>a</sub>(C<sub>ext</sub>) qui sont tr`es proches. Si T(C) a une aire, elle sera tr`es voisine de l’aire de Sa(C), qui est ´egale `a |det(JT)a|aire(C).

C’est le fond du th´eor`eme de changement de variable.

Le r´esultat et la d´emonstration qui suivent n’ont pas ´et´e donn´es `a l’amphi. Je les donne ici pour les amateurs.

Proposition 5.3.1. Soient U et V deux ouverts quarrables, T une application bijective deUsurV, de classeC¹ surU, avec une diff´erentielle inversible en tout point deU. Pour tout compactK⊂U qui est une r´eunion finie de carr´es, l’image T(K) est quarrable et

aire(T(K)) = Z Z

K

|det(JT)_u|du₁du₂. Il en r´esulte que si u →det(JT)u est born´ee sur U, on a

aire(V) = Z Z

U

|det(JT)u|du1du2.

D´emonstration. Puisque K est compact et u→(JT)⁻_u¹ continue (clair sur la formule qui donne l’inverse d’une matrice), il existe une constante M telle que k(JT)⁻_u¹k ≤ M pour toutu∈K. Posons m= 1/(4M). D’autre part ´etant donn´e t >0 (petit) on peut trouver par uniforme continuit´e de u →(dT)_u sur K un δ₀ >0 tel que k(dT)_u−(dT)_u0k < t m siu, u⁰ ∈K peuvent ˆetre plac´es dans un mˆeme carr´e de cˆot´e ≤2δ0. D´ecoupons K en un

nombre fini de petits carr´es C_i de cˆot´e 2δ < 2δ₀. Pour chaque carr´e C_i de centre a_i on construit les deux carr´es Ci,int et Ci,ext associ´es (voir le principe 3). Pour chaque point a_i on a k(JT)⁻_a¹

i k ≤M = 1/(4m) ce qui implique que k(dT)_ai(h)k ≥4mkhk pour tout h∈R². D’autre part, siu∈C_i on aura par le th´eor`eme des accroissements finis appliqu´e

`

a l’application V(v) = T(v)−Sai(v), puisque k(dT)v −(dT)aik = k(dV)vk < t m pour tout pointv du segment qui joint a_i `a u,

kT(u)−Sai(u)k=kV(u)−V(ai)k ≤t mku−aik.

D’apr`es le principe 3, chaque image T(Ci) est encadr´ee par les parall´elogrammes Bi = S<sub>ai</sub>(C<sub>i,int</sub>) et D<sub>i</sub> = S<sub>ai</sub>(C<sub>i,ext</sub>), donc (en utilisant le caract`ere bijectif de T ; pour ˆetre tout `a fait rigoureux, il faudrait se d´ebrouiller pour ne compter les bordures des carr´es qu’une seule fois, en rempla¸cant les carr´es ferm´es Ci par des carr´es semi-ouverts)

1_K =X

i

1_Ci, 1_T(K) =X

i

1_T(Ci), 1_Bi ≤1_T(Ci) ≤1_Di, ce qui donne l’encadrement

f =X

i

1_Bi ≤1_T(K) ≤X

i

1_Di =g.

L’application affine Sai transforme les aires de la mˆeme fa¸con que sa partie lin´eaire (dT)a_i, donc elle multiplie les aires par|det(JT)a_i|. On a donc

aire(S_ai(C_i,int)) =|det(JT)_ai| aire(C_i,int) = (1−t)²|det(JT)_ai| aire(C_i)

et l’analogue pour Ci,ext. Les fonctions f et g sont clairement int´egrables, et on a en notant l’aire d’un ensemble A par|A|

Z Z

f =X

i

|Bi|= (1−t)²X

i

|det(JT)a_i| |Ci|, Z Z

g =X

i

|Di|= (1 +t)²X

i

|det(JT)a_i| |Ci|. Par continuit´e de la fonctionu → |det(JT)u|sur K, la quantit´e P

i|det(JT)a_i| |Ci|tend vers RR

K|det(JT)_u|du₁du₂ lorsque δ tend vers 0. On obtient donc un encadrement de 1_T(K) entre deux fonctions int´egrables qui ont presque la mˆeme int´egrale. Il en r´esulte que T(K) est quarrable et que

aire(T(K)) = Z Z

1_T(K) = Z Z

K

|det(JT)u|du1du2.

