TD 11 : Suites de fonctions

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http://alexandre.boisseau.free.fr/Prive/WWW/MathsPCet/td_suitesfonc.pdf

TD 11 : Suites de fonctions

Convergence simple et convergence uniforme

Exercice 1.Étudier la convergence simple et uniforme sur [0, 1] de la suite de fonctions (fn) avec

∀x∈[0, 1],∀n∈N^, ^fn(x)= nx 1+n²x⁴

Exercice 2(Oral CCP, 2005). Étude (convergence simple, convergence uniforme) de la suite de fonctionsfn(x)= nx²e⁻^nx

(1−e^−x)².

Exercice 3. Soitf0:R→Rune fonction bornée et positive. On définit une suite de fonctions (fn) en posant :

∀x∈R,∀n∈N, f_n+1(x)=p

1+fn(x)

(a) Montrer que la suite de fonctions (f_n) est bien définie et converge simplement surR^{vers une} fonction à préciser.

(b) Montrer que la convergence est uniforme.

Réponse.

(a) Il est facile de montrer par récurrence que, pour toutn∈N, pour toutx∈R^,^fn(x) est bien définie etfn(x)Ê0. Soitx∈R, on pose, pourn∈N^,^un=fn(x). On a alors :

∀n∈N^,^un+1=p 1+un

La suite (u_n) est positive.Si on suppose qu’elle converge,et si on note`sa limite, on aura`Ê0 et par passage à la limite :

`=p 1+`

En élevant au carré, on obtient`²−`−1=0. La seule solution positive de cette équation du second degré est :

α=1+p 5 2

Par conséquent,si la suite(un)converge, sa limite est nécessairement égale àα. On définit la fonctiong:xÊ07→p

1+x. La fonctiongest de classe C¹surR⁺et :

∀xÊ0,¯

¯u⁰(x)¯

¯=

¯

¯ 1 2p

1+x

¯

¯É1 2

Avec l’inégalité des accroissements finis, la fonctiongest (1/2)-lipschitzienne surR⁺^{donc :}

∀x,y∈R⁺^,^¯^¯^g(x)−g(y)¯

¯É1 2

¯

¯x−y¯

¯

Appliquons ceci avecx=unety=α. On ag(un)=un+1etg(α)=αdonc :

∀n∈N^,|un+1−α| É1

2|un−α|

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On en déduit par récurrence :

∀n∈N^,|un−α| É 1

2ⁿ|u₀−α|

Comme 2ⁿ−−−−−→

n→+∞ +∞, on a par encadrementun−−−−−→

n→+∞ α. La suite (fn(x)) est donc toujours convergente et sa limite estα. La suite de fonctions (f_n) converge donc simplement surRvers la fonction constante égale àα.

(b) D’après l’énoncé,f0est bornée surRdonc en poursuivant les majorations précédentes :

∀n∈N^,∀x∈R^,^¯^¯fn(x)−α¯

¯É 1 2ⁿ

¯

¯f0(x)−α¯

¯Ékf0k∞+α 2ⁿ Commekfn−αk∞,R⁺est le plus petit majorant de|fn(x)−α|,x∈R⁺^{, on a :}

∀n∈N,°

°f_n−α°

°∞,RÉkf₀k∞+α 2ⁿ Or 2ⁿ−−−−−→

n→+∞ ∞donc par encadrementkfn−αk∞,R−−−−−→

n→+∞ 0. On en déduit que la suite de fonctions (fn) converge uniformément surR^.

Propriétés de la limite

Exercice 4.On considère la suite de fonctions (f_n)_nÊ0définie par :

∀x∈R^,∀n∈N^, ^fn(x)=exp(−nx²)

Étudier la convergence simple puis uniforme surRde la suite de fonctions (fn). Étudier la convergence uniforme sur [a,+∞[ aveca>0 fixé.

Exercice 5.Pourn∈N, on définit la fonction : fn:x∈R7→ln

µ2+x²ⁿ 1+x²ⁿ

¶

Étudier la convergence simple puis la convergence uniforme de la suite de fonctions (fn) sur ]0,+∞[.

Exercice 6.Soitfn: [0, 1]→Rdéfinie parfn(x)=n²x(1−nx) si 0ÉxÉ1/netfn(x)=0 sinon.

(a) Étudier la limite simple de la suite (f_n).

(b) Calculer Z 1

0

f_n(t) dt. Y a-t-il convergence uniforme de la suite de fonction (f_n) ? (c) Étudier la convergence uniforme sur [a, 1] avec 0<a<1.

Exercice 7(Oral CCP, 2005). Soit (f_n)_n∈_Nla suite de fonctions définies par fn(x)= 1

sin²x+(1+x²)ⁿ

Étudier la convergence simple surR, la convergence uniforme sur [−1, 1] et la convergence uniforme sur ]0, 1].

Exercice 8(Oral CCP, PSI, 2019).

(a) Soitgnla fonction définie pournÊ1 pargn:t∈[0, 1]7→

µ 1−t

n

¶n

e^t. Montrer que :

∀t∈[0, 1], ∀n∈N^∗^,^¯^¯^gn⁰(t)¯

¯Ée^t n et

¯

¯ µ

1−t n

¶n

e^t−1

¯

¯É t ne^t

(b) Montrer la convergence simple et la convergence uniforme de la suite de fonctions (In), où In:x∈[0, 1]7→

Z x 0

µ 1−t

n

¶n

e^tdt

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Introduction aux séries de fonctions

Exercice 9.PournÊ1, on définit la fonctionfn:x∈R7→

n

X

k=1

e^−kx² k²+x². (a) Démontrer que la suite de fonctions (fn) converge simplement surR^. (b) Démontrer que sa limite est une fonction continue surR.

