H10164. Electricit´ e et g´ eom´ etrie
Entre 6 bornes A, B, C, D, E, F je branche 9 r´esistances ´egales, selon le sch´ema ci-dessous.
J’applique une tensionV entreAetF. Comment se r´epartissent les inten- sit´es et les potentiels ?
Interpr´etez g´eom´etriquement le r´esultat.
Solution
Par convention, je prends pour sens positif des intensit´es l’ordre al- phab´etique (de Avers B dans la branche AB, etc.).
Je r`egle la diff´erence de potentiel V de fa¸con que l’intensit´e dans BC soit 1, l’intensit´e dansAB prend alors la valeur inconnuei.
A partir de l`a, je peux compl´eter le sch´ema en utilisant la loi des noeuds (la somme alg´ebrique des intensit´es entrant dans un noeud du r´eseau est nulle) et la loi des mailles (la somme alg´ebrique des diff´erences de potentiel sur un circuit ferm´e est nulle).
Je marque ainsi, de proche en proche
i+ 1 dansAC (mailleABC), i−1 dans BE (noeudB), i−2 dans CE (mailleBCE), 4 dans CD (noeudC),
i+ 5 dansAD (mailleACD), i+ 9 dansDF (noeudD), 2i−3 dans EF (noeudE).
La diff´erence de potentiel entreAetF est, selon qu’on passe par ADF ou parABEF,
V /R= 2i+ 14 = 4i−4, d’o`u i= 9 et le sch´ema ci-dessous.
Ce r´esultat se prˆete `a l’interpr´etation g´eom´etrique suivante. Pla¸cons en abscisses les potentiels des bornesA, B, C, D, E, F. Dans le sens des ordon- n´ees, repr´esentons les intensit´es qui se transmettent entre ces bornes. Les branches ayant mˆeme r´esistance, avec un choix convenable des ´echelles, la 1
mˆeme longueur repr´esentera l’intensit´e dans une branche et la diff´erence de potentiel correspondante. On obtient ainsi un rectangle compos´e de 9 carr´es.
Remarque 1. Le fait que les carr´es sont tous de taille diff´erente est le fruit de l’absence de sym´etrie dans le r´eseau de r´esistances. De mani`ere analogue, on peut obtenir un rectangle compos´e de 11 carr´es tous de taille diff´erente.
Remarque 2. Le r´eseau est ´electriquement ´equivalent `a une r´esistance unique 32R/33 branch´ee entre A et F. En ´echangeant abscisses et or- donn´ees, on voit comment assembler 9 r´esistances ´egales `aRpour obtenir une r´esistance ´equivalente 33R/32. Il suffit de remplacer la branche CE par une branche DE.
Remarque 3. Comme l’observe Xavier Cognat, la r´epartition de l’aire du rectangle entre les aires des carr´es repr´esente la r´epartition entre les branches des puissances dissip´ees par effet Joule.
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