Trois amuse-tête proposés par Pierre Leteurtre à résoudre en un quart d'heure chrono en main.
Amuse-tête n°1
On donne 2 cercles sécants (Γ) et (Γ'), et deux points de (Γ), I fixe et J variable tel que la droite IJ coupe (Γ') en P et Q. Quelles sont les conditions sur le point I et le cercles (Γ) et (Γ') pour qu'on ait PJ = JQ quel que soit J ?
Amuse-tête n°2
Deux droites D et D' se coupent en O sous un angle fixe. Le point A sur D et le point B sur D' sont tels que la distance AB est une constante d. Démontrer que lorsque le segment AB glisse le long des deux droites D et D', le lieu du milieu de AB est une ellipse dont on construira les foyers.
Amuse-tête n°3
On considère un point P strictement intérieur à un triangle équilatéral ABC tel que angle(APB) = 150° et angle(CPA) = 110°. Démontrer qu'on sait construire un triangle dont les côtés sont égaux à PA, PB et PC et déterminer la valeur de son plus petit angle
1 - Une condition nécessaire est que les droites qui relient I aux points d’intersection des deux cercles soient tangentes à (Γ'), donc que le centre O’ de (Γ') soit
diamétralement opposé à I sur (Γ). Cette condition est suffisante, puisque la projection de O’ sur toute sécante passant par I est le milieu de la corde PQ.
2 - Si les droites sont orthogonales, le lieu est un cercle de centre O de diamètre d ; sinon, c’est l’intersection du cylindre droit construit sur ce cercle par un plan parallèle à la bissectrice choisi de façon à ce que D et D’ se projettent selon deux droites
orthogonales.
C’est donc une ellipse d’axes les bissectrices de D et D’ : les demi- longueurs a et b des grand et petit axes s’obtiennent en construisant la longueur d perpendiculairement aux bissectrices, et les foyers sont à la distance c telle que c2= a2-b2
3 - Si Q est le transformé de P par la rotation de centre A d’angle 60°, PQ=PA et CQ=PB : le triangle PCQ a donc des cotés égaux à PA, PB et PC, l’angle PQC mesure 150-60=90° et l’angle CPQ 110-60=50° donc l’angle PCQ : 40°.