Exercice 10.PournÊ1, on définit la fonctionfn:x∈R⁺7→

n

X

k=1

(−1)^k⁺¹ln³ 1+x

k

´. (a) Démontrer que la suite de fonctions (fn) converge simplement surR⁺^. (b) Démontrer que sa limite est une fonction de classe C¹surR⁺.

Quelques résultats sur les propriétés des limites

Exercice 11. Soit (fn) une suite de fonctions définies sur un même intervalleI et qui converge simplement vers une fonctionf surI. Démontrer que si chaque fonctionfnest croissante surI, alors f est croissante surI.

Réponse. On considèrex,y∈R^avec^xÉy. Comme chaque fonctionfnest croissante surI, on a : fn(x)Éfn(y)

Orfn(x)−−−−−→

n→+∞ f(x) etfn(y)−−−−−→

n→+∞ y. Par passage à la limite dans cette inégalité large : f(x)Éf(y)

La fonctionf est donc croissante surI.

Exercice 12.Soit (f_n) une suite de fonctions définies sur un même intervalleI et à valeurs dans R⁺et qui converge uniformément vers une fonction f surI. Démontrer que la suite de fonctions (ln(1+fn)) converge uniformément vers ln(1+f) surI.

Exercice 13. Soient (fn) et (gn) deux suites de fonctions définies sur un même intervalleI. On suppose que la suite (fn) converge uniformément surIversf et que la suite (gn) converge uniformément surIversg.

(a) Démontrer que la suite (fn+gn) converge uniformément surI versf+g.

(b) Démontrer que sif etgsont bornées surI, alors la suite (f_n×g_n) converge uniformément vers f ×gsurI.

(c) Est-ce toujours le cas si l’une des fonctions f ougn’est pas bornée surI? Réponse. Pour simplifier, on notek k∞à la place dek k∞,I.

(a) On suppose que (fn) et (gn) convergent uniformément versf etgsurI. Par définition,fn−f etgn−gsont bornéesapcr. Ainsi,fn+gn−(f+g) est bornéeapcr(somme de deux fonctions bornées) et on a :

°

°fn+gn−(f+g)°

°∞É°

°fn−f°

°∞+°

°gn−g°

°∞−−−−−→

n→+∞ 0

On en déduit que la suite de fonctions (f_n+g_n) converge uniformément versf+gsurI. (b) On supposef etgbornées surI. Commefn−f est bornéeapcr,fn=(fn−f)+f est bornée

apcr. Il en est de même degn. On a alors :

°

°fngn−f g°

°∞=°

°fngn−fng+g fn−f g°

°∞=°

°fn(gn−g)+g(fn−f)°

°∞

É°

°fn(gn−g)°

°∞+°

°g(fn−f)°

°∞

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Or, de manière générale, pour deux fonctionsuetvbornées surI, on a :

∀x∈I,|u(x)v(x)| = |u(x)| |v(x)| É kuk∞kvk∞

donckuvk∞É kuk∞kvk∞. Ainsi :

°

°fngn−f g°

°∞É°

°fn

°

°∞

°

°gn−g°

°∞+°

°g°

°∞

°

°fn−f°

°∞

É¡°

°fn−f°

°∞+°

°f°

°∞

¢

−−−−−→_n_→+∞ kfk∞

°

°gn−g°

°∞

−−−−−→_n_→+∞ ⁰ +°

°g°

°∞

°

°fn−f°

°∞

−−−−−→_n_→+∞ ⁰

Par encadrement,kfngn−f gk∞−−−−−→

n→+∞ 0 donc la suite de fonctions (fngn) converge uniformé- ment vers f gsurI.

(c) Contre-exemple pour la réciproque, on définit pourn∈N^∗^: fn:x∈R7→x+1

n gn:x∈R7→x

Alors la suite de fonctions (fn) converge uniformément vers f :x7→x surR, laa suite de fonctions (gn) converge uniformément versf surR. Cependant :

fn(x)gn(x)−x²=x n

donc la suite de fonctions (fngn) ne converge pas uniformément versf²surR^.

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TD 11 : Suites de fonctions

Indications

Ex 1. Méthodes du cours (étude de fonction pour la norme∞).

Ex 2. Méthodes du cours. Déterminer en particulier la limite de fn(x) lorsquex→0, que peut-on en déduire sur la norme∞?

Ex 3. Commencer par étudier la convergence d’une suite (un) telle queu0Ê0 et pour toutn∈N^, un+1=p

1+un. On pourra utiliser la fonctionf :x7→p

1+xet montrer qu’il existe un uniquex∈R⁺ tel quef(x)=xet montrer également quef est lipschitzienne.

Ex 4. Méthodes du cours.

Ex 8. (a) Majoration directe puis inégalité des accroissements finis. (b) Étudier la convergence uniforme de (gn) sur [0, 1] ; en déduire la convergence simple de (In) sur [0, 1] vers une fonctionI. Majorer

|In(x)−I(x)|.

Ex 9. Méthodes vues en classe.

Ex 10. Méthodes vues en classe.

Ex 11. Utiliser les définitions de fonction croissante et convergence simple.

Ex 12. Justifier que la fonctionu:t7→ln(1+t) est 1-lipschitzienne surR⁺et utiliser ceci pour établir la convergence uniforme.

Ex 13. (a) Majorer|fn(x)+gn(x)−(f(x)+g(x))|. (b) Utiliser :

fn×gn−f ×g=fn×gn−f×gn+f×gn−f×g