ECE2 TD n ◦ 11 : Convergence en loi et estimation
Exercice 1. In´egalit´e de Bienaym´e-Tchebychev
Soitx >0. On consid`ere une suite (Xn)n∈N∗ de variables al´eatoires ind´ependantes suivant toutes la loi exponentielle de param`etre 1
x. On pose :
∀n∈N∗, Sn =
n
X
i=1
Xi.
1. D´eterminer l’esp´erance et la variance de Sn
n . 2. Soitα >0. D´emontrer que
n→+∞lim P
Sn n −x
≥α
= 0.
Exercice 2. In´egalit´e de Bienaym´e-Tchebychev
On consid`ere une suite (Xn)n∈N∗ de variables al´eatoires ind´ependantes suivant toutes la loi exponentielle de pa- ram`etre 1. On pose :
T0= 0 et∀n∈N∗, Tn=
n
X
i=1
Xi. 1. D´eterminer l’esp´erance et la variance deTn.
2. Soitt≥0.
(a) Justifier que :∀n > t,
[Tn< t]⊂[|Tn−n| ≥n−t].
(b) En d´eduire, `a l’aide de l’in´egalit´e de Bienaym´e-Tchebychev,
n→+∞lim P(Tn< t).
(c) Montrer que l’´ev´enement
+∞
\
k=1
[Tk < t] est de probabilit´e nulle.
Exercice 3. Convergence en loi
On consid`ere une suite (Xn)n∈N∗ de variables al´eatoires ind´ependantes suivant toutes la loi exponentielle de pa- ram`etre 1. On pose :
Zn= max(X1, X2, . . . , Xn)−ln(n).
On admet que Zn est une variable al´eatoire.
1. D´eterminer la fonction de r´epartition deZn.
2. On poseZ=−ln(X), o`uX suit la loi exponentielle de param`etre 1.
(a) D´eterminer la fonction de r´epartition deZ.
(b) Montrer que la suite (Zn) converge en loi versZ.
Exercice 4. Convergence en loi
1. On note (cn)n∈N∗ la suite r´eelle d´efinie pour tout entiernstrictement positif par : cn =
Z 1 0
xn−1 1 +x dx (a) Montrer que (cn)n∈N∗ est une suite d´ecroissante de r´eels positifs.
(b) Montrer que, pour tout entiernstrictement positif, l’on a : cn+1+cn= 1 n (c) ´Etablir, pour tout entiernsup´erieur ou ´egal `a 2, la double in´egalit´e : 1
n 62cn6 1 n−1 En d´eduire un ´equivalent simple decn quandntend vers l’infini.
(d) Calculerc1 et prouver, pour tout entiernsup´erieur ou ´egal `a 2, l’´egalit´e :
cn= (−1)n
n−1
X
k=1
(−1)k+1 k −ln 2
!
(e) ´Ecrire un programme en Scilab qui, pour une valeur d’un entier nstrictement positif entr´ee par l’utilisateur, calcule et affiche la valeur de cn.
2. Pour tout entiernstrictement positif, on notefn l’application deRdansRd´efinie par :
fn(t) =
0 sit <1 1
cntn(1 +t) sit>1
(a) A l’aide d’un changement de variable, ´etablir pour tout entiernstrictement positif et pour tout r´eelxsup´erieur ou ´egal `a 1, l’´egalit´e :
Z x 1
1
tn(1 +t) dt= Z 1
1/x
un−1 1 +u du
(b) En d´eduire que, pour tout entiernstrictement positif,fn est une densit´e de probabilit´e.
Dans la suite de l’exercice, on suppose que (Xn)n∈N∗ est une suite de variables al´eatoires d´efinies sur le mˆeme espace probabilis´e (Ω,A,P), telle que, pour tout entiernstrictement positif,Xn prend ses valeur dans [1,+∞[
et admet fn comme densit´e. On noteFn la fonction de r´epartition deXn.
(c) Pour quelles valeurs denla variable al´eatoireXn admet-elle une esp´erance ? Dans le cas o`u l’esp´erance deXn
existe, calculer cette esp´erance en fonction decn etcn−1. (d) Soitxun r´eel strictement sup´erieur `a 1.
Justifier l’encadrement : 06 Z 1
1/x
un
(1 +u)2 du6 1 n+ 1 En d´eduire la limite suivante : lim
n→+∞
Z 1 1/x
un (1 +u)2 du
!
Transformer, pour tout entier naturel n non nul, Fn(x) `a l’aide d’une int´egration par parties et en d´eduire l’´egalit´e suivante : lim
n→+∞Fn(x) = 1 (e) Que vaut lim
n→+∞Fn(x) lorsquexest inf´erieur ou ´egal `a 1 ? Montrer que la suite de variables al´eatoires (Xn)n∈N∗ converge en loi vers une variable que l’on pr´ecisera.
