D1912 – Le ratio de la cocyclicité [*** à la main]
On trace un triangle ABC dont le périmètre vaut quatre fois la longueur du côté BC. Le cercle inscrit de ce triangle a pour centre I et touche les côtés AC et AB respectivement en E et F.
On désigne par K et L les symétriques de E et F par rapport à I. Démontrer que les quatre points B, C, K et L sont sur un même cercle et que celui-ci est tangent au cercle circonscrit au triangle AEF.
Solution proposée par Paul Voyer
Le triangle CDH est semblable au triangle AIE, et deux fois plus petit.
En effet, CH=BC/2 et AE=BC car la longueur ECBF vaut 2 BC.
Dès lors, DC=DI=AI/2, et le cercle de centre D passant par B, C et I est égal et tangent au cercle de diamètre AI. C'est son symétrique par rapport à I.
Il contient les points K et L.