Puisque V est quarrable on peut choisir L ⊂V, L compact r´eunion finie de carr´es, qui a presque la mˆeme aire que V, disons aire(V) ≤ aire(L) +ε. Puisque T⁻¹(L) est compact contenu dans U, on peut trouver K comme ci-dessus tel que T⁻¹(L)⊂K⊂U.

Puisque L⊂T(K)⊂V, on aura aire(V)−ε ≤aire(L)≤aire(T(K)) =

Z Z

K

|det(JT)_u|du₁du₂ ≤ Z Z

U

|det(JT)_u|du₁du₂. Inversement siu→det(JT)u est born´ee par M sur U, on choisit K⊂U tel que aire(U)≤ aire(K) +ε/M. La diff´erence entre les deux int´egrales doubles RR

K|det(JT)_u|du₁du₂ et RR

U|det(JT)u|du1du2 est alors ≤ε, donc Z Z

U

|det(JT)_u|du₁du₂−ε≤ Z Z

K

|det(JT)_u|du₁du₂ = aire(T(K))≤aire(V).

Chapitre 6. Int´egrales d´ependant d’un param`etre

Le probl`eme g´en´eral est le suivant : on se donne une fonction f(x, t) et on pose F(t) =

Z b

a

f(x, t)dx.

A quelles conditions cette fonction F sera-t-elle continue, d´erivable ? Les mˆemes deux questions se posent pour les int´egrales g´en´eralis´ees.

6.1. Continuit´e

Th´eor`eme 6.1.1. Supposons donn´ee une fonction r´eelle f, d´efinie et continue sur le produit [a, b]×I, o`u I est un intervalle ouvert de R. Posons pour t∈I

F(t) = Z b

a

f(x, t)dx.

La fonction F est alors continue sur l’intervalle I.

D´emonstration. Soit t₀ un point de I et choisissons c, d de fa¸con que c < t₀ < d et [c, d] ⊂ I. Il suffit de montrer que f est continue sur l’intervalle [c, d]. La fonction f

´etant continue sur le compact [a, b]×[c, d] est uniform´ement continue sur [a, b]×[c, d].

Pour tout ε > 0 donn´e, il existe η > 0 tel que |f(x, t)−f(x⁰, t⁰)| < ε/(b−a) d`es que

|x−x⁰|+|t−t⁰|< η. On a alors si t ∈[c, d] et |t−t₀|< η

|F(t)−F(t₀)| ≤ Z b

a

|f(x, t)−f(x, t₀)|dx≤(b−a) ε

b−a =ε, ce qui montre que F est continue au point t0.

Th´eor`eme 6.1.2. Supposons donn´ee une fonction r´eelle f, d´efinie et continue sur [a, b[×I, o`u I est un intervalle ouvert de R et o`u b est soit un nombre r´eel, soit +∞. On suppose qu’il existe une fonction g≥0 sur [a, b[, telle que

∀(x, t)∈[a, b[×I, |f(x, t)| ≤g(x) et que l’int´egrale g´en´eralis´ee Z b

a

g(x)dx

soit (absolument) convergente. Alors la fonctionF d´efinie sur I par

∀t ∈I, F(t) = Z b

a

f(x, t)dx

est une fonction continue sur l’intervalle I (la valeur F(t) est une int´egrale g´en´eralis´ee absolument convergente, d’apr`es les hypoth`eses sur f etg).

D´emonstration. On va traiter le cas o`u a = 0 et b = +∞ pour simplifier les notations.

Pour toute fonctionh d´efinie sur [0,+∞[ et dont l’int´egrale g´en´eralis´ee est convergente, on a

Z +∞ 0

h(x)dx=

+∞

X

n=0

Z n+1

n

h(x)dx .

Posons pour tout n≥0 et tout t∈I u_n(t) =

Z n+1

n

f(x, t)dx.

La fonction u_n est continue sur I d’apr`es le th´eor`eme 6.1.1. L’hypoth`ese de majoration donne pour tout t∈I

|u_n(t)| ≤ Z n+1

n

g(x)dx=v_n et

+∞

X

n=0

v_n= Z +∞

0

g(x)dx <+∞ ce qui montre que la s´erie de fonctions continuesP

u_n est normalement convergente sur I, donc sa somme S(t) est une fonction continue sur I. Mais on a

S(t) =

+∞

X

n=0

u_n(t) = Z +∞

0

f(x, t)dx= F(t).