Exercice 5. Th´eor`eme limite central
On consid`ere une suite (Xn)n∈N∗de variables al´eatoires ind´ependantes suivant toutes la loi de Poisson de param`etre 1.
On pose :
∀n∈N∗, Sn =
n
X
i=1
Xi. 1. D´eterminer la loi deSn.
2. D´eterminer P(Sn≤n).
3. En utilisant le th´eor`eme limite central, montrer que
n→+∞lim e−n
n
X
k=0
nk k! = 1
2.
Exercice 6. Th´eor`eme limite central
Soitnun entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2. On consid`erenvariables al´eatoires ind´ependantesZ1, Z2, . . . , Znsuivant toutes la loi g´eom´etrique de param`etrep.
SoitMn= 1
n(Z1+Z2+· · ·+Zn).
1. D´eterminer l’esp´erancem et l’´ecart-typeσn deMn. 2. Montrer que lim
n→+∞P(0< Mn−m6σn) existe et exprimer sa valeur `a l’aide de Z 1
0
e−x
2 2 dx.
Exercice 7. Approximations
Un ´etudiant fait en moyenne une faute d’orthographe tous les 500 mots. Quelle est la probabilit´e qu’il ne fasse pas plus de 5 fautes dans un devoir contenant 200 mots ? On utilisera l’approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson.
Exercice 8. Estimations ponctuelles (adapt´e d’ESC 2006)
Dans cet exercice,ad´esigne un r´eel fix´e strictement positif et on consid`ere la fonction f d´efinie surRpar :
f(t) = 2t
a2 sit∈[0, a]
f(t) = 0 sit /∈[0, a]
1. (a) Montrer quef est une densit´e de probabilit´e.
On note dans toute la suiteX une variable al´eatoire r´eelle de densit´ef. (b) D´eterminer la fonction de r´epartitionFX deX.
(c) Montrer queX admet une esp´erance et d´eterminer sa valeur.
(d) Montrer queX admet une variance et d´eterminer sa valeur.
Dans toute la suite nd´esigne un entier naturel non nul et X1, X2, . . . , Xn des variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme loi queX. On cherche `a estimer le r´eel a`a l’aide deX1, X2, . . . , Xn.
2. On noteTn= 3 2n
n
X
k=1
Xk et on cherche `a estimeraavecTn.
Montrer queTn est un estimateur sans biais deaet calculer son risque quadratique, not´era(Tn).
3. On d´efinit la variable al´eatoireMn par : Mn= max(X1, X2, . . . , Xn)
(a) Montrer queMn est une variable al´eatoire `a densit´e et d´eterminer une densit´e deMn. (b) Montrer queMn admet une esp´erance et d´eterminer sa valeur.
(c) Montrer queMn admet une variance et d´eterminer sa valeur.
(d) Construire `a l’aide deMn un estimateur sans biaisMn0 dea.
(e) Calculer le risque quadratique deMn0, not´era(Mn0).
4. (a) D´eterminer un ´equivalent simple dera(Mn0) lorsquentend vers +∞.
(b) Quel estimateur est le meilleur entreTn et Mn0 ? Exercice 9. Estimateurs convergents
Soient les variables al´eatoiresX1, . . . , Xnmutuellement ind´ependantes et de mˆeme loiB(p). Consid´erons les estimateurs du param`etrepsuivants :
T1= 1 10
10
X
k=1
Xk, T2= 1 n
n X
k=1
Xk
!
−1
!
, T3= 1 bn2c
bn2c
X
k=1
X2k.
Sont-ils biais´es, convergents ?
Exercice 10. Un estimateur sans biais du param`etre d’une loi g´eom´etrique
Soitnun entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2 etpun r´eel tel que 0< p <1. On poseq= 1−p.
SoitT1, T2, . . . , Tn des variables al´eatoires ind´ependantes suivant la mˆeme loi g´eom´etrique de param`etrep.
On poseSn =T1+T2+· · ·+Tn.
1. D´eterminer Sn(Ω), puis montrer que : ∀k∈Sn(Ω), P(Sn=k) = k−1
n−1
pnqk−n
2. (a) Rappeler la valeur deP(Tn= 1) et calculerP[Sn=k](Tn= 1) pour toutk>n.
(b) En d´eduire que : ∀N ∈N,
+∞
X
i=N
i N
qi−N = 1 (1−q)N+1 3. Montrer queUn = n−1
Sn−1 est un estimateur sans biais de p.
4. On suppose dans cette question quenest sup´erieur ou ´egal `a 3.
(a) D´eterminer l’existence et la valeur de l’esp´erance de la variable al´eatoireVn= (n−1)2 (Sn−1)(Sn−2).
