Feuille d’exercices n

L3 Int´egration

Feuille d’exercices n

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Exercice 1. (mesure image)

Soient (Ω,B, µ) un espace mesur´e et (Ω⁰,B⁰) un espace mesurable. Soit ´egalement φ : Ω → Ω⁰ une application mesurable. Montrer qu’on d´efinit une mesure µφ sur (Ω⁰,B⁰) en posant, pour tout A ∈ B⁰ : µ_φ(A) = µ(φ⁻¹(A)). On dit que µ_φ est la mesure image deµ par l’applicationφ.

Exercice 2. Soit f : R → R. On suppose qu’il existe un ensemble d´enombrable D⊂Rtel que la restriction def `aR\Dest continue. Montrer quef est bor´elienne.

Exercice 3. Montrer qu’il existe des fonctions f : R → R bor´eliennes qui ne sont continues en aucun point.

Exercice 4. Soit Ω un ensemble, et soit (A_i)i∈I une partition d´enombrable de Ω.

On note B la tribu engendr´ee par la famille (A_i)i∈I.

(1) Montrer queB est exactement ´egale `a l’ensemble des A∈ P(Ω) qui peuvent s’´ecrire sous la formeA=S

i∈JAi, o`uJ est un sous-ensemble deI(d´ependant deA).

(2) Montrer qu’une fonction f : Ω → R est B-mesurable si et seulement si elle est constante sur chaque ensembleA_i.

Exercice 5. Soit Ω un espace topologique, et soitf : Ω→Rune fonction arbitraire.

On note C_f l’ensemble des points de continuit´e de f.

(1) Montrer qu’un point x ∈ Ω appartient `a Cf si et seulement si la propri´et´e suivante est v´erifi´ee : pour tout ε > 0, il existe un voisinage ouvert O de x tel que ∀u, v ∈O : |f(u)−f(v)| ≤ε.

(2) Montrer queC_f est un ensemble bor´elien. Plus pr´ecis´ement, montrer que C_f est une intersection d´enombrable d’ouverts.

Exercice 6. On dit qu’une fonction f : R² →R ests´epar´ement continue si elle est continue par rapport `a chaque variable s´epar´ement; autrement dit : pour tout x∈R fix´e, la fonction y7→f(x, y) est continue, et pour touty ∈R fix´e, la fonction x7→f(x, y) est continue.

(1) Montrer qu’il existe des fonctions s´epar´ement continues qui ne sont pas con- tinues.

1

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(2) Soit f : R² → R s´epar´ement continue. On note I la famille de tous les intervalles ferm´es I ⊂ R `a extr´emit´es rationnelles. Montrer que pour α ∈ R fix´e et pour (x, y)∈R², on a l’´equivalence suivante:

f(x, y)> α⇐⇒ ∃k ∈N^∗∃I ∈ I

x∈I et∀u∈I : f(u, y)≥α+ 1 k

. (3) Montrer que toute fonction s´epar´ement continue est bor´elienne.

Exercice 7. Dans tout l’exercice, (Y, d) est un espace m´etrique.

(1) Soit (y_n) une suite de points de Y convergeant vers un point y∈Y. Montrer que pour tout ouvertO ⊂Y, on a l’´equivalence suivante :

y∈O ⇐⇒ ∃ε >0∃N ∈N ∀p≥N : dist(y_p, Y \O)≥ε .

(2) Soit (Ω,B) un espace mesurable, et soit (f_n) est une suite de fonctions mesurables de Ω dans Y. On suppose que la suite (f_n) converge simplement vers une fonction f : Ω→Y. Montrer quef est mesurable.

Exercice 8. Montrer que si f :R →R est d´erivable en tout point, alors f⁰ est une fonction bor´elienne.

Exercice 9. Soit (Ω,B) un espace mesurable, et soit (f_n) une suite de fonctions mesurables sur Ω, `a valeurs dans un espace m´etrique (Y, d). Soit ´egalement b ∈ Y. Montrer que l’ensembleA ={x∈Ω; limn→∞f_n(x) = b} est mesurable (i.e.A∈B).

Exercice 10. Soit (Ω,B) un espace mesurable, et soit (fn)n∈Nune suite de fonctions mesurables sur Ω, `a valeurs r´eelles. On note A l’ensemble des points x∈Ω tels que la suite (f_n(x)) converge dans R. Montrer que l’ensemble A est mesurable.

Exercice 11. (tribu engendr´ee par une application)

Soit Ω un ensemble, et soit φ : Ω → R. On pose B_φ = {φ⁻¹(A); A ∈ B(R)}, o`u B(R) est la tribu bor´elienne de R.

(1) Montrer que B_φ est une tribu. Plus pr´ecis´ement, montrer que B_φ est la plus petite tribu sur Ω rendant φ mesurable. On dit que B_φ est la tribu engendr´ee par φ.

(2) Montrer que sig :R→R est bor´elienne, alorsg ◦φ estB_φ-mesurable (3) Montrer inversement que si f : Ω→ R est B_φ-mesurable, alors il existe une

fonction bor´elienneg :R→Rtelle quef =g◦φ. (On pourra commencer par le cas o`uf est une fonction ´etag´ee, puis traiter le cas d’une fonction positive, et enfin le cas g´en´eral).

(4) Dans cette question, on prend Ω =Retφ(x) = |x|. Montrer qu’une fonction f :R→R estB_φ-mesurable si et seulement si elle est bor´elienne et paire.

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Exercice 12. (fonctions de 1`ere classe)

On dit qu’une fonction f : R → R est de 1`ere classe de Baire si f est limite simple d’une suite de fonctions continues.

