Amuse-tête n°1

D1859. Trois amuse-tête

Trois amuse-tête proposés par Pierre Leteurtre à résoudre en un quart d'heure chrono en main.

Amuse-tête n°1

On donne 2 cercles sécants (Γ) et (Γ'), et deux points de (Γ), I fixe et J variable tel que la droite IJ coupe (Γ') en P et Q. Quelles sont les conditions sur le point I et les cercles (Γ) et (Γ') pour qu'on ait PJ = JQ quel que soit J ?

Amuse-tête n°2

Deux droites D et D' se coupent en O sous un angle fixe. Le point A sur D et le point B sur D' sont tels que la distance AB est une constante d.Démontrer que lorsque le segment AB glisse le long des deux droites D et D', le lieu du milieu de AB est une ellipse dont on construira les foyers.

Amuse-tête n°3

On considère un point P strictement intérieur à un triangle équilatéral ABC tel que angle(APB) = 150° et angle(CPA) = 110°. Démontrer qu'on sait construire un triangle dont les côtés sont égaux à PA,PB et PC et déterminer la valeur de son plus petit angle .

Solutions proposées par Maurice Bauval :

AT1) Le centre K de (Γ') se projette orthogonalement sur IJ au milieu M de la corde PQ. Si J et M sont toujours confondus c'est que le cercle de diamètre IK est identique au cercle (Γ). Donc le centre K de (Γ') est diamétralement opposé à I sur (Γ). Cette condition est suffisante.

Même réponse si (Γ) et (Γ') ne sont pas sécants.

AT2) Soit un repère orthonormé dont les axes sont les bissectrices de (D,D').

Les équations de D et D' sont y=mx et y= – mx.

Les coordonnées de A et B sont (2t, 2mt) et (2u, –2mu), celles de leur milieu sont (t+u, m(t–u)).

Si 2d est la longueur de AB, 4(t–u)² + 4m²(t+u)² = 4d².

Le lieu du milieu de AB est l'ellipse d'équation (y/m)² + m²x² = d²

Les coordonnées des sommets sont (d/m, 0) et (0, md).

Quand AB est parallèle à une bissectrice de (D,D'), le milieu M est en un sommet.

Si Q est un sommet du petit axe, P un sommet du grand axe, et O le centre de l'ellipse, les foyers sont obtenus comme intersection de l'axe OP et du cercle de centre Q et de rayon OP.

AT3) La rotation de centre B d'angle – 60° applique A sur C et P sur un point E :

AP = CE, et le triangle BPE est équilatéral donc PB = PE.

Le triangle CPE répond à la question puisque CE = PA, EP = PB et le troisième côté est PC.

Angle CPE = 360° – CPA – APB – BPE = 360° – 110° – 150° – 60° = 40°

Angle CEP = CEB – PEB = APB – PEB = 150° – 60° = 90°

Le triangle CPE est rectangle en E, les angles de sommets P et C sont complémentaires donc PCE = 90° – 40° = 50°.

Le plus petit des trois angles vaut 40°.