Exemple : la fonction Γ. On pose pour tout t >0 Γ(t) =

Z +∞ 0

x^t−1e^−x dx.

Dans le cas 0 < t < 1, il s’agit d’une int´egrale g´en´eralis´ee avec deux probl`emes de convergence, en 0 et en +∞. On va v´erifier que Γ est continue sur ]0,1[, en d´ecoupant le probl`eme en deux,

F1(t) = Z 1

0

x^t−1e^−x dx, F2(t) = Z +∞

1

x^t−1e^−x dx.

On a ici f(x, t) = x^t−1e^−x. Soit t₀ tel que 0 < t₀ < 1 et choisissons c, d tels que 0< c < t0 < d <1. Alors

0≤f(x, t)≤g1(x) =x^c−1e^−x pour tout x ∈ [0,1] et tout t ∈ [c, d], et l’int´egrale R1

0 g1(x)dx converge. D’apr`es le th´eor`eme 6.1.2, la fonction F₁ est continue sur ]0,1[. Pour traiter F₂ il faut changer de majorant : on prendrag2(x) =x^d−1e^−x, qui majore f(x, t) pour toutx ≥1 ett∈]0,1[, et qui v´erifie R+∞

1 g2(x)dx < +∞. En additionnant les deux r´esultats on trouve que Γ est continue sur ]0,1]. La d´emonstration de la continuit´e de Γ sur [1,+∞[ est analogue, en plus simple (un seul probl`eme de convergence).

Cours n^o 23, Mercredi 17 Mai 2000.

Une application `a certaines int´egrales curvilignes

On consid`ere une courbe γ dans le plan, joignant un point q<sub>0</sub> `a un point q₁. Pour traduire plus pr´ecis´ement l’id´ee d’une courbe du plan, parcourue dans le sens qui va de q₀ `a q₁, on supposera que γ est l’image d’un intervalle [a, b] par une fonction continue f : [a, b]→ R², telle que f(a) = q0 et f(b) = q1. On dit que f est un param´etrage de la courbe.

On suppose qu’un vecteur F(p)∈R² est attach´e `a chaque point pde γ. On cherche si la limite

n−1

X

i=0

F(p_i).(p_i+1−p_i)

(somme de produits scalaires) existe, lorsqu’on divise la courbe ennmorceaux parn+ 1 points de subdivision p0 = q0, . . . , pn = q1 (correspondant `a des valeurs croissantes du

param`etre), et qu’on fait tendre le pas de la subdivision vers 0. Si la limite existe, on la notera

Z

γ

F(p). dp;

elle correspond `a ce qu’on appelle en physique lacirculation d’un champ de vecteurs. Un cas particulier est la notion de travail d’une force. Avec des notations plus math´emati- ques, on consid´erera les composantes de F, soit F(p) = (U(p),V(p)) ∈ R² et on ´ecrira p= (x, y). L’int´egrale pr´ec´edente sera alors not´ee aussi

Z

γ

U(x, y)dx+ V(x, y)dy et appel´ee int´egrale curviligne.

Proposition 6.1.1.Si le champ Fest continu sur γ et si γ admet une param´etrisation de classe C¹ par morceaux par f(t) = (f₁(t), f₂(t)) d´efinie sur un intervalle [a, b], alors la limite existe et

Z

γ

U(x, y)dx+ V(x, y)dy

= Z b

a

(U(f(t))f₁⁰(t) + V(f(t))f₂⁰(t) dt.

D´emonstration. Supposons que les fonctions coordonn´eesf1 etf2 du param´etragef sont de classe C² pour simplifier. La somme de produits scalaires dont on cherche la limite comporte pour la partie qui traite la coordonn´ee x

A =

n−1

X

i=0

U(f(t_i)) f₁(t_i+1)−f₁(t_i) et de mˆeme pour la deuxi`eme coordonn´ee

B =

n−1

X

i=0

V(f(ti)) f2(ti+1)−f2(ti) .

Traitons le cas de A (le cas de B est identique). Avec Taylor-Lagrange `a l’ordre deux on a

f₁(t_i+1)−f₁(t_i) =f₁⁰(t_i)(t_i+1−t_i) + 1

2f₁⁰⁰(c_i)(t_i+1−t_i)² o`u ci est un point entre ti et ti+1, ce qui donne

A =

n−1

X

i=0

U(f(ti))f₁⁰(ti)(ti+1−ti) + E.