(1) En raisonnant comme dans l’exercice 7, montrer que si f : R → R est une fonction de 1`ere classe de Baire, alors, pour tout ouvert O ⊂ R, l’ensemble f⁻¹(O) est r´eunion d´enombrable de ferm´es. (En fait, on peut montrer que la r´eciproque est vraie; mais c’est un peu plus d´elicat).

(2) Montrer que si A⊂R et si 1_A est une fonction de 1`ere classe de Baire, alors A est `a la fois r´eunion d´enombrable de ferm´es et intersection d´enombrable d’ouverts. En d´eduire, `a l’aide duth´eor`eme de Baire, qu’il existe des fonctions bor´eliennes qui ne sont pas de 1`ere classe de Baire.

(3) Soitf :R→R. On suppose qu’il existe une suite de fonctions de 1`ere classe de Baire (ϕ_k) qui converge uniform´ement vers f.

(a) Pourquoi existe-t-il une sous-suite (ψ_k) de (ϕ_k) telle que kψ_k−fk_∞ ≤ 2^−k−1 pour toutk ∈N?

(b) On pose u₀ = ψ₀ et u_k = ψ_k − ψk−1 pour k ≥ 1. Montrer que les u_k sont de 1`ere classe, qu’on a ku_kk∞ ≤ 2^−k pour tout k ≥ 1, et que P∞

k=0u_k =f.

(c) Montrer que pour tout k ≥ 1, il existe une suite de fonctions continues (u_k,n)n∈N qui converge simplement vers u_k et v´erifiant de plus ∀n ∈N : ku_k,nk_∞ ≤2^−k.

(d) Pour n ∈ N, on pose f_n = P∞

k=1u_k,n. Pourquoi la fonction f_n est-elle continue?

(e) Montrer que la fonction f est de 1`ere classe de Baire.

Exercice 13. (th´eor`eme de r´ecurrence de Poincar´e)

Soit (Ω,B, µ) un espace mesur´e, avec µ(Ω) < ∞. Soit ´egalement T : Ω → Ω une application mesurable. On suppose que T pr´eserve la mesure µ, ce qui signifie qu’on a µ(T⁻¹(A)) =µ(A) pour tout A∈B.

(1) Soit A∈B, et soitp∈N^∗. On pose

F ={x∈A; ∀n≥p : Tⁿ(x)6∈A}, o`u T<sup>n</sup>=T ◦ · · · ◦T est la n-i`eme it´er´ee de T.

(a) Montrer que les ensembles (T^kp)⁻¹(F),k ≥0, sont deux `a deux disjoints.

(Pour k < k⁰, on pourra ´ecrire T^k0p =T^(k0−k)p◦T^kp).

(b) Montrer qu’on a µ(F) = 0.

(2) Soit A ∈ B v´erifiant µ(A) >0. Montrer qu’il existe un point x ∈ A tel que Tⁿ(x)∈A pour une infinit´e d’entiersn.

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Exercice 14. (th´eor`eme d’Egorov)

Soit (Ω,B, µ) un espace mesur´e, avec µ(Ω) = 1. Soit ´egalement (f_n) une suite de fonctions mesurables sur Ω, `a valeurs r´eelles. On suppose que la suite (f_n) converge simplement vers une fonction f. Dans toute la suite, on fixe ε >0.

(1) Soit k∈N^∗. Pour n∈N, on pose

A_n={x∈Ω; ∀p≥n : |f_p(x)−f(x)|< 1 k}. Montrer qu’il existe un entiern_k tel que µ(A_nk)>1−2^−kε.

(2) Montrer qu’il existe un ensemble A ∈ B tel que µ(A) > 1−ε et tel que la suite (f_n) converge uniform´ement sur A.

Exercice 15. (th´eor`eme de Lusin)

Soit Ω un espace m´etrique, et soitf : Ω→Rune fonction bor´elienne. Soit ´egalement µ une mesure bor´elienne sur Ω telle que µ(Ω) = 1. Le but de l’exercice est de d´emontrer le r´esultat suivant : pour tout ε > 0, il existe un ferm´e Kε ⊂ Ω tel que µ(Kε)>1−εet tel que la restriction def `aKεest continue. On aura besoin d’utiliser le fait que la mesureµ estr´eguli`ere, au sens suivant : pour tout bor´elien A⊂Ω et pour tout η > 0, on peut trouver un ferm´e F tel que F ⊂ A et µ(F) > µ(A)−η.

Dans toute la suite, on fixe ε >0.

(1) Pour k ∈ N, on d´efinit une fonction ϕk : Ω → R de la fa¸con suivante : ϕ_k(x) =n_k(x) 2^−k, o`u n_k(x) est l’unique entier n∈Z tel quen2^−k ≤f(x)<

(n + 1) 2^−k. Montrer que les fonctions ϕ_k sont bor´eliennes, et que la suite (ϕ_k) converge uniform´ement versf.

(2) Soit k∈N fix´e. Pour n ∈Z, on poseA_k,n={x∈Ω; n_k(x) = n}.

(a) Combien vaut µ S

n∈ZA_k,n

?

(b) En utilisant la r´egularit´e de la mesure µ, montrer qu’il existe un entier N_k ∈ N et des ferm´es F_k,−Nk, . . . , F_k,Nk tels que F_k,n ⊂ A_k,n pour tout n ∈ {−N_k, . . . , N_k}et

µ

Nk

[

n=−N_k

Fk,n

!

>1− ε 2^k+2· (3) Avec les notations de (2), on pose E_k = SNk

n=0F_k,n. Montrer que pour tout k∈N, la restriction de ϕ_k `a E_k est continue.

(4) D´emontrer le r´esultat souhait´e en consid´erant K_ε=T

k∈NE_k.