(b) En d´eduire queUn admet un moment d’ordre 2, puis que le risque quadratique deUn est major´e par p2 n−2.
Exercice 11. Le meilleur estimateur
Soient les variables al´eatoiresX1 et X2 ind´ependantes et de mˆeme loi, de moyenne µet de variance σ2. D´eterminer lequel des deux estimateurs deµnon biais´es suivants est le meilleur :
M1=X1+X2
2 ouM2=aX1+bX2
a+b aveca, b∈R. Exercice 12. Un estimateur sans biais de la variance
SoitX une variable al´eatoire d’esp´erancemet de varianceσ2.
On consid`ere unn-´echantillon (X1, X2, . . . , Xn) construit `a l’aide deX. On pose :
Xn= 1 n
n
X
i=1
Xi ; Vn= 1 n
n
X
i=1
Xi2 ; Wn=Vn−X2n 1. CalculerE(Xn) et V(Xn).
En d´eduireE(X2n) en fonction dem etσ.
2. ExprimerE(Wn) en fonction de netσ.
En d´eduire un estimateur sans biais de la varianceσ2.
Exercice 13. Construction d’intervalles de confiance apr`es un sondage (Edhec 2000 voie S)
Un sondage consiste `a proposer l’affirmationA`a certaines personnes d’une population donn´ee. Le sujet abord´e ´etant d´elicat, le stratag`eme suivant est mis en place afin de mettre en confiance les personnes sond´ees pour qu’elles ne mentent pas :
L’enquˆeteur dispose d’un paquet de 20 cartes, num´erot´ees de 1 `a 20, qu’il remet `a la personne sond´ee. Celle-ci tire une carte au hasard et ne la montre pas `a l’enquˆeteur.
La r`egle est alors la suivante :
— Si la carte porte le num´ero 1, la personne sond´ee r´epond ”vrai” si elle est d’accord avec l’affirmation A et
”faux” sinon.
— Si la carte porte un autre num´ero, la personne sond´ee r´epond ”vrai” si elle n’est pas d’accord avec l’affirmation A et ”faux” sinon.
Le but de l’enquˆeteur est d’´evaluer la proportion p de gens de cette population qui sont r´eellement d’accord avec l’affirmationA.
1. On interroge une personne selon ce proc´ed´e. SoitV l’´ev´enement :La personne r´epond ”vrai”. On noteθ=P(V).
En utilisant la formule des probabilit´es totales, exprimerθ en fonction dep, puispen fonction deθ.
2. On noteX la variable al´eatoire telle que lorsque l’on choisit une personne au hasard dans la population,X prend la valeur 1 si la personne r´epond ”vrai”, et 0 si elle r´epond ”faux”.
On consid`ere unn-´echantillon (X1, X2, . . . , Xn) construit `a l’aide de X.
On note enfinSn=X1+X2+· · ·+Xn etSn∗ la variable al´eatoire centr´ee r´eduite associ´ee `aSn. (a) Donner la loi deSn, ainsi que son esp´erance et sa variance. Que repr´esenteSn?
(b) Montrer que Sn
n est un estimateur sans biais de θ.
(c) En d´eduire un estimateur sans biais dep, et donner son risque quadratique.
(d) Montrer que sinest suffisamment grand, on peut consid´erer queSn suit une loi normale dont on pr´ecisera les param`etres. On consid`ere que pourn>30 l’approximation est satisfaisante.
(e) On notetun r´eel positif tel queP(−t6Sn∗6t)>0.95.
Montrer que Sn
n − t 2√
n ,Sn
n + t 2√
n
est un intervalle de confiance de θau niveau de confiance 95%.
3. Dans cette question, on suppose que l’on a r´ealis´e un ´echantillon de 100 personnes, et on constate que 23 personnes ont r´epondu ”vrai”.
(a) Donner une estimation ponctuelle dep.
(b) Montrer que si t= 2, alorsP(−t6S100∗ 6t)>0.95.
(c) En d´eduire une r´ealisation d’un intervalle de confiance deθ au niveau de confiance 95%.
(d) Donner une r´ealisation d’un intervalle de confiance depau niveau de confiance 95%.
On donne 1240
18 ≈69 et 1640 18 ≈91.
Exercice 14. Intervalles de confiance asymptotiques
Soient x > 0, X une variable al´eatoire suivant une loi exponentielle de param`etre 1
x et (X1, X2, . . . , Xn) un n-
´
echantillon de variable X. D´eterminer un intervalle de confiance asymptotique de x au niveau de confiance 0.95. On utilisera le fait que Φ(0.525)≈0.06.