On reconnaˆıt dans la premi`ere expression une somme de Riemann de la fonction continue t → U(f(t))f₁⁰(t), qui convergera vers l’int´egrale de Riemann Rb

a U(f(t))f₁⁰(t)dt lorsque le pas de la subdivision tend vers 0. Le terme d’erreur

E = 1 2

n−1

X

i=0

U(f(ti))f₁⁰⁰(ci)(ti+1−ti)²

tend vers 0 parce que les fonctionst→U(f(t)) etf₁⁰⁰ sont born´ees sur [a, b], et parce que Pn−1

i=0(ti+1−ti)² →0 lorsque le pas de la subdivision tend vers 0.

Cas particulier. Longueur d’une courbe C¹ par morceaux. En chaque pointpde la courbe o`u celle-ci est C¹, on peut consid´erer le vecteur tangent unitaire T(p) dirig´e dans le sens du parcours. L’int´egrale curviligne

L = Z

γ

T(p). dp

repr´esente la longueur L de la courbe. Si f(t) = (f1(t), f2(t)) est un param´etrage de classe C¹ (par morceaux), on obtiendra apr`es petit calcul (mal fait `a l’amphi)

L = Z b

a

q

f₁⁰(t)²+f₂⁰(t)²dt.

ChampF d´erivant d’un potentiel

Dans le cas o`u le champ F est d´efini sur un ouvert Ω et d´erive d’un potentiel P d´efini sur cet ouvert, c’est `a dire qu’il existe une fonction P de classe C¹ sur l’ouvert Ω telle que F(p) =∇P(p) pour tout point p∈Ω, on a

Z

γ

F(p). dp= P(q1)−P(q0)

lorsque la courbe γ est contenue dans Ω. En particulier, l’int´egrale ne d´epend pas du chemin suivi pour aller de q0 `aq1, pourvu que ce chemin reste dans l’ouvert Ω.

Nombre de tours

Posons F(x, y) = (−y/p

x²+y², x/p

x²+y²). Si on se place dans l’ouvert Ω =R²\ {(x,0) :x ≤0},

ce champ F d´erive du potentiel donn´ee par la fonction P(x, y) = θ(x, y), l’angle polaire du vecteur (x, y) calcul´e dans ]−π, π[. Dans le sous-ensemble de Ω form´e des points (x, y) tels que x > 0, on v´erifie facilement cette affirmation en notant que dans ce cas θ(x, y) = Arctan(y/x). Si γ est une courbe ferm´ee (c’est `a dire q₁ = q₀) qui reste dans Ω, on en d´eduit que

N(γ) = 1 2π

Z

γ

−y dx+x dy x²+y²

=θ(q₁)−θ(q₀) = 0.

Si γ⁰ = (q0, q1) est une courbe ne passant pas par (0,0) et dont les points sont dans Ω,

`

a l’exception des extr´emit´es q₀ et q₁ qui sont sur la demi-droite “interdite”, on aura N⁰ = 1

2π Z

γ⁰

−y dx+x dy x²+y²

=θ(q1,−)−θ(q0,+),

en notant parθ(q1,−) la limite de θ(p) quand on tend vers q1 par des points p de γ⁰, et de mˆeme pour θ(q0,+) ; ces deux valeurs limite sont ´egales `a ±π, donc N vaut 1, −1 ou 0 suivant queγ⁰ tourne autour de (0,0), dans un sens, dans l’autre ou bien pas du tout.

En d´ecoupant si n´ecessaire une courbe ferm´ee γ qui ne passe par (0,0) en morceaux de la forme γ⁰, on peut se convaincre que pour toute courbe ferm´ee γ qui ne passe pas par (0,0), la quantit´e N(γ) repr´esente le nombre de tours autour de 0 effectu´es par la courbe, et compt´es dans le sens trigonom´etrique direct.

Th´eor`eme de Brouwer dans R²

Th´eor`eme 6.1.3. Pour toute application continue ϕ du disque unit´e ferm´e D dans lui-mˆeme, il existe un point fixe, c’est `a dire un pointp∈D tel que ϕ(p) =p.

Indication, dans le cas o`u ϕ est de plus de classe C¹. Supposons par l’absurde que ϕ(p) = (ϕ₁(p), ϕ₂(p)) est toujours diff´erent de p. On peut consid´erer le champ non nul d´efini sur D par

∀p∈D, F(p) =ϕ(p)−p= (ϕ₁(x, y)−x, ϕ₂(x, y)−y).

Consid´erons ensuite les param´etrages de chemins ferm´es ne passant pas par (0,0) γ_r(t) = F(rcost, rsint)

avect ∈[0,2π], et o`u la variable r varie dans [0,1]. On voit que N(γr) s’exprime par une horrible int´egrale en t, de 0 `a 2π qui est de la forme

G(r) = N(γr) = Z 2π

0

g(t, r)dt

avec g continue sur [0,2π]×[0,1] (on utilise ici l’hypoth`ese additionnelle que ϕ est de classe C<sup>1</sup>; la premi`ere moiti´e de cette horrible expression a ´et´e ´ecrite au tableau). En posantc_r(t) = (rcost, rsint) et avec des notations un peu condens´ees on trouve que

G(r) = 1 2π

Z 2π

0

−(ϕ2(cr(t))−rsint)(∇ϕ1(cr(t)). c⁰_r(t) +rcost) kF(cr(t))k² + +(ϕ1(cr(t))−rcost)(∇ϕ2(cr(t)). c⁰_r(t)−rsint)

kF(cr(t))k² dt

.

Il en r´esulte quer →G(r) est continu sur [0,1]. Mais ce nombre est en fait un entier ! Il est donc constant quandr d´ecrit [0,1], donc N(γ0) = N(γ1). Mais on voit que N(γ0) = 0 (clair intuitivement : le vecteur γ₀(t) ne tourne pas, puisqu’il est constant ´egal `a F(0,0), ou bien clair sur l’horrible expression). En revanche, le vecteur γ1(t), trac´e au point p(t) = (cost,sint), pointe toujours vers l’int´erieur du cercle (parce que ϕ(p(t)) est dans le disque D), ce qui l’oblige `a faire un tour quand on parcourt le cercle de rayon un, donc N(γ₁) = 1. On a une contradiction qui termine la d´emonstration.

6.2. D´erivabilit´e

Th´eor`eme 6.2.1. Supposons donn´ee une fonction r´eelle f, d´efinie et continue sur le produit [a, b]×I, o`u I est un intervalle ouvert de R, et poss´edant une d´eriv´ee partielle g(x, t) = ^∂f_∂t(x, t) par rapport au param`etre t, pour tout point (x, t) ∈[a, b]×I. Posons pour t∈I

F(t) = Z b

a

f(x, t)dx.

Si la fonction (x, t) → ^∂f_∂t(x, t) est continue sur [a, b]×I, la fonction F est d´erivable sur l’intervalleI et

F⁰(t) = Z b

a

∂f

∂t(x, t)dx.

pour tout t∈I.

D´emonstration. Remarquons d’abord que G(t) =

Z b

a

∂f

∂t(x, t)dx

est une fonction continue sur I d’apr`es le paragraphe pr´ec´edent. Consid´erons comme avant un intervalle ferm´e [c, d] contenu dans I. Pour toutt∈[c, d], on obtient en calculant l’int´egrale double de ∂f

∂t sur le rectangle [a, b]×[c, t]

Z t

c

Z b

a

∂f

∂t(x, s)dx ds=

Z b

a

Z t

c

∂f

∂t(x, s)ds dx= Z b

a

f(x, t)−f(x, c)

dx= F(t)−F(c) d’o`u le r´esultat, puisqu’on a montr´e que

F(t) = F(c) + Z t

c

G(s)ds pour tout t∈I tel que t > c.

Exemple. Posons

F(t) = Z 2

1/2

x^t−1e^−x dx.

La fonction f(x, t) = x^t−1e^−x = e^{−x+(t−1) lnx} admet une d´eriv´ee en t donn´ee par ln(x)f(x, t), qui est continue sur [1/2]×R donc F est d´erivable sur R et

F⁰(t) = Z 2

1/2

ln(x)x^t−1e^−x dx.

De la mˆeme fa¸con on voit que F est ind´efiniment d´erivable. En particulier, F⁰⁰(t) =

Z 2

1/2

ln(x)²x^t−1e^−x dx≥0 donc F est une fonction convexe sur R.